二階線性偏微分方程的分類與小結(jié)

1、第六章 二階線性偏微分方程的分類與小結(jié)一 兩個(gè)自變量的二階線性方程1 方程變換與特征方程兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程總表示成它關(guān)于未知函數(shù)及其一、二階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，其中都是自變量的已知函數(shù)，假設(shè)它們的一階偏 導(dǎo)數(shù)在某平面區(qū)域內(nèi)都連續(xù)，而且不全為0 。設(shè)是內(nèi)給定的一點(diǎn)，考慮在的領(lǐng)域內(nèi)對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。取自變量變換,其中它們具有二連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且在處的雅可比行列式。=根據(jù)隱函數(shù)存在定理，在領(lǐng)域內(nèi)存在逆變換,因?yàn)椋瑢⒋胧蛊渥優(yōu)榻?jīng)過變換后，方程的階數(shù)不會(huì)升高，由變換的可逆性，方程的階數(shù)也不會(huì)降低，所以不全為0。并可驗(yàn)證這表明，在可逆變換下與保持相同的正負(fù)號(hào)。 定理 在的領(lǐng)域內(nèi)，不為常數(shù)的函數(shù)是偏

2、微分方程之解的充分必要條件是：是常微分方程的通解。2 方程的類型及其標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)以上結(jié)論簡(jiǎn)化方程的問題歸結(jié)為尋求其特征曲線。為此將特征方程分解成兩個(gè)方程：，(1) 若在的鄰域內(nèi)時(shí)，方程可以化為，該式稱為雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中是自變量的已知函數(shù)。(2) 若的鄰域內(nèi)時(shí)，可將方程簡(jiǎn)化成，該式稱為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中是自變量的已知函數(shù)。(3) 若的鄰域內(nèi)時(shí)，可將方程簡(jiǎn)化成，該式稱為橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中是自變量的已知函數(shù)。 總之，根據(jù)的正負(fù)號(hào)能將簡(jiǎn)化成三種標(biāo)準(zhǔn)形式。 定義 若在區(qū)域中點(diǎn)處滿足(或是=0，或是0)，則稱方程在該點(diǎn)處是雙曲線的(或是拋物型的，或是橢圓型的)。二 個(gè)自變量的二階

3、線性方程 1 方程的分類個(gè)自變量的二階線性偏微分方程一般可以表示成其中，都是自變量的已知函數(shù)，假設(shè)它們?cè)诰S空間中某一區(qū)域內(nèi)連續(xù)，而且不全為0。 在區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)處，由二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)可構(gòu)成相應(yīng)的二次型=其中，而是階對(duì)稱矩陣。 定義2 如果在點(diǎn)的二次型為非退化且是不定的，即它恰有個(gè)非零特征值，而且特征值的符號(hào)不全相同，則稱方程在點(diǎn)是雙曲線型。如果其中個(gè)非零特征值同號(hào)，只有一個(gè)非零特征值與它們異號(hào)，則稱方程在點(diǎn)是狹義雙曲線型的。如果其中不只一個(gè)非零特征值是異號(hào)的，則稱方程在點(diǎn)是超雙曲線型的。 定義3 如果在點(diǎn)的二次型為非退化的，即它至少有一個(gè)零特征值，則稱方程在點(diǎn)是拋物型。如果只有一個(gè)零特征值，而另外

4、個(gè)非零特征值同號(hào)，則稱方程在點(diǎn)是狹義拋物型的。如果是其它有零特征值的情形，則稱方程在點(diǎn)是廣義拋物型的。 定義4 如果在點(diǎn)的二次型為正定或負(fù)定的，即它恰有個(gè)同號(hào)的非零特征值，則稱方程在點(diǎn)是橢圓型的。 2 方程的簡(jiǎn)化 當(dāng)方程中二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)全是常數(shù)時(shí)，相應(yīng)的二次型是常系數(shù)實(shí)二次型。根據(jù)線性代數(shù)的理論，運(yùn)用配方法或者正交變換法，總可找到一個(gè)可逆線性變換，即其中是可逆矩陣，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，即= 其中=，而且=1或-1或0。 可取轉(zhuǎn)置矩陣構(gòu)造自變量可逆線性變換，即，就能將在區(qū)域內(nèi)方程簡(jiǎn)化為+。三小結(jié)前面各章的各種定解問題具有的一個(gè)共同的特點(diǎn)偏微分方程與定解條件關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是線性的，稱這些業(yè)解問題都是線性問題。線性問題普遍成立有疊加原理。疊加原理是前面各章介紹的各種方法的基礎(chǔ)。另一方面，二階偏微分方程可以分成雙曲線型、拋物型和橢圓型，由于它們描述了物理與工程技術(shù)中不同的自然現(xiàn)象，所以，它們不僅在二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)的代數(shù)方面有差異，而且在定解條件與性態(tài)方程有本質(zhì)區(qū)別。常系數(shù)齊次波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程分別是三類方程的典型代表。為了使定解問題能反映實(shí)際現(xiàn)象的客觀規(guī)