隨機(jī)過(guò)程蒙特卡羅法的原理和應(yīng)用

1、隨機(jī)過(guò)程期末論文姓名：韓江平 學(xué)號(hào)：12015001107 專(zhuān)業(yè)：物理電子蒙特卡羅計(jì)算方法基本簡(jiǎn)介：蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類(lèi)非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法?？捎糜诟鞣N非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析與仿真，由于計(jì)算量大和需要產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)，一般都會(huì)使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量模擬仿真?；舅枷耄寒?dāng)所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)是的

2、量時(shí)，通過(guò)某種"實(shí)驗(yàn)"的方法，得到該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值。以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。1、工作過(guò)程蒙特卡羅方法的解題過(guò)程可以歸結(jié)為三個(gè)主要步驟:構(gòu)造或描述概率過(guò)程;實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣;建立各種估計(jì)量。(1)構(gòu)造或描述概率過(guò)程對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，如粒子輸運(yùn)問(wèn)題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過(guò)程，對(duì)于本來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過(guò)程，它的某些參量正好是所要求問(wèn)題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)

3、題。(2) 實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣 構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)，就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱(chēng)為隨機(jī)抽樣的原因。最簡(jiǎn)單、最基本、最重要的一個(gè)概率分布是(0，1)上的均勻分布(或稱(chēng)矩形分布)。隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題，就是從這個(gè)分布的抽樣問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這

4、樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。不過(guò)，經(jīng)過(guò)多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來(lái)使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機(jī)序列來(lái)實(shí)現(xiàn)的，也就是說(shuō)，都是以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見(jiàn)，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。(3)建立各種估計(jì)量一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解，我們稱(chēng)它為無(wú)偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問(wèn)題的解2、 應(yīng)用領(lǐng)域蒙特

5、卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算、核工程)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)問(wèn)題的日趨復(fù)雜，蒙特卡羅方法的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計(jì)算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計(jì)算和非線(xiàn)性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，而且在統(tǒng)計(jì)物理、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué) 、信息科學(xué)、公用事業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)，可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。3、 方法優(yōu)缺點(diǎn)蒙特卡羅法在具體的工作中主要由兩部分構(gòu)成：第一部分是需要產(chǎn)生某一概率分布的隨機(jī)變量。第二部分是用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)

6、出來(lái)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值解。優(yōu)點(diǎn)：1、能夠比較逼真的描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程。2、 受幾何條件限制小。3、 收斂速度與問(wèn)題的維度無(wú)關(guān)。4、 具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知數(shù)所求量的能力。5、 誤差容易確定。6、 程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)：1、收斂速度慢。2、 誤差具有概率性。3、 在粒子輸運(yùn)過(guò)程中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。具體應(yīng)用 由于蒙特卡羅法是用于隨機(jī)輸入非線(xiàn)性系統(tǒng)性能的統(tǒng)計(jì)分析。因此是一種概率統(tǒng)計(jì)，接下來(lái)具體介紹一下我所了解的幾種蒙特卡羅法的具體應(yīng)用。1、 求解不規(guī)則圖形的面積在求解一些非線(xiàn)性方程在某一區(qū)間的積分的時(shí)候，也即求解該方程與坐標(biāo)軸所圍成的面積的時(shí)候，

7、往往無(wú)法求解，而蒙特卡羅法則可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題，此方法需要大量的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。首先，用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)矩形將所求的不規(guī)則圖形包含住，假設(shè)矩形面積為A，離原點(diǎn)最遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)此時(shí)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生大量的隨機(jī)坐標(biāo)(s，t)，0<s<m,0<t<n。然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到所給坐標(biāo)中在不規(guī)則圖形內(nèi)的坐標(biāo)數(shù)量為，產(chǎn)生的總的坐標(biāo)數(shù)為。當(dāng)足夠大的時(shí)候，可以近似得到不規(guī)則圖形面積為A。2、復(fù)雜武器系統(tǒng)仿真分析：在復(fù)雜武器系統(tǒng)研制的后階段，需要進(jìn)行以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作為基礎(chǔ)進(jìn)行系統(tǒng)性能分析。為了使結(jié)果具有可信度，需要在其中包含非線(xiàn)性影響和隨機(jī)作用，非線(xiàn)性影響包括有固有物理規(guī)律的非線(xiàn)性、金屬構(gòu)件的非線(xiàn)

8、性和自身結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性；而隨機(jī)作用包含噪聲、傳感器測(cè)量誤差、隨機(jī)輸入和隨機(jī)初始條件。而由于此系統(tǒng)的非線(xiàn)性，使用理論的分析方法是不適用的，所以就需要利用蒙特卡羅法來(lái)進(jìn)行非線(xiàn)性系統(tǒng)的仿真：利用給出的非線(xiàn)性模型，施加不同的隨機(jī)選擇初始條件和變量，進(jìn)行大量的計(jì)算機(jī)仿真，來(lái)得到仿真結(jié)果的集合。蒙特卡羅法在用于對(duì)系統(tǒng)的性能估計(jì)上是很方便的，但是在研究設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響上，由于需要消耗大量的計(jì)算機(jī)時(shí)間，蒙特卡羅法并不方便。在此應(yīng)用中，需要確定系統(tǒng)對(duì)有限數(shù)量的初始條件和隨機(jī)噪聲輸入函數(shù)的響應(yīng)。因此，蒙特卡羅分析所要求的信息包括系統(tǒng)的模型、初始條件統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)輸入統(tǒng)計(jì)量。1、系統(tǒng)模型蒙特卡羅法所依據(jù)的系統(tǒng)模型

9、由狀態(tài)方程形式給出X(t)=f(X,t)+G(t)W(t)假定系統(tǒng)狀態(tài)變量為正態(tài)分布，給定初始狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差為EX(0)=m0E(X(0)-m0)(X(0)-m0)T=P01、 N次獨(dú)立模擬計(jì)算所謂N次獨(dú)立模擬計(jì)算指的是以下過(guò)程：（1） 按照給定的統(tǒng)計(jì)值m0，產(chǎn)生用隨機(jī)數(shù)作為初始的隨機(jī)狀態(tài)矢量X（0）。（2） 根據(jù)給定隨機(jī)輸入的均值b（t）及譜密度矩陣Q（t）來(lái)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，作為隨機(jī)輸入噪聲。（3） 對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)值積分，從t=0到系統(tǒng)的終端時(shí)刻t=tF為止。蒙特卡羅法的原理由下圖說(shuō)明3、 狀態(tài)矢量的均值和協(xié)方差估值的計(jì)算進(jìn)行N次獨(dú)立模擬計(jì)算之后，得到一組狀態(tài)軌跡，記為：X(1)t，

10、X(1),W(1)(T)X(2)t，X(2),W(2)(T).X(N)t，X(N),W(N)(T) 應(yīng)用總體平均的方法求出狀態(tài)矢量X（t）的均值和協(xié)方差的估值如下：4、 估計(jì)值的精度評(píng)定 作為參數(shù)，需要指出近似值的精度才行，應(yīng)該指出，估值和也是隨機(jī)變量，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，近似得到E()=mE()=()=/ 換句話(huà)說(shuō)，對(duì)于大的N值，樣本平均值服從正態(tài)分布N(m，/)，樣本均方差服從正態(tài)分布N(m，/),因此有P(|-m|/)=0.6827P(|-m|2/)=0.9545P(|-m|3/)=0.9973將上式稍加變化，對(duì)于大N值，可用估值近似代替式中真值，得到P(-/m+/)=0.6827P(-

11、2/m+2/)=0.9545P(-3/m+3/)=0。9973由此得到了狀態(tài)變量均值m的區(qū)間估計(jì)，也就是給出了樣本平均值的精確度，這可以敘述如下：區(qū)間-2/,+2/能包含狀態(tài)變量均值m的概率是0.9545，稱(chēng)該區(qū)間為均值估值置信概率為0.9545的置信區(qū)間，其他兩個(gè)式子可作類(lèi)似解釋。 類(lèi)似的，對(duì)均方根估值有P(-/+/)=0.6827P(-2/+2/)=0.9545P(-3/+3/)=0.9973通常，N>25才可近似作為大樣本，采用上述的參數(shù)估計(jì)方法。以上為在復(fù)雜武器系統(tǒng)后期進(jìn)行非線(xiàn)性系統(tǒng)的模擬仿真，通過(guò)蒙特卡羅法來(lái)得到系統(tǒng)性能的分析，來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面。3、蒙特卡羅法模擬光子和

12、電子(Na(Tl)晶體對(duì)光子響應(yīng)函數(shù)計(jì)算光子和電子的耦合輸運(yùn)) 確定Na(Tl)晶體對(duì)光子的響應(yīng)函數(shù)是光子光譜學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，為了把實(shí)驗(yàn)測(cè)得的多能光子脈沖高度譜分解成單色光子脈沖高度譜，需要把Na(Tl)晶體對(duì)光子的響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行刻度。 由于光子和探測(cè)器內(nèi)物質(zhì)發(fā)生反應(yīng)后，產(chǎn)生次級(jí)光子和電子，而電子和正電子在運(yùn)輸過(guò)程中又會(huì)產(chǎn)生光子，這種光子和電子耦合運(yùn)輸過(guò)程是非常復(fù)雜的，用一般數(shù)值方法難以解決，蒙特卡羅法能夠在較少近似的情況下，真實(shí)的模擬這種復(fù)雜的物理過(guò)程，因而該方法成為計(jì)算此類(lèi)問(wèn)題的有效工具。蒙特卡羅法模擬光子和電子的步驟使用蒙特卡羅法模擬初始光子及其所有次級(jí)光子和電子的軌道，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)，

13、能量沉積譜和探測(cè)效率。1、 光子的模擬步驟（1） 光子由源出發(fā)，入射到探測(cè)器，由于從源各向同性，發(fā)射的光子擊中探測(cè)器的數(shù)量不多，為提高抽樣效率，在絕對(duì)坐標(biāo)系下，以r=(0,0,)為球心，以R=為半徑，做一個(gè)包含探測(cè)器的輔助球，首先確定擊中該球的光子，然后再?gòu)闹羞x取擊中探測(cè)器的光子。（2） 光子輸運(yùn)，確定碰撞點(diǎn)的位置，對(duì)于初始光子，使用首次限制碰撞技巧，限制其在探測(cè)器內(nèi)與原子核首次發(fā)生作用，同時(shí)引入權(quán)重糾偏因子 其中u（E）、LI分別為光子沿其運(yùn)動(dòng)方向經(jīng)過(guò)的第i個(gè)介質(zhì)區(qū)域 的衰減系數(shù)和輸運(yùn)距離。對(duì)于初始光子的非首次碰撞及次級(jí)光子，采用一般方法輸運(yùn)，如光子逃出系統(tǒng)，其歷史結(jié)束，否側(cè)發(fā)生碰撞。 （3

14、）如光子在探測(cè)器內(nèi)與原子核發(fā)生作用，確定作用類(lèi)型。 （4）如發(fā)生光電效應(yīng)，將K層的電子結(jié)合能EK 累加到沉積能量記錄單元中去確定光電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)向電子模擬。 （5）如發(fā)生康普頓散射，確定光子散射后的能量和運(yùn)動(dòng)方向，存儲(chǔ)起來(lái)，計(jì)算康普頓電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （6）如發(fā)生對(duì)生成，分別計(jì)算電子、正電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （7）如發(fā)生三產(chǎn)生作用，確定反沖電子的能量，將其累加到沉積能量記錄單元中，轉(zhuǎn)向步驟6。二、電子、正電子的模擬（1）用散射關(guān)系式計(jì)算能量為E0的電子或正電子的射程，以及軔致光子的數(shù)目n，如果n不是整數(shù)，用隨機(jī)抽樣方法確定軔致光子的個(gè)數(shù)K，即：K=n

15、+1 當(dāng)§n-nK=n 其他·表示取整，如果K1，在電子射程中，均勻抽取K個(gè)軔致光子產(chǎn)生時(shí)該電子所走的軌跡長(zhǎng)度，從小到大排列好。（2） 對(duì)于正電子，計(jì)算飛行湮沒(méi)的概率P，并以概率P發(fā)生飛行湮沒(méi)，同時(shí)確定發(fā)生飛行湮沒(méi)時(shí)的能量EP。（3） 如果電子或正電子的能量小于某一確定值，引入射程截?cái)?，?duì)其進(jìn)行直線(xiàn)處理，即，計(jì)算電子射程及其到達(dá)區(qū)域邊界的距離，并判別電子在該區(qū)域內(nèi)死亡或者逃脫，如果電子射程小于到達(dá)邊界距離，則電子死亡，否則逃脫，逃脫時(shí)，根據(jù)能量射程關(guān)系式計(jì)算出電子逃出該區(qū)域時(shí)的能量，進(jìn)入新區(qū)域，重復(fù)該過(guò)程，直到電子離開(kāi)探測(cè)器。對(duì)于正電子，在探測(cè)器死亡時(shí)，發(fā)生湮沒(méi)，產(chǎn)生兩個(gè)光

16、子，存儲(chǔ)起來(lái)，轉(zhuǎn)向步驟7。（4） 如果電子或正電子能量大于E*進(jìn)行多次散射，假設(shè)第n次散射后的能量為En，第n+1次散射的能量為En+1=K·En。利用射程關(guān)系式計(jì)算出輸運(yùn)長(zhǎng)度L=LN-LN+1。其中Ln為En時(shí)的的射程。如果L大于電子到區(qū)域邊界的距離，則電子離開(kāi)區(qū)域。計(jì)算離開(kāi)時(shí)的能量，進(jìn)入新的區(qū)域或者離開(kāi)探測(cè)器，否側(cè)，進(jìn)入n+1的狀態(tài)，轉(zhuǎn)向3。（5） 對(duì)于任何情況的電子（直線(xiàn)處理或多次散射），均依照電子所走過(guò)的軌跡長(zhǎng)度總和確定是否有軔致光子產(chǎn)生，如有，確定軔致光子能量，位置和運(yùn)動(dòng)方向，存儲(chǔ)起來(lái)。在沒(méi)有軔致光子的產(chǎn)生情況下，沉積能量不考慮軔致光子能量這一部分。（6） 對(duì)于正電子，在多次散射中及可能發(fā)生飛行湮沒(méi)的情況下，當(dāng)電子能量Ep時(shí)。發(fā)生飛行湮沒(méi)，正電子消失，產(chǎn)生兩個(gè)光子，將他們存儲(chǔ)起來(lái)。（7） 在電子和正電子模擬結(jié)束后，將存儲(chǔ)的光子取出，轉(zhuǎn)向光子的模擬，存儲(chǔ)的全部次級(jí)光子模擬結(jié)束，一個(gè)由源發(fā)出的光子的全部歷史結(jié)束，根據(jù)其沉積總能量記錄對(duì)能量沉積譜的貢獻(xiàn)。 由整個(gè)光子、電子的模擬步驟來(lái)看，兩種粒子的耦合輸運(yùn)問(wèn)題模擬很復(fù)雜，模擬過(guò)程