n維向量及其運算（課堂PPT）

1、數(shù)數(shù)=線線性性代代第三章第三章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 本章將介紹本章將介紹n維向量的基本概念及其運維向量的基本概念及其運算，討論算，討論n 維向量的線性相關(guān)性，并利用維向量的線性相關(guān)性，并利用矩陣的秩與有關(guān)知識來研究向量組的線性矩陣的秩與有關(guān)知識來研究向量組的線性相關(guān)性。這些都是線性代數(shù)和近代數(shù)學(xué)中相關(guān)性。這些都是線性代數(shù)和近代數(shù)學(xué)中的最基本概念和基本性質(zhì)，并為學(xué)習(xí)后面的最基本概念和基本性質(zhì)，并為學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容提供了必要的預(yù)備知識。的內(nèi)容提供了必要的預(yù)備知識。3.1 n維向量及其運算 在空間在空間(或平面或平面)解析幾何中，從有向線段出發(fā)，解析幾何中，從有向線段出發(fā)，引進了向量

2、的概念，并進一步引進了向量的加法和數(shù)引進了向量的概念，并進一步引進了向量的加法和數(shù)數(shù)數(shù)=線線性性代代乘向量的運算；另外，在空間中引進笛卡爾坐標系乘向量的運算；另外，在空間中引進笛卡爾坐標系后，空間中的點和向量都和三維數(shù)組建立了一一對后，空間中的點和向量都和三維數(shù)組建立了一一對應(yīng)關(guān)系。所以，由所有三維數(shù)組構(gòu)成的集合應(yīng)關(guān)系。所以，由所有三維數(shù)組構(gòu)成的集合 即代表了點空間，也代表了三維向量空間。因而，即代表了點空間，也代表了三維向量空間。因而，點空間的許多幾何性質(zhì)，例如點的共線、共面，直點空間的許多幾何性質(zhì)，例如點的共線、共面，直線和平面的平行、相交等等，都可以用向量空間的線和平面的平行、相交等等，

3、都可以用向量空間的語言來刻劃。語言來刻劃。123123(,)|,a a aa a aR一、n 維向量空間的概念幾何空間中：幾何空間中：),(:321aaaOPa點點P的坐標的坐標數(shù)數(shù)=線線性性代代n 維向量空間 ( Rn ):n 維向量: (有序數(shù)組) ),(21naaan 維維行向量行向量 的的分量分量n 維列向量: nbbb21實（復(fù)）向量:分量為實（復(fù)）數(shù)12(,)(1,2,),ijiiinaaaaimnAm n同時,我們可以將行向量看成一行矩陣,列向量看成一列矩陣.對于矩陣A=() 中的 每一行都是 維行向量 稱為矩陣 的 行向量.行向量.數(shù)數(shù)=線線性性代代121212,.(1,2,

4、),.mmjjmjAAAaajnmaAAAm 12n12n因此 矩陣 可表示為 其中為矩陣 的行向量 同理,A的每一列是 維列向量稱為 的故 也可以表示為 A=(, ,)其中, ,為 的 維列向量列向量列向量列向量數(shù)數(shù)=線線性性代代確定飛機的狀態(tài)，需確定飛機的狀態(tài)，需要以下要以下6個參數(shù)：個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的水平轉(zhuǎn)角)( 20機身的仰角機身的仰角)( 22機翼的轉(zhuǎn)角機翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機的狀態(tài)，需用所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa n維向量的實際意義維向量的實際意義數(shù)數(shù)=線線性性代代 = a

5、i = bi = (0, 0, , 0)負向量： - = (-a1, -a2, , -an )n維向量的線性運算: = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)， + = (a1 +b1, a2 +b2, , an+ bn), k =(ka1, ka2, , kan ), k R. 向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)零向量：Rn : n 維向量的全體.數(shù)數(shù)=線線性性代代;)();,0;,()0; 容易驗證向量的線性運算滿足下面的運算規(guī)律: (1) 向量加法滿足 1) 交換律 2) 結(jié)合律 ( 3) 對任一向量有 4) 對任一向量

6、有 (2) 向量的數(shù)乘運算滿足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的線性運算成立分配律 1) k()=k () =上述均為 維向量均為實數(shù).數(shù)數(shù)=線線性性代代線性方程組與n維向量的線性運算： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,2121222122121111 mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax即即,2211bxxxnn 即即,21 nxxxX mbbbb21,),(21bXn即.bAX 數(shù)數(shù)=線線性性代代定義 若有有，且且,RkVRVn ,VkV 則稱V是 Rn 的一個子空間. 例1 設(shè)V = (x1, x2) | x1+x2 = 0 , V是否是 R2 的子空間？ 例2 設(shè)V = (x1, x2) | x1+ x2 = 1 , V是否是 R2 的子空間？二、 Rn 的子空間數(shù)數(shù)=線線性性代代1 122.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),nnaaa12n 稱為求例例 3 3n n維維單單位位坐坐標標向向量量組組1 122121212(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)( ,0,0)(0,0)(0,0,)( ,)nnnnnaaaaaaaaaa aa解: 由向量的加法和數(shù)乘運算得 = = 數(shù)數(shù)=線線性性代代1212121