切線的性質定理

1、切線的性質定理第一頁，共48頁。復習回顧復習回顧1.切線的判定定理切線的判定定理2.切線的判定方法：切線的判定方法：（）定義（）定義（）切線的判定定理（）切線的判定定理.( 2 ) d=r 直線與圓相切直線與圓相切已知直線過圓上一點：已知直線過圓上一點：(連半徑，證垂直）連半徑，證垂直）不明確直線是否過圓上一點：不明確直線是否過圓上一點： (作垂直，證半徑）作垂直，證半徑）經過半徑的外端并且垂直于這條半經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線徑的直線是圓的切線直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切。相切。第二頁，共48頁。第三頁，共48頁。課前訓練

2、課前訓練1.如圖，如圖， O的半徑的半徑OAOB，點，點D在在OB的延長線的延長線上，連接上，連接AD交交 O于于Q，過點，過點Q作直線作直線PQ交交OD于點于點C，若，若CD=CQ。求證：求證：PQ是是 O的切線。的切線。第四頁，共48頁。已知：如圖，同心圓已知：如圖，同心圓O O，大圓的弦，大圓的弦 AB=CDAB=CD，且，且ABAB是小圓的切線，切點為是小圓的切線，切點為E E 求證：求證：CDCD是小圓的切線是小圓的切線第五頁，共48頁。如圖，已知如圖，已知OO中，中，ABAB是直徑，是直徑， 過過B B點作點作OO的切線的切線BCBC，連結，連結COCO若若 ADOCADOC交交O

3、O于于D D 求證：求證：CDCD是是OO的切線的切線 通過通過證明三角形全等證明三角形全等證明垂直證明垂直. . 第六頁，共48頁。如圖，AD是BAC的平分線，P為BC 延長線上一點，且PA=PD. 求證：PA與O相切.ABDCPO通過證明兩角互余，證明垂直的通過證明兩角互余，證明垂直的 第七頁，共48頁。如圖，如圖，AB=ACAB=AC，ABAB是是OO的直徑，的直徑， OO交交BCBC于于D D，DMACDMAC于于M M 求證：求證：DMDM與與OO相切相切. .通過證平行來證明垂直的通過證平行來證明垂直的 D第八頁，共48頁。如圖，已知：如圖，已知：ABAB是是 O O的直徑，點的直

4、徑，點C C 在在 O O上，且上，且CAB=30CAB=300 0，BD=OBBD=OB，D D在在 ABAB的延長線上的延長線上. . 求證：求證：DCDC是是 O O的切線的切線根據圓周角定理的推論根據圓周角定理的推論3 3證明垂直的證明垂直的 第九頁，共48頁。如圖，如圖，AB是是 O的直徑的直徑,CDAB， 且且OA2=ODOP. 求證：求證：PC是是 O的切線的切線.根據圓周角定理的推論根據圓周角定理的推論3 3證明垂直的證明垂直的 第十頁，共48頁。已知：如圖，已知：如圖，AC，BD與與 O切于切于 A、B，且，且ACBD，若，若COD=900. 求證：求證：CD是是 O的切線的

5、切線.根據根據綜合運用解題第十一頁，共48頁。探索新知探索新知M假設假設L與與OA不垂直，過不垂直，過O作作OML，垂足為，垂足為M，根據，根據“垂線垂線段最短段最短”的性質，有的性質，有OMOA。這。這就是說圓心到直線就是說圓心到直線L的距離小于半的距離小于半徑，于是徑，于是L就要與就要與第十二頁，共48頁。如圖，如圖，AB為為 O的直徑，的直徑，C為為 O上一點，上一點，AD和過和過C點點的切線互相垂直，垂足為的切線互相垂直，垂足為D。求證：。求證：AC平分平分DAB例題選講例題選講第十三頁，共48頁。例題選講例題選講第十四頁，共48頁。隨堂訓練隨堂訓練第十五頁，共48頁。隨堂訓練隨堂訓練

6、第十六頁，共48頁。隨堂訓練隨堂訓練第十七頁，共48頁。拓展應用拓展應用第十八頁，共48頁。PABCD臺風路臺風路經范圍經范圍如圖所如圖所示示第十九頁，共48頁。、切線和圓只有一個公共點。、切線和圓只有一個公共點。、切線和圓心的距離等于半徑。、切線和圓心的距離等于半徑。、切線垂直于過切點的半徑。、切線垂直于過切點的半徑。、經過圓心垂直于切線的直線必過切點。、經過圓心垂直于切線的直線必過切點。、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。6、經過切點的直徑與切線垂直。、經過切點的直徑與切線垂直。第二十頁，共48頁。 如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三

7、個 (1)垂直于切線；垂直于切線； (2)過切點；過切點； (3)過圓心過圓心 推論推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 推論推論2：經過切點且垂于切線的直線必經過圓心：經過切點且垂于切線的直線必經過圓心第二十一頁，共48頁。 已知：已知：直線直線a與圓與圓o相切于點相切于點M,直線直線b經經過點過點M且垂直于直線且垂直于直線a。 求證：求證：直線直線b經過圓心經過圓心o 證明：假設直線b經不過圓心o，連接OM,則OM與直線b交于點M,因為直線a與圓o相切于點M,所以OM直線a，又因為直線b直線a，所以OM直線b（平面內垂直于同一條直線的兩條直線平

8、行），這與“OM與直線b交于點M”矛盾，所以，直線b經過圓心o。即經過切點垂直于切線的直線必過圓心.第二十二頁，共48頁。求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點的線求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點的線段是直徑。段是直徑。 已知：AB、CD是 O的兩條切線，E、F為切點,且ABCD 求證：連結E、F的線段是直徑。 證明：連結EO并延長 AB切 O于E，OEAB，ABCD，OECD CD是 O切線，F(xiàn)為切點， OE必過切點F EF為 O直徑第二十三頁，共48頁。已知已知:AB:AB是半是半OO直徑，直徑，CDABCDAB于于D D， ECEC是切線，是切線，E E為切點為切點

9、 求證：求證：CE=CFCE=CFEBDOCFA第二十四頁，共48頁。 O。ABP過圓外一點可以引圓的幾條切線？過圓外一點可以引圓的幾條切線？第二十五頁，共48頁。在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做叫做這點到圓的切線長。這點到圓的切線長。OPAB切線切線與與切線長切線長是一回事嗎？是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？呢？ 切線切線:不可以度量。不可以度量。切線長：切線長：可以度量。可以度量。B第二十六頁，共48頁。 OABP思考思考：已知已知 O切線切線PA、PB，A、B為切點，把圓沿著直線為切點，把圓沿

10、著直線OP對折對折,你能你能發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)什么?12第二十七頁，共48頁。請證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。請證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。APOBPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點相切，點A A，B B是切點是切點 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB試用文字語言敘試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結述你所發(fā)現(xiàn)的結論論第二十八頁，共48頁。PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點引圓的兩條切線，它從圓外一點引圓的

11、兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。切線的夾角。 幾何語言幾何語言:反思反思：切線長定理為證明：切線長定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法OPAB第二十九頁，共48頁。APOB 若連結兩切點若連結兩切點A A、B B，ABAB交交OPOP于點于點M.M.你又能得出你又能得出什么新的結論什么新的結論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是

12、等腰三角形，PMPM為為頂角頂角的平分線的平分線 OP垂直平分垂直平分ABM第三十頁，共48頁。APO。B 若延長若延長PO交交 O于點于點C，連結，連結CA、CB，你又你又能得出什么新的結論能得出什么新的結論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC第三十一頁，共48頁。探究：探究：PA、PB是是 O的兩條切的兩條切線，線，A、B為切點，直線為切點，直線OP交于交于 O于點于點D、E，交，交AB于于C。BAPOCE

13、D（1）寫出圖中所有的垂直關系）寫出圖中所有的垂直關系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有相等的線段）寫出圖中所有相等的線段（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE, PA=PB, AC=BC, AE=BE 第三十二頁，共48頁。已知：如圖已知：如圖,PA,PA、PBPB是是OO的切線，切點分別是的切線，切點分別是A A、B B，Q Q為為ABAB上一點，過上一點，過Q Q點作點作OO的切線，交的切線，交PAPA、PBPB于于E E、F F點，已知點，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周長。的周長。

14、EAQPFBO易證易證EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周長為24cm第三十三頁，共48頁。 變式：變式：如圖所示如圖所示PA、PB分別切分別切圓圓O于于A、B，并與圓，并與圓O的切線分別相交于的切線分別相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周長的周長(2) 如果如果P=46,求求COD的度數(shù)的度數(shù)C OPBDAE第三十四頁，共48頁。和三角形各邊都相切的圓叫做和三角形各邊都相切的圓叫做三角形三角形的內切圓的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形，內切

15、圓的圓心叫做三角形的的內心內心，這個三角形叫做，這個三角形叫做圓的外切圓的外切三角形三角形。和多邊形的各邊都相切的圓叫做和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓多邊形的內切圓，這個多邊形叫，這個多邊形叫做做圓的外切多邊形圓的外切多邊形。第三十五頁，共48頁。在在ABC中，中，ABC=500， ACB=750，點，點O是內心，求是內心，求BOC的度數(shù)。的度數(shù)。第三十六頁，共48頁。例例2、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圓和圓OO分別相切于點分別相切于點L L、M M、N N、P P， 求證：求證： AD+BC=AB+CD AD+BC=

16、AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得證明：由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC補充：補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等第三十七頁，共48頁。 第三十八頁，共48頁。BDEFOCA如圖，如圖，ABC的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為r, ABC的周長為的周長為l,求求ABC的面積的面積S.解：解：設設ABC的內切圓與三邊相切于的內切圓與三邊相

17、切于D、E、F，連結連結OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr設設ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內切圓的半徑的內切圓的半徑 r2Sabc三角形的內切圓的有關計算三角形的內切圓的有關計算第三十九頁，共48頁。ABCEDFO 如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內切圓的內切圓. 求：求：RtABC的內切圓的內切圓的半徑的半徑 r. 解：解：設設RtABC的內切圓與三邊相切于的內切圓與三邊相切于D、E、

18、F，連結，連結OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設設RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內切圓的半徑內切圓的半徑 r 或或rabc2ababc第四十頁，共48頁。 OABCDEF OABCDE思考思考：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，AD、DC、BC是切線，點是切線，點A、E、B為切點，若為切點，若BC=9，AD=4，求，求OE的長的長.第四十一頁，共48頁。例例1 1、已知：、已知：P P為為OO外一點，外一點，PAPA、PBPB為為OO的的切線，切線，A A、B B為切點，為切點，BCBC是直徑。是直徑。 求證：求證：ACOPACOPPACBDO第四十二頁，共48頁。練習練習.如圖，如圖，ABC中中,C =90 ,它的它的內切圓內切圓O分別與邊分別與邊AB、BC、CA相切相切于點于點D、E、F，且，且BD=1