導數(shù)的概念及運算學案

1、第三章導數(shù)及其應用學案13導數(shù)的概念及運算導學目標： 1.了解導數(shù)概念的實際背景，理解函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)yC (C為常數(shù))，yx，yx2，y，y的導數(shù)熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(c，xm (m為有理數(shù))，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的導數(shù)自主梳理1函數(shù)的平均變化率一般地，已知函數(shù)yf(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f

2、(x0x)f(x0)，則當x0時，商_稱作函數(shù)yf(x)在區(qū)間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率2函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)(1)定義函數(shù)yf(x)在點x0處的瞬時變化率_通常稱為f(x)在xx0處的導數(shù)，并記作f(x0)，即_(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是過曲線yf(x)上點(x0，f(x0)的_導函數(shù)yf(x)的值域即為_3函數(shù)f(x)的導函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都是可導的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，其導數(shù)也是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導函數(shù)，記作_4基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表原函數(shù)導函數(shù)f(x

3、)Cf(x)_f(x)x (Q*)f(x)_ (Q*)F(x)sinxf(x)_F(x)cosxf(x)_f(x)ax (a>0，a1)f(x)_(a>0，a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0，a1，且x>0)f(x)_(a>0，a1，且x>0)f(x)lnxf(x)_5導數(shù)運算法則(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_g(x)06復合函數(shù)的求導法則：設(shè)函數(shù)u(x)在點x處有導數(shù)ux(x)，函數(shù)yf(u)在點x處的對應點u處有導數(shù)yuf(u)，則復合函數(shù)yf(x)在點x處有導數(shù)，且yxyu·ux，

4、或?qū)懽鱢x(x)f(u)(x)自我檢測1在曲線yx21的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1x，2y)，則為()Ax2Bx2Cx2D2x2設(shè)yx2·ex，則y等于()Ax2ex2xB2xexC(2xx2)exD(xx2)·ex3(2010·全國)若曲線yx在點(a，a)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a等于()A64B32C16D84(2011·臨汾模擬)若函數(shù)f(x)exaex的導函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是()ABln2C.Dln25(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)f()cosxsi

5、nx，則f()_.探究點一利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)例1利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)在x1處的導數(shù)；(2)f(x).變式遷移1求函數(shù)y在x0到x0x之間的平均變化率，并求出其導函數(shù)探究點二導數(shù)的運算例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y(1)；(2)y；(3)yxex；(4)ytanx.變式遷移2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2sinx；(2)y3xex2xe；(3)y.探究點三求復合函數(shù)的導數(shù)例3(2011·莆田模擬)求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y(1sinx)2；(2)y；(3)yln；(4)yxe1cosx.變式遷移3求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y；(2)ysin2；(3)yx.探

6、究點四導數(shù)的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程變式遷移4求曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程1準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面：(1)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線yx3在其過(0,0)點的切線y0的兩側(cè)2曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切

7、點和不是切點兩種情況求解(1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標P(x1，f(x1)；第二步：寫出過P(x1，f(x1)的切線方程為yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點P(x0，y0)的切線方程3求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數(shù)在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導公式，對于不

8、具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的要適當變形(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知函數(shù)f(x)2ln(3x)8x，則的值為()A10B10C20D202(2011·溫州調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)x2axb的部分圖象，則函數(shù)g(x)lnxf(x)的零點所在的區(qū)間是()A.B(1,2)C.D(2,3)3若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30Bx4y50C4xy30Dx4y304(2010·遼寧)已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是()A.B.C.D.5(2011·珠海模擬)在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：

9、“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1，x2 (x1x2)，|f(x2)f(x1)|<|x2x1|恒成立”的只有()Af(x)Bf(x)|x|Cf(x)2xDf(x)x2題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時刻是_7若點P是曲線f(x)x2lnx上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為_8設(shè)點P是曲線yx23x3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是_三、解答題(共38分)9(12分)求下列函數(shù)在xx0處的導數(shù)(1)f(x)，x02；(2)f(x)，x01.10(12分)

10、(2011·保定模擬)有一個長度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4m時，梯子上端下滑的速度11(14分)(2011·平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)x2alnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x2處的切線方程為yxb，求a，b的值；(2)若函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍自主梳理1.2.（1）(2)切線的斜率切線斜率的取值范圍3.y或f(x)40x1cosxsinxaxlnaex5(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我檢測1C2.C3.A4.D51解

11、析f(x)f()sin xcosx，f()1.f()1.課堂活動區(qū)例1解題導引(1)用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù)必須把分式中的分母x這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現(xiàn)x，從而分子分母相約分(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”(3)注意在某點處的導數(shù)與導數(shù)定義式的區(qū)別：；(4)用導數(shù)的定義求導的步驟為：求函數(shù)的增量y；求平均變化率；化簡取極限解(1)，.(2)，.變式遷移1解y，.y'=.例2解題導引求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數(shù)在求

12、導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導公式對于不具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的要適當恒等變形解(1)y(1)，y.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.變式遷移2解(1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsin xx2cosx.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3·ex3xex2xln2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解題導引(1)求復合函數(shù)導數(shù)的思路流程為：(2)由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是

13、從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程解(1)y(1sin x)22(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x2cosxsin2x.(2)y(3)y(ln)·()·(x21)·(x21).變式遷移3解(1)設(shè)u13x，yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(2)設(shè)yu2，usinv，v2x，則yxyu·uv·vx2u·cosv·24sin·cos2sin.(3)y(x)x·x().例4解

14、題導引(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點(2)求函數(shù)對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點處的導數(shù)即可(3)解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標解決解(1)yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率ky|x24.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率ky|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x

15、(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點為(x0，y0)，則切線的斜率為kx1，解得x0±1，故切點為，(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.變式遷移4解f(x)3x26x2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當切點是原點時kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當切點不是原點時，設(shè)切點是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線的切線方程為yx.綜上，曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程為y2x或yx.課后練習區(qū)1C2.C3.A4.D5.A61秒或2秒末7.812x3y809解(1)f(x)，f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(lnx)x1，f(1).(12分)10解設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米，則s5，當下端移開1.4m時，