信號(hào)與系統(tǒng)：第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析V4.0

1、5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換相應(yīng)的傅里葉逆變換為相應(yīng)的傅里葉逆變換為 Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）， f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域二、收斂域 使使f(t)拉氏變換存在的拉氏變換存在的取值范圍稱為取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。 下面舉例說(shuō)明下面舉例說(shuō)明Fb(s)收

2、斂域的問(wèn)題。收斂域的問(wèn)題。解：解：例例1 1 因果信號(hào)因果信號(hào)f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換?？梢姡瑢?duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res=時(shí)，其拉氏變換時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。存在。收斂域如圖所示。解：解：例例2 2 反因果信號(hào)反因果信號(hào)f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)當(dāng)Res=時(shí)，其收斂域時(shí)，其收斂域?yàn)闉镽es的一個(gè)帶的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。狀區(qū)域，如圖所示。解解: :例例4 求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。 f1(t)= e

3、-3t(t) + e-2t(t) f2(t)= e -3t (t) e-2t(t) f3(t)= e -3t(t) e-2t( t) 可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。氏變換必須標(biāo)出收斂域。1 1、對(duì)于雙邊拉普拉斯變換而言，、對(duì)于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn) F( (s s) )和收斂域和收斂域一起，可以唯一地確定一起，可以唯一地確定f f( (t t) )。即：。即：2 2、不同的信號(hào)可以有相同的、不同的信號(hào)可以有相同的F F( (s s) )，但他們的收斂，但他們的收斂 域不同；不同信號(hào)如果有相同的收斂域，則他們的域不同；不同信號(hào)

4、如果有相同的收斂域，則他們的F F( (s s) ) 必然不同！必然不同！ 通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為刻為0 0。這樣，。這樣，t t0 ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。f(t) F(s)0,1)(,)(, 1)(ststtRe,1)(sstetReRe,1)(000sssstets（教材第（教材第215頁(yè)頁(yè) 例例5.1-4）解：解：例例:求復(fù)指數(shù)函數(shù)求復(fù)指數(shù)函數(shù)f(t)=es0t (t)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 （式中（式中s0為復(fù)常數(shù)）為復(fù)常數(shù)） (教材第教材第216頁(yè)例頁(yè)例5.1-5

5、)ReRe,1)(000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若若s0為實(shí)數(shù)，令為實(shí)數(shù)，令s0 ，則有，則有Re,1)(Re,1)(sstesstett若若s0為虛數(shù)，令為虛數(shù)，令s0 j ，則有，則有0Re,1)(0Re,1)(sjstesjstetjtj5.25.2拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)一一 線性（線性（Linearity Linearity ）：）：例：教材第例：教材第217頁(yè)例頁(yè)例 5.2-1若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1,

6、 2) 22)()cos(sstt22)()sin(stt112( )1,11sX sss ROC:121( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC為整個(gè)為整個(gè)S平面平面 當(dāng)當(dāng) 與與 無(wú)交集時(shí)，表明無(wú)交集時(shí)，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例：求下列信號(hào)的拉普拉斯變換。例：求下列信號(hào)的拉普拉斯變換。)()()(1tettxt)()(2tetxt注：注：解：解： 二二 尺度變換（尺度變換（Time ScalingTime Scaling）若若f(t) F(s) , Res 0，且有實(shí)數(shù)，且有實(shí)數(shù)a0 ，則則f(at) )(1asFa，Resa 0 例：右圖所

7、示信號(hào)例：右圖所示信號(hào)f(t)的拉氏變換的拉氏變換 F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信號(hào)求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解： y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss三三 時(shí)移性質(zhì)（時(shí)移性質(zhì)（Time ShiftingTime Shifting）: :若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實(shí)常數(shù)且有實(shí)常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0) e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合：則：與尺度變換相結(jié)合：則：

8、 若若f(t) (t) F(s) , Res 0 則：則：0Re),(1)()(asasFeabatbatfsab例例:求圖示信號(hào)的單邊拉氏變換。求圖示信號(hào)的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1) f2(t) = (t+1) (t-1) )e1 (1ssF2(s)= F1(s)F1(s)=例例:求求f(t)= e-2(t-1) (t) F (s)=?教材第教材第219頁(yè)例頁(yè)例5.2-2，5.2-3。四四 S S域平移（域平移（Shifting in the s-DomainShifting in the s-Domain）: :若若f(

9、t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss12ss例：教材第例：教材第220頁(yè)頁(yè) 例例5.2-4。（教材第（教材第220頁(yè)例頁(yè)例5.2-5）22)()()cos(ssttet22)()()sin(sttet五、時(shí)域的微分特性（微分定理）五、時(shí)域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s

10、) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號(hào)，則為因果信號(hào)，則f(n)(t) snF(s) 例例: (n)(t) ? 例例:?2cosddtt例例:?)(2cosddttt例：已知流經(jīng)電感的電流例：已知流經(jīng)電感的電流i iL L( (t t) )的拉式變換為的拉式變換為I IL L( (s s) )， 求電感的電壓求電感的電壓u uL L( (t t) )的拉式變換。的拉式變換。解：解：dttdiLtuLL)()()0()()0()()(LLLLLLissLIissILsU)()(ssLIs

11、ULL若若iL(0-)=0，則：，則：這個(gè)結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似這個(gè)結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似LLILjUs對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)j六、時(shí)域積分特性（積分定理）六、時(shí)域積分特性（積分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 )(1d)(0sFsxxfnnt)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft例例: t2 (t) ? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf教材第教材第225頁(yè)例頁(yè)例5.2-8。例例2:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t

12、)如圖如圖 ,求求F(s)。f(t)t022解：對(duì)解：對(duì)f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0ftfxxft由于由于f(t)為因果信號(hào)，故為因果信號(hào)，故 f(0-)=0txxftf0d)( )(f(t)= (t) (t2) 2 (t 2) F1(s)sss22e2)e1 (1ssFsF)()(1結(jié)論：若結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知為因果信號(hào)，已知f(n)(t) Fn(s) 則則 f(t) Fn(s)/sn例：已知流經(jīng)電容的電流例：已知流經(jīng)電容的電流iC(t)的拉式變換為的拉式變換為IC(s)， 求電容的電壓求電容的電壓uC(t)的拉式變換。的拉

13、式變換。解：解：diCtutCC)(1)()0(1)(1)0(1)(11)()1()1(CCCCCisCsIsCissIsCsU這個(gè)結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似這個(gè)結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似CCICjU1s對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)jsusIsCsUCCC)0()(1)(若若uC(0-)=0，則：，則：)(1)(sIsCsUCC七、卷積定理七、卷積定理 時(shí)域卷積定理：時(shí)域卷積定理： 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsF

14、Ftftfd)()(j21)()(2121例：例：t (t) ?例：已知例：已知F(s)= ?)e1 (12 ss00)2()2(*)(nnntntt教材第教材第226-227頁(yè)例頁(yè)例5.2-9、5.2-10。八、八、s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例：例：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()()()(ttetft例：求例：求 的象函數(shù)。的象函數(shù)。參考：教材第參考：教材第228頁(yè)例頁(yè)例5.2-1

15、1九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和 f(），而不必求出原函數(shù)），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理: :設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，及其各階導(dǎo)數(shù)，終值定理終值定理: :若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時(shí)存在，并且時(shí)存在，并且f(t) F(s), Res0 例：已知例：已知) 1(1)(sssF，求，求f(t)的初值和終值。的初值和終值。011lim)(lim)0(sssFfss111lim)(lim)(00sssFfss驗(yàn)證：驗(yàn)證：解：解：)()1 ()(111) 1(1)(tet

16、fsssssFt0)()1 (lim)(lim)0(00tetffttt1)()1 (lim)(lim)(tetffttt注意：利用象函數(shù)注意：利用象函數(shù)F(s)求初值時(shí)，求初值時(shí)， F(s)必須是真分式；必須是真分式； 求終值時(shí)，求終值時(shí)，s=0的點(diǎn)應(yīng)在的點(diǎn)應(yīng)在sF(s)收斂域內(nèi)。收斂域內(nèi)。例：已知例：已知) 1()(sssF，求，求f(t)的初值。的初值。解：解：11lim)(lim)0(1ssssFfss)()()(tettft)(111111) 1(1)(1sFssssssF驗(yàn)證：驗(yàn)證：11)0()(lim)0(0tfft例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22

17、sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為分解為有理多項(xiàng)式有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。若與有理真分式之和。若 可提出可提出 。1nbnb下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法部分分式展開法若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（m0dtetfjFtj)()(分析因果信號(hào)兩種變換的關(guān)系分析因果信號(hào)兩種變換的

18、關(guān)系設(shè)設(shè)Res 0(1) 00;收斂域在虛軸右邊，在收斂域在虛軸右邊，在s=j 處不收斂，處不收斂， 傅立葉變換不存在傅立葉變換不存在這時(shí)有：這時(shí)有：(1) 00;收斂域包含虛軸，在收斂域包含虛軸，在s=j 處收斂，傅立葉變處收斂，傅立葉變換存在。換存在。jssFjF| )()(例：例：Re,1)(, 0),()(sssFtetft其拉普拉斯變換為其傅立葉變換為其傅立葉變換為jsFjFjs1| )()(分析：因?yàn)榉治觯阂驗(yàn)?00，所以在虛軸上有極點(diǎn)，即，所以在虛軸上有極點(diǎn)，即F(s)的的 分母多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式A(s)=0必有虛根。必有虛根。設(shè)設(shè)A(s)=0有有N個(gè)虛根（單根）個(gè)虛根（單根）j 1, j 2, j n,將將F(s)展展開成部分分式，并把它分成兩部分，極點(diǎn)在左半開成部