軸心受壓構(gòu)件失穩(wěn)

1、第二章 軸心受壓構(gòu)件失穩(wěn)軸心受力構(gòu)件在鋼結(jié)構(gòu)中應用廣泛，如桁架、網(wǎng)架中的桿件，工業(yè)廠房及高層鋼結(jié)構(gòu)的支撐，操作平臺和其它結(jié)構(gòu)的支柱等。對軸心受壓構(gòu)件同樣應按承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)設(shè)計。就第一類極限狀態(tài)而言，除了一些較短的軸心受力構(gòu)件因局部有孔洞削弱，需要驗算凈截面強度，一般情況，軸心受力構(gòu)件的承載力是由穩(wěn)定條件決定的，即應滿足整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定要求。本章著重討論軸心受力構(gòu)件的整體穩(wěn)定問題。2.1軸心受壓構(gòu)件的失穩(wěn)類型鋼結(jié)構(gòu)失穩(wěn)在形式上具有多樣性的特點。對軸心受壓構(gòu)件而言，彎曲失穩(wěn)是最常見的屈曲形式，但并非唯一的失穩(wěn)形式，還可能發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)和彎扭失穩(wěn)。對于一般雙軸對稱截面的軸心受壓構(gòu)

2、件，可能繞截面的兩個對稱軸發(fā)生彎曲屈曲（圖2.1a）；但是對于抗扭剛度和抗翹曲剛度很弱的軸心受壓構(gòu)件，如圖2.1b所示的雙軸對稱十字形截面軸心受壓構(gòu)件，除了可能發(fā)生繞兩個水平對稱軸彎曲失穩(wěn)外，還可能發(fā)生繞縱軸的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)；對單軸對稱的軸心受壓構(gòu)件，如圖2.1c所示T形截面軸心受壓構(gòu)件，可能發(fā)生繞對稱軸彎曲變形的同時伴有扭轉(zhuǎn)變形的彎扭失穩(wěn)。軸心受壓構(gòu)件以什么樣的形式失穩(wěn)主要取決于截面的形狀和幾何尺寸，桿件長度和桿端的連接條件。 （a）彎曲失穩(wěn) （b）扭轉(zhuǎn)失穩(wěn) （c）彎扭失穩(wěn)圖2.1 軸心受壓構(gòu)件的失穩(wěn)類型2.2 軸心受壓構(gòu)件的彎曲失穩(wěn)軸心受壓構(gòu)件最簡單的失穩(wěn)形式是彎曲失穩(wěn)，為了避免發(fā)生彎曲失穩(wěn)，首

3、先必須確定軸心受壓構(gòu)件的臨界荷載值，然而求臨界荷載并不簡單，主要體現(xiàn)在：理想軸心受壓構(gòu)件在實際結(jié)構(gòu)中并不存在，因此在理想條件下求出的臨界荷載值并不能直接用于軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定設(shè)計。理想軸心受壓構(gòu)件與實際軸心受壓構(gòu)件的主要差別在于有無“缺陷”，受壓構(gòu)件的缺陷主要指桿軸的初始彎曲、荷載作用的初始偏心及加載前的殘余應力。有無缺陷對受壓構(gòu)件的穩(wěn)定分析結(jié)果影響很大，雖然理想受壓構(gòu)件并不存在，但是其分析方法卻是實際有缺陷受壓構(gòu)件的基礎(chǔ)，對軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定分析總是從理想軸心受壓構(gòu)件開始，然后再分別研究缺陷對其穩(wěn)定性的影響。軸心受壓構(gòu)件的彈性分析與彈塑性分析差別很大。對于某一構(gòu)件，用彈性方法還是用彈塑性方法確

4、定其臨界荷載取決于構(gòu)件的具體情況。如理想的細長受壓構(gòu)件，其臨界荷載在材料的彈性階段就可獲得，因此用彈性穩(wěn)定分析即可；而理想中短受壓構(gòu)件，其臨界荷載在彈塑性階段才可獲得，因此必須進行彈塑性分析。將理論分析結(jié)果用于鋼結(jié)構(gòu)軸心受壓構(gòu)件的設(shè)計是穩(wěn)定分析的目的，由于影響因素眾多，研究工作仍不完善，需做大量的工作。鋼結(jié)構(gòu)及構(gòu)件穩(wěn)定計算的主要目的在于確定臨界荷載值。確定理想軸心受壓構(gòu)件的臨界荷載是基礎(chǔ)，因此首先回顧理想軸心受壓構(gòu)件求臨界荷載值的方法。 如第一章所述，確定臨界荷載值主要有靜力法和能量法。1. 靜力法靜力法即靜力平衡法，即根據(jù)已發(fā)生了微小變形后結(jié)構(gòu)的受力條件建立平衡微分方程，然后解出臨界荷載。在

5、建立理想軸心受壓構(gòu)件彎曲平衡方程時有如下基本假定：構(gòu)件是等截面直桿；壓力始終沿構(gòu)件原來軸線作用；材料符合虎克定律，即應力與應變成線性關(guān)系；構(gòu)件符合平截面假定，即構(gòu)件變形前的平截面在變形后仍為平面；構(gòu)件的彎曲變形是微小的，曲率可以近似地用撓度函數(shù)的二階導數(shù)表示。 下面通過幾個算例具體說明靜力法的求解過程?！纠}2.1】用靜力法確定圖2.2所示單自由度體系的臨界荷載Pcr。假定桿ab和bc的抗彎剛度EI=（a） （b）圖2.2 單自由度體系軸心受壓構(gòu)件解 由圖2.2b， ： （a）： （b）式（a）（l+l1） 式（b）l 得 （c）由于式（c）中的，則 （d）【例題2.2】確定圖2.3所示軸心受

6、壓構(gòu)件的臨界荷載Pcr。（a） （b）圖2.3 無限自由度軸心壓桿解 由于ac、ab兩段桿的受力不同，因此需要分別列出平衡微分方程。ac段： （a）ab段： （b）令，且將代入式（a），則上式變?yōu)?（0xl） （c） （lx2l） （d）通解分別為 （e） （f）引入邊界條件，則有 ： ： （g） ： （h） ： （i） ： （j）由式（g）得，代入式（h），則可得到以A2、B2和為未知量聯(lián)立方程組 （k）可得穩(wěn)定方程 （l）展開后 （m）得到，則，最小根為： （n）， 即： （o）經(jīng)過試算，得方程的最小根 （p）比較式（n）和式（p），臨界荷載為 （q）2. 能量法 能量法是求解穩(wěn)定承載力的

7、一種近似方法。用能量法求解臨界荷載的途徑主要有能量守恒原理和勢能駐值原理。 能量守恒原理即：保守體系處在平衡狀態(tài)時，貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應變能等于外力所做的功。計算臨界力的基本方程 （2.1）式中，為體系應變能的增量，為外力功的增量。【例題2.3】用能量守恒原理求例題2.1 單自由度體系的臨界荷載Pcr。解 此題中體系應變能的增量為彈簧應變能的增量 （a）軸向力作用下產(chǎn)生的豎向位移 （b）取余弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展式前兩項，式（b）變?yōu)?（c）則 （d）由，得 （e）能量法求解臨界力的另一種途徑即利用勢能駐值原理，其表達式 （2.2）式中為結(jié)構(gòu)總勢能的一階變分，有 （2.3）其中是虛位移引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)

8、應變能的變化；表示外力因虛位移而作的功，且外力勢能的變化等于外力虛功的負值，即。下面通過例題說明其具體應用?！纠}2.4】用里茲法求解例題2.2軸心受壓構(gòu)件的臨界荷載Pcr。解 假設(shè)壓桿失穩(wěn)時的變形曲線為 （a）其滿足邊界條件，即 （b）由于 （c） （d）則 （e）由勢能駐值原理有 （f）因a10，得到 （g）與例題2.2的計算結(jié)果相比，用能量法計算的結(jié)果比靜力法（精確法）的大26.2%(1.7141.358)/1.358=26.2%。說明假定的變形曲線與實際曲線尚有較大差別，采用改進的曲線方程就可以得到較精確的解。幾種常用的變形曲線級數(shù)表達式見表2.1。 當桿件的變形曲線采用表2.1中的級

9、數(shù)形式前若干項時，一般求解臨界力可采用下面的步驟： 設(shè)滿足位移邊界條件的變形曲線方程 （2.4）式中ai是任意參數(shù)。將式（2.4）代入式（1.22）得 （2.5）令 （2.6）表2.1 滿足位移邊界條件的變形曲線級數(shù)表達式（a）（b）（a）（a）（b）（a） （2.7）則 （2.8）求P的極小值可由確定，即應有 （2.9）由于及，則有 （2.10）因為 （2.11） （2.12）則式（2.10）變?yōu)?（i=1,2,3,n） （2.13）令 （2.14）則式（2.13）可改寫為 （i=1,2,3,n） （2.15）其展開式 （2.16）式（2.16）是關(guān)于n個未知參數(shù)a1、 a2 、an的齊次線

10、性方程組。由于參數(shù)a1、 a2 、an不能全部為零，則可以得到穩(wěn)定方程 （2.17）將式（2.17）展開，可以得到一個關(guān)于P的n次代數(shù)方程，n個根中的最小根即為所求的臨界力。此法也稱為鐵摩辛柯里茲法（Timoshenko-Ritz Method），所得的近似解是精確解的一個上限。因為假設(shè)的變形曲線式（2.4）減少了結(jié)構(gòu)的自由度（從無限自由度有限自由度），相當于對體系增加了某些約束，所以按此法求得的臨界力比實際的大?！纠}2.5】用鐵摩辛柯里茲法求解圖2.4所示豎直桿在自重作用下的臨界荷載。圖2.4 自重作用下的豎直桿解 變形曲線取三角級數(shù)的前兩項 （a）則 （b） （c）先求體系的應變能 （d

11、）再求自重所做的功。由圖2.4b可知，由于微段dx傾斜而使其上部分下降距離為式（1.18），即，于是微段dx以上部分的重量所做的功為 （e）沿柱全長積分，則可求出全部重量所做的功 （f）結(jié)構(gòu)總勢能為 （g）令，得 （h）式（h）中A、B分別代表分子、分母。 為使q最小，a1和a2應滿足如下極值條件 （i=1,2） （i）式（i）也可表達為 （i=1,2） （j）將A、B表達式代入，式（j）為 （k）或?qū)懗?（m）則有穩(wěn)定方程 （n）展開并整理后得 （p）解出二次方程的最小根，得臨界荷載 （q）將其與用靜力法得出的精確解相比較，誤差僅有0.0128%.當軸心壓桿兩端約束條件不同時，相應的臨界荷載

12、會不同，即約束條件是影響構(gòu)件穩(wěn)定性能的重要因素。對于兩端鉸支的理想軸心受壓構(gòu)件，臨界荷載為，而對于其它約束類型（如端部固定、自由、只能平移不能轉(zhuǎn)動等）組合構(gòu)成的軸心受壓構(gòu)件，可將其臨界荷載換算成相當于兩端鉸支的理想軸心受壓構(gòu)件的Pcr形式求解。即采用下式 （2.18）式中稱為桿件的計算長度；稱為計算長度系數(shù)，具體取值見表2.2。式（2.18）也可以表表2.2 軸心受壓構(gòu)件計算長度系數(shù)端部約束條 件兩端鉸支一端鉸支、另端嵌固兩端嵌固懸壁柱一端鉸支，另端不能轉(zhuǎn)動只能平移一端嵌固，另端不能轉(zhuǎn)動只能平移理論值1.00.70.52.02.01.0設(shè)計值1.00.80.652.12.01.2示為構(gòu)件截面的

13、平均應力形式，稱之為屈曲應力 （2.19）式中，A為截面面積；i是回轉(zhuǎn)半徑，；為長細比，。 由于實際構(gòu)件的端部構(gòu)造所能產(chǎn)生的約束狀態(tài)與理想的有所不同，如實際鉸支座存在不同程度的轉(zhuǎn)動約束，嵌固端很難保證絲毫不能轉(zhuǎn)動等。因此，設(shè)計中應修正系數(shù)，具體修正值見表2.2。從表中可以看出，有嵌固端的設(shè)計值都有所放大，以符合難于絕對嵌固的實際情況。而對有鉸支端的卻沒有減小值，原因是鉸支端的實際約束變化較大，目前研究并不很充分，不減小值，以利安全。除了上述單根軸心受壓桿件的計算長度問題，鋼結(jié)構(gòu)平面桁架及空間桁架設(shè)計中也經(jīng)常遇到軸心壓桿計算長度的取值問題，并且由于桁架桿件端部約束情況比較復雜，計算長度的確定并非

14、易事13,14。以上對理想軸心受壓構(gòu)件進行了彈性小撓度理論的彎曲屈曲分析，按小撓度理論進行分析，一般可以得到臨界荷載，但是不能判定構(gòu)件屈曲后平衡的穩(wěn)定性，不能求出確定的撓度值。而用大撓度彈性理論不僅可以說明構(gòu)件屈曲后的平衡狀態(tài)，而且還能給出荷載撓度明確的關(guān)系式。軸心受壓構(gòu)件屈曲的大撓度彈性理論分析可參考文獻15。18世紀中葉問世的歐拉公式奠定了鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定設(shè)計的理論基礎(chǔ)，但它只適用于求解理想直桿（一般是長柱）沿軸線受壓時在彈性范圍的臨界力。而對于臨界應力在比例極限與屈服點之間的中短柱，歐拉公式不再適用，屬于非彈性屈曲問題，即構(gòu)件將在彈塑性狀態(tài)屈曲。臨界應力與長細比的關(guān)系曲線（也稱為柱子曲線）見圖

15、2.5。圖2.5 彈性屈曲與非彈性屈曲 對彈塑性穩(wěn)定問題的分析，較成熟的理論有：切線模量理論（tangent modulus theory）、雙模量理論（double modulus theory）及香利理論（Shanleys theory）。1. 切線模量理論 1889年恩格塞爾（Engesser F.）提出了切線模量理論，建議用變化的變形模量Et代替歐拉公式中的彈性模量E，從而得到彈塑性臨界力。切線模量理論采用如下假定：桿件是挺直的；桿件兩端鉸接，荷載沿桿軸線作用；桿件產(chǎn)生微小的彎曲變形（小變形假定）；彎曲前的平截面彎曲變形后仍為平面；彎曲變形時全截面沒有出現(xiàn)反號應變，即截面上所有點的壓應

16、力都是增加的。從上述假定中可以看出，桿件從挺直到微彎位置過渡期間，軸向荷載仍可以增加，且增加的平均壓應力大于因彎曲引起桿件凸側(cè)纖維的拉應力，即（圖2.6c），且該階段的應力應變關(guān)系均由切線模量Et控制。因，可以忽略，則根據(jù)圖2.6b建立平衡方程 （2.20）解出切線模量理論臨界荷載為 （2.21）寫成臨界應力形式 （2.22）由式（2.22）可畫出某種鋼材軸心壓桿的曲線，供直接查用。（a）直線形式1 （b）彎曲形式2 （c）橫截面應力分布圖2.6 切線模量理論2. 雙模量理論雙模量的概念是康西德爾（Considere A.）于1891年提出的，該理論采用的基本假定除第5條外，其它均與切線模量理

17、論的相同。對于圖2.7a所示軸心受壓構(gòu)件，認為構(gòu)件從挺直位置到微彎位置時作用于兩端的軸向荷載保持常量Pr；且構(gòu)件微彎時凹面為正號應變，凸面為反號應變（圖2.7b），即存在著凹面的加載區(qū)和凸面的卸載區(qū)；由于彎曲應力較軸向應力小得多，可以認為加載區(qū)（凹面）的變形模量均為Et，卸載區(qū)（凸面）的變形模量為彈性模量E（圖2.7c、d）,因為Et E，彎曲時截面11的彎曲中性軸與截面形心軸不再重合而向卸載區(qū)偏移（圖2.7b）。在加載區(qū)，距中性軸z1處的應力為，而，則有，彎曲壓區(qū)的附加壓力。在卸載區(qū)，類似地可以推出，附加拉力。由于構(gòu)件從挺直位置到微彎位置時作用于兩端的軸向荷載保持常量Pr，所以附加彎曲壓力等

18、于附加彎曲拉力，即（a）軸壓構(gòu)件 （b）截面11 （c）應力應變關(guān)系 （d）變形模量圖2.7 雙模量理論 （2.23）由于，壓、拉區(qū)的面積矩分別為和，則上式化為 （2.24）又有，結(jié)合式（2.24），可以確定截面中性軸的位置。對任取的11截面（圖2.7a），由應力形成的內(nèi)力彎矩與外力彎矩Py保持平衡，即 （2.25）將、代入，得 （2.26）引入彎曲受壓區(qū)、受拉區(qū)的慣性矩和，則式（2.26）變?yōu)?（2.27）解上式得臨界荷載和臨界應力 （2.28） （2.29）式中，稱為折算模量；由于與兩個變形模量有關(guān)，故稱為雙模量屈曲荷載或稱為折算模量屈曲荷載。應用式（2.28）或（2.29）求臨界值時，可

19、采用試算法。當給定構(gòu)件的幾何尺寸后，先假定值，根據(jù)給定的應力應變關(guān)系確定出與對應的，然后確定截面中性軸的位置求出、，繼而求出慣性矩和，再求出折算模量，這樣就可計算出臨界應力。如果此與最初假定的值一致，則此即為構(gòu)件的臨界應力；反之，則需進行迭代運算，重復上述 步驟，直至得到滿意的結(jié)果。一般情況，可按雙模量理論做出柱子曲線（如曲線），這樣可根據(jù)已知的得到任一具體軸心受壓構(gòu)件的臨界值，而不必用上述的試算法?！纠}2.6】兩端鉸接軸心受壓直桿截面為矩形，應力應變曲線如圖2.8所示，。試用雙模量理論作柱子曲線。 （a）應力應變關(guān)系 （b）矩形截面 （c）柱子曲線 圖2.8 例題2.6軸心受壓構(gòu)件解 由圖

20、2.8a知。在彈性范圍內(nèi)用歐拉公式，此式用于。在非彈性范圍內(nèi)用雙模量理論公式。以區(qū)段為例計算，余類推。對矩形截面，中性軸距受壓、受拉邊緣的距離可由下式求出 （a） （b）則受壓區(qū)、受拉區(qū)的慣性矩分別為， （c）折算模量為 （d）由式（2.29）有 （e）從所給定的應力應變關(guān)系（見圖2.8 a）可知，當時，據(jù)此可以求出長細比的適用范圍時，； 時， （f）由此得出柱子曲線上、時的兩個點。當時，用同樣的方法可以確定柱子曲線上相應的點，相鄰點連接后得到用雙模量理論求出的柱子曲線，見圖2.8 c 。 從例題的計算過程可以看出，應用雙模量理論求柱子曲線時，需要明確材料的應力應變關(guān)系；上例中，在圖中的轉(zhuǎn)折點

21、一個對應兩個，且所給不連續(xù)，導致柱子曲線出現(xiàn)臺階且曲線不光滑（圖2.8 c），若給出連續(xù)的，則得到光滑的柱子曲線，如圖2.8 c中虛線所示。3. 香利理論 香利于1946年提出了一個由三部分構(gòu)成的力學模型，如圖2.9a所示。在兩根長度各為l/2的剛性桿之間用彈塑性鉸連接起來，鉸由兩個長度為h、面積均為A/2的很短的肢件組成，兩肢件間的距離也為h，見圖2.9b，鉸的彈性模量為E，切線模量為Et，在很短的肢件上集中了壓桿的全部彈塑性性質(zhì)。材料的應力應變關(guān)系采用雙直線，見圖2.9c。圖2.9 香利力學模型 當荷載P達到臨界力時，原來挺直的構(gòu)件開始彎曲，此時鉸的左右兩肢因彎曲引起的應變分別是和，構(gòu)件的

22、撓度為，端部的傾角為，且有幾何關(guān)系、，則有。在鉸處截面的外力矩，內(nèi)力矩。如在彎曲凸、凹面的變形模量分別為和，且有、，則。由平衡關(guān)系得到 （2.30）下面討論式（2.30）： 當構(gòu)件在彈性狀態(tài)失穩(wěn)時，由式（2.30）得到彈性屈曲荷載 （2.31）當構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)失穩(wěn)時，采用切線模量理論，則可得到切線模量屈曲荷載 （2.32）若采用雙模量理論，且有，即，或，代入式（2.30），得到構(gòu)件的雙模量屈曲荷載 （2.33）上式中是香利模型的折算模量。經(jīng)比較，則有。 令，連同關(guān)系式一并代入式（2.30），得到 （2.34）由于，即說明荷載達到后其值仍可以繼續(xù)增加，且有 （2.35）聯(lián)立求解方程（2.34）

23、、（2.35），可解出，再代入方程（2.34）得到 （2.36）由式（2.36）可以畫出荷載撓度曲線，見圖2.10。從圖中可以得到如下結(jié)論：圖2.10 香利理論荷載撓度曲線當時，由式（2.36）得到，即分岔屈曲荷載，說明切線模量屈曲荷載是彈塑性屈曲荷載的下限。當，且（即）時，說明屈曲后隨著變形的增加荷載也略有增加，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖中AB曲線所示。當時，由式（2.36）有，即得到雙模量屈曲荷載。說明雙模量屈曲荷載是彈塑性屈曲荷載的上限。香利理論采用的切線模量假定為常數(shù)（見圖2.9c），而實際材料的將隨應力增大而減小，因此實際的荷載撓度曲線如圖2.10中虛線AC所示，其最大荷載介于和之間。試

24、驗研究表明，試件的試驗結(jié)果更接近值，從實用角度似可以將作為彈塑性屈曲荷載。但是應用公式要求構(gòu)件內(nèi)部任何一點纖維都遵循相同的應力應變關(guān)系，只有鋁合金構(gòu)件才滿足要求，對于實際的鋼構(gòu)件由于有各種初始缺陷（如初偏心、初彎曲和殘余應力等），在縱向各根纖維的應力應變關(guān)系并不相同，這樣就不能直接根據(jù)鋼材在彈塑性階段的應力應變關(guān)系確定軸心受壓構(gòu)件的切線模量屈曲荷載，而必須考慮初始缺陷的影響。目前規(guī)范1只考慮了初始彎曲和殘余應力兩個因素，并按小偏心受壓構(gòu)件用“壓潰理論”近似確定承載力。 理想軸心受壓構(gòu)件在實際結(jié)構(gòu)中并不存在，實際結(jié)構(gòu)都存在不同程度的缺陷，一般指幾何缺陷和力學缺陷。如構(gòu)件的初始彎曲，截面的幾何形狀

25、和尺寸都可能存在偏差，荷載的作用點也可能偏離構(gòu)件的軸線等對構(gòu)件都有一定的影響，這些組成了構(gòu)件的幾何缺陷，其中以初彎曲和初偏心對構(gòu)件的影響最具代表性。除幾何缺陷外，構(gòu)件在承受荷載前存在的殘余應力也可作為一種缺陷，即力學缺陷。試驗和理論分析均表明，缺陷的存在降低了構(gòu)件的穩(wěn)定承載力，因此不能直接用理想條件所得到的臨界力作為設(shè)計標準，而應考慮缺陷的影響。1. 初彎曲的影響 經(jīng)實測得到的型鋼和焊接組合截面鋼構(gòu)件的初彎曲形狀如圖2.11a至圖2.11e中實線所示。從中可以看出，鋼構(gòu)件的初始彎曲形式多樣，分析中通常假設(shè)桿軸線的初始彎曲撓度曲線為正弦曲線（如圖2.11a至圖2.11e中虛線所示），這樣能簡化分

26、析而不影響結(jié)果的普遍性。圖2.11f所示的兩端鉸接軸心受壓構(gòu)件的荷載是理想對中的，但構(gòu)件的軸線有初始彎曲，為任一點的初始撓度，且有。荷載作用下產(chǎn)生的撓度增量為，在任一截面內(nèi)力彎矩為，外力彎矩為，由圖2.11f得到平衡方程 （f）圖2.11 有初彎曲的軸心受壓構(gòu)件 （2.37）將表達式代入，令，則上式為 （2.38）其通解為 （2.39）根據(jù)邊界條件，得到， （2.40）當有初彎曲時，則，只有，方程的解為 （2.41）從上述求解過程可以看出，利用邊界條件并不能得到穩(wěn)定方程解出臨界力。不妨分析荷載撓度曲線，從中找出臨界力。在P作用下，桿件任一點的總撓度為 （2.42）當時，桿件中點的總撓度為 （2

27、.43）相應的荷載撓度曲線見圖2.12。圖中實線表示構(gòu)件是完全彈性的，以時的水平線為其漸近線，當桿件中點撓度時，P才逼近臨界荷載PE，與初始撓度值無關(guān)。實際材料不是無限彈性的，對于有初始彎曲的實際軸心受壓構(gòu)件，當截面承受較大彎矩時就開始屈服而進入彈塑性狀態(tài)，荷載撓度曲線如圖2.12中虛線所示，從圖中可知，有初始彎曲的軸心受壓柱實際上是極值點失穩(wěn)問題，其極限荷載并不是PE而是Pu。圖2.12 初彎曲軸心受壓柱的荷載撓度曲線2. 初偏心的影響當作用于兩端的軸向力P與構(gòu)件軸線有很小的偏心時，如圖2.13所示，偏心距為e，此時的受壓構(gòu)件已不是軸心受壓狀態(tài)，而轉(zhuǎn)變?yōu)槠氖軌簶?gòu)件或稱為壓彎構(gòu)件。取坐標如圖

28、2.13所示，在任一截面處的內(nèi)力彎矩為，外力矩為，令，則平衡方程為 （2.44）方程的全解為 （2.45）引入邊界條件：，得到，。代入上式，得方程的解 （2.46）圖2.13 初偏心軸心受壓構(gòu)件 有初始偏心的軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定問題是第二類穩(wěn)定問題，即極值點失穩(wěn)。對此類問題需要求出荷載撓度曲線，從而得出臨界荷載以及分析偏心對極限荷載的影響。 構(gòu)件的最大撓度，即 （2.47）利用三角級數(shù)展開式，則式（2.47）可近似表達為 （2.48）可以畫出有初始偏心的軸心受壓構(gòu)件的荷載P與桿件中點撓度曲線，如圖2.14所示?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論： 當構(gòu)件為完全彈性桿時，荷載撓度曲線以為漸近線；實際上由于初始偏心產(chǎn)

29、生的彎矩使構(gòu)件常處于彈塑性狀態(tài)，因此荷載撓度曲線呈現(xiàn)圖中虛線所示極值點失穩(wěn)形態(tài)，其極限荷載為Pu。當為某個有限值時，偏心距e越大則柱所能承擔的荷載P比理想條件下的歐拉荷載PE降低越多。由于初彎曲、初偏心對受壓構(gòu)件的影響均導致出現(xiàn)極值點失穩(wěn)現(xiàn)象，都使構(gòu)件的承載力有所降低，兩種影響并無本質(zhì)區(qū)別，因此在確定實際構(gòu)件的承載力時，通常將兩者的影響一并考慮。圖2.14 初偏心軸心受壓構(gòu)件的荷載撓度曲線3. 殘余應力的影響型鋼軋制、組合截面鋼構(gòu)件制作過程中的焊接及火焰切割等，都可以在構(gòu)件中產(chǎn)生自相平衡的應力，即殘余應力。殘余應力雖然不影響結(jié)構(gòu)的靜力強度，但對疲勞強度、鋼材的低溫冷脆性能、結(jié)構(gòu)的剛度和穩(wěn)定性能

30、均有不利影響。下面以軋制寬翼緣工字鋼為例，工字鋼截面翼緣的殘余應力分布如圖2.15a所示，僅討論殘余應力對剛度及軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定性兩方面的影響。（1） 殘余應力降低構(gòu)件的剛度對無屈曲問題的短柱做軸心受壓試驗以得到應力應變曲線。圖2.15b所示為短柱翼緣殘余應力分布，邊緣處殘余應力。加載時截面中應力為平均應力與殘余應力之和，當時，翼緣端部達到屈服極限，見圖2.15c，對應于應力應變曲線上的點稱為有效比例極限，見圖2.16。假定材料為理想彈塑性體，則當時，構(gòu)件處于彈性狀態(tài)，應力應變曲線呈直線，變形模量仍為彈性模量E；而當時，構(gòu)件處于彈塑性狀態(tài)，截面的應力分布見圖2.15d，應力應變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，變

31、形模量為切線模量Et。從圖2.15d、圖2.16中 可以看到，當平均應力高于有效比例極限時（），構(gòu)件截面只有彈性部分能繼續(xù)承載，導致構(gòu)件剛度降低。 （d）圖2.15 有殘余應力的工字型軸心受壓短柱圖2.16 有殘余應力的工字型軸心受壓短柱的應力應變曲線在本例中，剛度的減小是由于短柱截面有殘余應力（本例中其峰值為）而提前屈服，導致截面彈性區(qū)縮小所造成的。理想彈塑性體本應該在平均應力達到時屈服，現(xiàn)在提前在應力為時開始屈服，當翼緣端部的殘余應力值更大時，纖維開始屈服時的平均應力將更小。如果不是短柱而是一般的中長柱，由于有殘余應力使構(gòu)件截面提前屈服、彈性部分減小，當構(gòu)件開始屈曲而變?yōu)槲澾^程中，構(gòu)件截

32、面只有彈性部分起抗彎作用，構(gòu)件截面彈性部分減小導致剛度不斷降低。（2） 殘余應力降低構(gòu)件的臨界力以兩端鉸接的挺直軸心受壓軋制寬翼緣工字鋼構(gòu)件為例，由于有殘余應力，對存在彈塑性屈曲問題的中長柱，發(fā)生屈曲時構(gòu)件截面只有彈性部分起抗彎作用，則構(gòu)件的臨界力為 （2.49）式中，為構(gòu)件截面彈性區(qū)的慣性矩。從上式中可以看出，殘余應力使構(gòu)件的抗彎剛度由降至，降低了構(gòu)件的臨界力。比值稱為臨界力折減系數(shù)。相應的臨界應力為 （2.50）對應圖2.16所示應力應變曲線，在非彈性階段可用切線模量理論計算臨界應力，即 （2.51）比較式（2.50）、式（2.51）知，。當繞強軸（圖2.15a中x軸）彎曲時，若忽略腹板的

33、影響，有 （2.52）則 （2.53）當繞弱軸（y軸）彎曲時，有 （2.54）則 （2.55）式中為彈性區(qū)系數(shù)。 對截面殘余應力分布簡單的軸心受壓構(gòu)件可以用解析法求出臨界荷載，一般情況都用數(shù)值法求解。求解步驟參見文獻15。2.3 軸心受壓構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)一般雙軸對稱截面的軸心受壓構(gòu)件，可能繞截面的兩個對稱軸發(fā)生彎曲失穩(wěn)；但是對于抗扭剛度弱的軸心受壓構(gòu)件（如圖2.1b雙軸對稱十字形截面軸心受壓構(gòu)件），還可能發(fā)生繞縱軸的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。鋼結(jié)構(gòu)中一般采用非圓截面構(gòu)件，此類構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)與圓形截面構(gòu)件的不同，前者扭轉(zhuǎn)后的截面不再保持平面，而要發(fā)生翹曲（截面凹凸），即截面上各點產(chǎn)生軸向位移。如果能夠自由翹曲，外扭矩

34、將全部由剪應力抵抗，這類扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)、純扭轉(zhuǎn)或均勻扭轉(zhuǎn)；如果截面不能自由翹曲，則外扭矩由剪應力和翹曲扭矩共同抵抗，這類扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)或非均勻扭轉(zhuǎn)。1. 自由扭轉(zhuǎn)圖2.17所示開口薄壁桿（工字型截面），兩端受到大小相等方向相反的扭矩Mk作用，構(gòu)件將產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)有兩個特點：構(gòu)件各截面的翹曲相同。因此，構(gòu)件的縱向纖維不產(chǎn)生軸向應變，截面上沒有正應力而只有扭轉(zhuǎn)引起的剪應力。剪應力的分布與截面的形狀有關(guān)，但各截面上的分布均相同?？v向纖維不發(fā)生彎曲，即翼緣和腹板的縱向纖維保持直線，上下翼緣相互僅扭轉(zhuǎn)了一個角度（扭轉(zhuǎn)角）。圖2.17 自由扭轉(zhuǎn)由彈性力學知，非圓截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的扭矩Mk與扭率

35、之間的關(guān)系為 （2.56）式中：G為材料的剪切彈性模量；It為截面的自由扭轉(zhuǎn)慣性矩或稱為截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。對于由幾個狹長矩形板件組成的開口薄壁構(gòu)件截面，如工字形、T形、槽形和角形等截面，總的截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)可近似取為各板件的扭轉(zhuǎn)常數(shù)Iit之和，即 （2.57）式中：bi和ti分別為第i個狹長板件的高度和厚度；n為組成截面的狹長矩形的數(shù)目；k為截面形狀系數(shù)，角鋼截面k=1.0，工字鋼截面k=1.31，槽鋼截面k=1.12，T形鋼截面k=1.15，組合截面k=1.0。 開口薄壁構(gòu)件自由扭轉(zhuǎn)時，截面上的剪應力方向與中心線平行，且沿薄壁厚度ti線性分布，在中心線上剪應力為零（圖2.18），相當于在截面內(nèi)形成

36、閉合循環(huán)的剪力流。截面周邊上任意點的剪應力為 （2.58）圖2.18 自由扭轉(zhuǎn)桿件截面剪應力分布2. 約束扭轉(zhuǎn)圖2.19a中，一扭矩作用于構(gòu)件中截面，構(gòu)件兩端產(chǎn)生相反方向平衡扭矩，此構(gòu)件的端部截面可以自由翹曲，而中部截面因?qū)ΨQ性則完全不能翹曲；圖2.19b由于支座約束，受扭的構(gòu)件截面不能自由翹曲。這種由于約束等原因，構(gòu)件截面不能自由翹曲的扭轉(zhuǎn)就稱為約束扭轉(zhuǎn)，或非均勻扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)有如下特點：約束使縱向纖維不能自由伸縮，產(chǎn)生縱向正應力，稱為翹曲正應力。由于的分布是扇性坐標的函數(shù)，又稱其為扇性正應力。因各纖維正應力不同，導致構(gòu)件彎曲，所以約束扭轉(zhuǎn)又稱為彎曲扭轉(zhuǎn)。由于構(gòu)件彎曲，除了產(chǎn)生彎曲扭轉(zhuǎn)正應力

37、，必將產(chǎn)生彎曲扭轉(zhuǎn)剪應力，也稱扇性剪應力?？v向纖維發(fā)生彎曲，扭率沿桿長變化。（a）扭矩作用于構(gòu)件中截面 （b）懸臂受扭構(gòu)件圖2.19 約束扭轉(zhuǎn)構(gòu)件為了簡化約束扭轉(zhuǎn)計算，通常采用兩個基本假定：剛性周邊假定，即構(gòu)件的垂直于其軸線的截面投影形狀在扭轉(zhuǎn)變形前后不變。板件中面的剪應變?yōu)榱?。組成構(gòu)件的各板件，當厚度t與寬度b之比小于或等于1/10，輪廓尺寸與構(gòu)件的長度之比小于或等于1/10，則構(gòu)件彎曲和扭轉(zhuǎn)時的剪應變極其微小，對構(gòu)件的影響可以忽略不計。對自由扭轉(zhuǎn)，外扭矩與截面內(nèi)自由扭矩構(gòu)成平衡力系；對約束扭轉(zhuǎn)，由于截面不能自由翹曲而產(chǎn)生了翹曲扭矩，這樣承受外扭矩的各種非均勻扭轉(zhuǎn)構(gòu)件，將由自由扭矩和翹曲扭矩

38、共同承擔，即。此平衡方程是確定約束扭轉(zhuǎn)構(gòu)件臨界力的基本公式，關(guān)鍵要求出翹曲扭矩的表達式。以圖2.20a所示雙軸對稱工形截面非均勻扭轉(zhuǎn)構(gòu)件為例，根據(jù)圖2.20b所示扭轉(zhuǎn)變形與受力條件，可以推導出構(gòu)件翹曲扭矩的計算公式16。圖2.20 工形截面約束扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的變形及內(nèi)力 圖2.20b中，截面在翹曲扭矩作用下繞剪心S的扭轉(zhuǎn)角為，下翼緣在方向的位移為，單個翼緣的彎矩 ，上下翼緣的彎矩大小相等但方向相反，形成一種稱為雙力矩的內(nèi)力，即 （2.59）式中，為一個翼緣截面對軸的慣性矩。令，稱其為翹曲慣性矩，或稱為翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)，也是截面的一種幾何性質(zhì)，單位是長度的6次方。對其它截面形式的計算公式詳見文獻15。雙力

39、矩可表達為 （2.60）式中EIw稱為翹曲剛度。 上下翼緣在彎矩 作用下必然產(chǎn)生剪力，圖2.20b中翼緣剪力 （2.61）則可得到翹曲扭矩的計算公式 （2.62）由式（2.53）和式（2.55）可知翹曲扭矩與雙力矩之間的關(guān)系為 （2.63） 翼緣因翹曲而產(chǎn)生的翹曲正應力和翹曲剪應力分布見圖2.20c，其計算公式分別為 （2.64） （2.65）將自由扭矩表達式（2.50）和翹曲扭矩式（2.56）代入，得到約束扭轉(zhuǎn)的扭矩平衡方程 （2.66）式中：GIk為截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度；EIw為截面的翹曲剛度；Mz為約束扭轉(zhuǎn)外扭矩。對于抗扭剛度低的雙軸對稱截面軸心受壓構(gòu)件（如十字形截面構(gòu)件），可能在軸向壓力

40、尚未達到歐拉臨界力之前，構(gòu)件就發(fā)生繞縱軸的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。本節(jié)著重討論如何利用公式（2.59）確定彈性扭轉(zhuǎn)屈曲荷載及殘余應力、邊界條件對屈曲荷載的影響。1. 軸心受壓構(gòu)件彈性扭轉(zhuǎn)屈曲荷載 圖2.21a所示雙軸對稱工形截面軸心受壓構(gòu)件，兩端夾支或稱為簡支，所謂夾支是指構(gòu)件的端部截面只能繞兩個主軸x、y自由轉(zhuǎn)動，而不能繞縱軸z扭轉(zhuǎn)，并且端部截面的翼緣可以自由翹曲。用平衡法求扭轉(zhuǎn)屈曲荷載，需研究圖2.21b所示構(gòu)件繞縱軸有微小扭轉(zhuǎn)角時的受力條件。在距原點為z處截面的扭轉(zhuǎn)角為，處截面的扭轉(zhuǎn)角為。圖2.21e所示在微段內(nèi)的任一纖維DE因構(gòu)件扭轉(zhuǎn)而位移至，與豎直線的夾角為，水平面內(nèi)與截面剪心S相距。由于夾角很小

41、，則有 （2.67）由于纖維有傾斜，作用于纖維上端處的力在水平面內(nèi)產(chǎn)生分力，繞剪心S形成扭矩。由圖2.21f知，纖維上端的水平分力為 （2.68）構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時，全截面形成的約束扭矩為 （2.69）對雙軸對稱截面，則有，是截面對剪心的極回轉(zhuǎn)半徑。式（2.69）可寫成 （2.70） 離原點距離為z處截面的扭矩平衡方程為，即圖2.21 軸心受壓構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形 （2.71）令，則式（2.71）為 （2.72）通解為 （2.73）由邊界條件，得到；，即，得到，則有；由，得到，因，只有，即。則得彈性扭轉(zhuǎn)屈曲臨界荷載 （2.74）相應的臨界應力 （2.75）也可以將式（2.75）表達成同彎曲屈曲相仿的形式 （

42、2.76）式中稱為扭轉(zhuǎn)屈曲長細比，具體表達式為 （2.77）式中稱為扭轉(zhuǎn)計算長度，為扭轉(zhuǎn)計算長度系數(shù)，其取值與彎曲屈曲時的取值相同。見表2.2。【例題2.7】兩端為夾支的軸心受壓構(gòu)件，長度，截面尺寸如圖2.22所示。鋼材屈服強度N/mm2，彈性模量 N/mm2，剪切模量。計算壓桿的彈性彎曲屈曲應力和扭轉(zhuǎn)屈曲應力。圖2.22 焊接組合截面解截面的幾何參數(shù)=彎曲臨界應力扭轉(zhuǎn)臨界應力由于，說明壓桿發(fā)生彈性彎曲屈曲。一般情況，雙軸對稱工形截面軸心受壓構(gòu)件若失穩(wěn)則為彎曲失穩(wěn)，而不會發(fā)生扭轉(zhuǎn)屈曲。2. 殘余應力對扭轉(zhuǎn)屈曲荷載的影響發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時，有縱向殘余應力的軸心受壓構(gòu)件，由于纖維傾斜，在水平面內(nèi)同樣產(chǎn)生水平分力，計算約束扭矩時應考慮在內(nèi)，即 (2.78)式中，殘余壓應力取正號，拉應力取負?？紤]殘余應力影響的約束扭轉(zhuǎn)的扭矩平衡方程為 (2.79)令，可解出扭轉(zhuǎn)屈曲荷載 (2.80)從上式中可以看出，殘余應力對軸心受壓構(gòu)件扭轉(zhuǎn)屈曲的影響取決于的大小和正負號。值與截面殘余應力的分布情況有關(guān)，對翼緣為軋制邊的焊接工形截面，殘余應力分