多元函數(shù)積分的計(jì)算方法與技巧1_第1頁(yè)
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1、第10章 多元函數(shù)積分的計(jì)算方法與技巧一、二重積分的計(jì)算法1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分假定積分區(qū)域可用不等式 表示,其中, 在上連續(xù).這個(gè)先對(duì), 后對(duì)的二次積分也常記作如果積分區(qū)域可以用下述不等式表示,且函數(shù),在上連續(xù),在上連續(xù),則 (2)顯然,(2)式是先對(duì),后對(duì)的二次積分.積分限的確定幾何法.畫出積分區(qū)域的圖形(假設(shè)的圖形如下 )在上任取一點(diǎn),過(guò)作平行于軸的直線,該直線穿過(guò)區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)與,這里的、就是將,看作常數(shù)而對(duì)積分時(shí)的下限和上限；又因是在區(qū)間上任意取的,所以再將看作變量而對(duì)積分時(shí),積分的下限為、上限為.例1計(jì)算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域.2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二

2、重積分1、就是極坐標(biāo)中的面積元素.2、極坐標(biāo)系中的二重積分, 可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算.其中函數(shù), 在上連續(xù).則 注:本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計(jì)算法來(lái)求其精確值.3、使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單( 含, 為實(shí)數(shù) ).例6計(jì)算解此積分區(qū)域?yàn)樵搮^(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為二、三重積分的計(jì)算1、積分區(qū)域可表示成則 這就是三重積分的計(jì)算公式, 它將三重積分化成先對(duì)積分變量, 次對(duì),最后對(duì)的三次積分. 例1計(jì)算, 其中為球面及三坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的立體.解 在面上的投影區(qū)域?yàn)?確定另一積分變量的變化范圍選擇一種次序,化三重積分為三次積分2、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式體積為這便是柱面坐標(biāo)系下的體積元素, 并注意到(1)式有3、利用球坐

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