函數(shù)的求導(dǎo)法則 (2)

1、函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 (2)第一頁，共32頁。一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第二頁，共32頁。證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvh

2、xvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .第三頁，共32頁。hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf第四頁，共32頁。推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnnii

3、xfxfxfxfxfxfxfxfxf第五頁，共32頁。例題分析例題分析, 7352 123yxxxy求例第六頁，共32頁。2)( ,2sincos4)( 23fxfxxxf及求例第七頁，共32頁。),cos(sin 3yxxeyx求例第八頁，共32頁。例例.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 第九頁，共32頁。例例.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 第十頁，共32頁。例例4 4.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc

4、)(cot2xx 同理可得同理可得第十一頁，共32頁。例例5 5.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得第十二頁，共32頁。例例.sinh的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .coshx 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第十三頁，共32頁。二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理2.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)

5、間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).第十四頁，共32頁。證證,xIx 任任取取xx 以增量以增量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 第十五頁，共32頁。例例6 6.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0c

6、os)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc第十六頁，共32頁。三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理3).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)而而可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變量等

7、于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )第十七頁，共32頁。證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第十八頁，共32頁。推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 第十九頁，共32頁。dxdyeyx求例, 93第二十頁，共32頁。dxd

8、yxxy求例,12sin 102第二十一頁，共32頁。.sinln 11的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)例xy 第二十二頁，共32頁。dxdyxy求例,21 1232第二十三頁，共32頁。 dxdyeyx求例,cosln 13第二十四頁，共32頁。, 141sinyeyx求例第二十五頁，共32頁。例例.)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx第二十六頁，共32頁。例例.arcsin22222的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22

9、xa )0( a第二十七頁，共32頁。例例.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx第二十八頁，共32頁。例例.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第二十九頁，共32頁。xxxxxxxtansec)(secsec)(tancos)(sin21 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos2aaaxxln)(xx1)(l

10、n0)(C1)(aaaxxxxee )(axxaln1)(log2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc第三十頁，共32頁。2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 3.反函數(shù)的求導(dǎo)法11( )( )( )fxyf x4. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdududydxdy第三十一頁，共32頁。222211)( ,11)( ,11)(1)( ,)( ,)( 16xarthxxarchxxarshxxchthxshxchxch