《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》部分課后作業(yè)參考答案

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理部分課后作業(yè)參考答案1-18根據(jù)數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則，分別計(jì)算下式結(jié)果：（1）3151.0+65.8+7.326+0.4162+152.28=？（2）28.13X0.037X1.473=？【解】 （1） 原式3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28 =3376.83 3376.8 (2) 原式28.1X0.037X1.47 =1.528359 1.52-12 某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)（單位為Pa）為102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101726.69，101591.36，其權(quán)各為1

2、，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻浚?） 加權(quán)算術(shù)平均值： =100000+1×2523.85+3×2391.30+5×2257.97+7×2124.65+8×1991.33+1+3+5+7+8+6+4+2=102028.3425Pa（2） 標(biāo)準(zhǔn)差：=1×（102523.85-102028.3425）+3×（102391.30-102028.3425）+1+3+5+7+8+6+4+2*（8-1）=86.95Pa2-17 對某量進(jìn)行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，1.0，15.2，14.8，15

3、.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻繉?shù)據(jù)進(jìn)行列表分析，如下：序號(hào)數(shù)據(jù)vi1234567891014.715.015.214.815.514.614.914.815.115.0-0.26+0.04+0.25-0.16+0.54-0.36-0.06-0.16+0.14+0.04x=14.96=0.263315vi=+0.4 510vi=-0.4110vi=+0.4+0.4=0.8作出殘差與次數(shù)的關(guān)系圖：（1） 線性系統(tǒng)誤差：根據(jù)關(guān)系圖利用殘余誤差觀察法可知，不存在線性系統(tǒng)誤差。根據(jù)不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法可得：按貝塞爾公式：按別捷爾斯公

4、式：u=21-1=0.26420.2633-1=0.0032<2n-1=23故不存在線性系統(tǒng)誤差。（2） 周期性系統(tǒng)誤差：u=i=1n-1vivi+1=-0.26×0.04+0.04×0.24+0.24×-0.16+-0.16×0.54+0.54×(-0.36)+=0.1112<n-12=0.624故不存在周期性系統(tǒng)誤差。2-18 對一線圈電感測量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75

5、，50.85，50.82，50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻坑弥群蜋z驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。將兩組數(shù)據(jù)排列成下表：T12345678910xi50.8250.8350.8750.89yi50.7550.7850.7850.8150.8250.85已知：n1=4，n2=6計(jì)算秩和T：T=5.5+7+9+10=31.5查表：T-=14，T+=30因：T=31.5>T+=30，判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。2-19 等精度測得某一電壓10次，測得結(jié)果（單位為V）為25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.

6、07。測量完畢后，發(fā)現(xiàn)測量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測量，測得結(jié)果（單位為V）為25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。試用t檢驗(yàn)法（取=0.05）判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。【解】計(jì)算兩組測量結(jié)果的算術(shù)平均值：x=110x=26.001y=110y=25.971Sx2=110(xi-x)2=0.00155Sy2=110(yi-y)2=0.00215t=26.001-25.97110×1010+10-210+1010×0.0

7、0155+10×0.00215=1.48由v=10+10-2=18，取=0.05，查t分布表，得ta=2.1。因|t|=1.48<ta=2.1，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2-22對某量進(jìn)行15次測量，測得數(shù)據(jù)為28.53，28.53，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測得值已消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測量列中是否含有粗大誤差的測量值?！窘狻?）萊以特準(zhǔn)則（3準(zhǔn)則）表1 序號(hào)128.53-0.04067

8、 0.001654 0.027140.0007365796 0.019230.0003697929 228.52-0.05067 0.002567 0.017140.0002937796 0.009230.0000851929 328.50-0.07067 0.004994 -0.002860.0000081796 -0.010770.0001159929 429.520.94933 0.901227 -528.53-0.04067 0.001654 0.027140.0007365796 0.019230.0003697929 628.53-0.04067 0.001654 0.027140

9、.0007365796 0.019230.0003697929 728.50-0.07067 0.004994 -0.002860.0000081796 -0.010770.0001159929 828.49-0.08067 0.006508 -0.012860.0001653796 -0.020770.0004313929 928.49-0.08067 0.006508 -0.012860.0001653796 -0.020770.0004313929 1028.51-0.06067 0.003681 0.007140.0000509796 -0.000770.0000005929 1128

10、.53-0.04067 0.001654 0.027140.0007365796 0.019230.0003697929 1228.52-0.05067 0.002567 0.017140.0002937796 0.009230.0000851929 1328.49-0.08067 0.006508 -0.012860.0001653796 -0.020770.0004313929 1428.40-0.17067 0.029128 -0.102860.0105801796 -1528.50-0.07067 0.004994 -0.002860.0000081796 -0.010770.0001

11、159929 28.5706700.980293 0.0136471756 0.0032923077 由表可得x(平均值)=28.57067根據(jù)3準(zhǔn)則，第四測得值的殘余誤差即它含有粗大誤差，故將此測得值剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測得值重新計(jì)算，得根據(jù)3準(zhǔn)則，第14個(gè)測得值的殘余誤差|v14|=0.10286>0.097201即它含有粗大誤差，故將此測得值剔除。再根據(jù)剩下的13個(gè)測得值重新計(jì)算，無粗大誤差。2）格羅布斯準(zhǔn)則由表1計(jì)算得x(平均值)=28.57067按測得值的大小，順序排列得今有兩測得值可懷疑，但由于故應(yīng)先懷疑是否含有粗大誤差計(jì)算 查表2-13課程用書 則 故表1中第四個(gè)測得值

12、含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。剩下14個(gè)數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟，判別是否含有粗大誤差，計(jì)算 查表2-13課程用書 故表1中第十四個(gè)測得值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。余下測得值也不含粗大誤差。3）狄克松準(zhǔn)則順序號(hào)順序號(hào)順序號(hào)順序號(hào)28.41128.529928.492228.52101028.493328.53111128.494428.53121228.55528.53131328.56628.53141428.57729.521528.5188首先判斷最大值。因，故按式（2-93）課程用書計(jì)算統(tǒng)計(jì)量查表2-14的 則 故第四個(gè)測得值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。剩下14個(gè)數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟。對，計(jì)算不

13、含有粗大誤差。對，按式（2-94）計(jì)算查表2-14的 則 故第十四個(gè)測得值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。對剩下13個(gè)數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟，不含有粗大誤差。2-26對某被測量進(jìn)行間接測量得：，其權(quán)分別為5:1:1，試求的測量結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差？【解】 3-7通過電流表的電流與指針偏轉(zhuǎn)角服從下列關(guān)系：式中為決定于儀表結(jié)構(gòu)的常數(shù)，兩次測得、。試求兩種情況下的、及其極限誤差，并分析最佳測量方案?！窘狻坑捎陬}中給出的是角度的極限誤差，所以對計(jì)算函數(shù)要做如下變形，因,由三角函數(shù)隨機(jī)誤差（極限誤差）計(jì)算公式（3-21），有：， (1)當(dāng)時(shí)，把代入關(guān)系式，有：相應(yīng)的極限誤差為：當(dāng)時(shí)，把代入關(guān)系式，有：相應(yīng)的極限誤差為

14、：根據(jù)求得測量電流的誤差傳遞式（1），欲使極限誤差變小,必須滿足最小，又因?yàn)闉槌?shù)，這意味著只能使最大。又因?yàn)殡娏鞅碇羔樒D(zhuǎn)角在范圍內(nèi)變化，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，為使趨小，應(yīng)該越小越好，則測得的電流誤差小。與上訴計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證一致。3-10 通過電流表的電流I與指針偏轉(zhuǎn)角度服從下列關(guān)系：若測得,試求電流I的標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻坑梢阎?， 將分別對C和求導(dǎo)，得 所以有 3-13假定從支點(diǎn)到重心的長度為L的單擺振動(dòng)周期為T，重力加速度可由公式中給出，若要求測量g的相對標(biāo)準(zhǔn)差，試問按等作用原則分配誤差時(shí)，測量L和T的相對標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？【解】由等作用分配原則，則有 由相對標(biāo)準(zhǔn)差的定義，有其中，測量g的相對標(biāo)準(zhǔn)差。

15、3-14對某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)測量，測得數(shù)據(jù)（單位：g）為428.6，429.2，426.5，430.8。已知測量的已定系統(tǒng)誤差，測量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所列。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴值及其極限誤差。序號(hào)極限誤差/g誤差傳遞系數(shù)隨機(jī)誤差未定系統(tǒng)誤差12.1-12-1.513-1.014-0.5154.5-16-2.21.471.0-2.28-1.81【解】4-6 某數(shù)字電壓表說明書指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其2V量程的測量誤差不超過±（14×讀數(shù)+量程）V，相對標(biāo)準(zhǔn)差為20%，若按均勻分布，求1V測量時(shí)電壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。設(shè)該表校

16、準(zhǔn)一年后，對標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測量，得觀測值的平均值為0.92857V，若以平均值作為測量估計(jì)值，試分析影響測量不確定度的主要來源，分別求出不確定度分量，說明評定方法的類別，求測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度?！窘狻浚?）電壓表測量誤差不超過±（14×讀數(shù)+量程）V，且電壓服從均勻分布標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 自由度為（2）A類不確定度：自由度：B類不確定度：自由度：由于兩種不確定度的傳遞系數(shù)為1，且兩者互不相關(guān)合成不確定度為自由度為根據(jù)置信概率，自由度，查t分布表得即包含因子，于是電壓測量的展伸不確定度為依據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”對展伸不確定度進(jìn)行修約，得展伸不確定度最

17、后不確定度的報(bào)告電壓測量結(jié)果說明：以上測量結(jié)果中符號(hào)以后的數(shù)值是展伸不確定度，是由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及包含因子確定的。對應(yīng)的置信概率，自由度。4-8在測長儀上對同一圓柱截面的直徑進(jìn)行了9次重復(fù)測量，其單次測量標(biāo)準(zhǔn)差為；已知測長儀的示值誤差為；儀器的分辨力為，按均勻分布，相對標(biāo)準(zhǔn)差都為10%；測量時(shí)溫度控制在，對測量影響不超過（按計(jì)算得到），其相對標(biāo)準(zhǔn)差為20%。若用平均值作為直徑測量結(jié)果的估計(jì)值，求直徑測量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度?！窘狻恐貜?fù)測量引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為自由度示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（按均勻分布）自由度儀器分辨力引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（按均勻分布）自由度溫度變化引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度自

18、由度由于四種不確定度的傳遞系數(shù)為1，且互不相關(guān)合成不確定度為自由度為4-9 用漏電測量儀直接測量正常使用中微波爐的漏電電流，5次重復(fù)測量的平均值為0.320mA，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為0.001mA；已知漏點(diǎn)測量儀的示值誤差范圍為5%，按均勻分布，取相對標(biāo)準(zhǔn)差為10%；測量時(shí)環(huán)境溫度和濕度的影響范圍為2%，按三角分布，其相對標(biāo)準(zhǔn)差為25%；試給出漏電電流測量的不確定度報(bào)告（置信概率為99%）。【解】A類： B類： 根據(jù)“三分之一”準(zhǔn)則對展伸不確定度進(jìn)行修約，則故漏電電流為。其展伸不確定度是由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及包含因子確定的，對應(yīng)的置信概率，自由度。5-5 測力計(jì)示值與測量時(shí)的溫度t的對應(yīng)值獨(dú)立測得如

19、下表所示：t/151821242730F/N43.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)t無誤差，F(xiàn)值隨t的變化呈現(xiàn)性關(guān)系F=k0+kt，試給出線性方程中系數(shù)k0和k的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。【解】 ， ， ，列表如下：111543.6112251543.61654.15211843.6313241843.63785.34312143.6814412143.68917.28412443.7115762443.711049.04512743.7417292743.741180.98613043.7819003043.781313.406135262.1563195135262

20、.155900.19 又 又 6-7在4種不同溫度下觀測某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分?jǐn)?shù)，每種在同一溫度下重復(fù)觀測3次，數(shù)據(jù)如下:溫度x/150200250300生成物含量的百分?jǐn)?shù)y77.476.778.284.184.583.788.989.289.794.894.795.9【解】序號(hào)x/y/%x2/2y2/%2xy/%115077.43225005995.4011614.5220084.10400007072.8116820325089.27625007969.1322317.54300957228539900345.9321500030087.0679291t=1N

21、xt=900x=225t=1Nxt2=2150002(t=1Nxt)2/N=2025002lxx=t=1Nxt2-(t=1Nxt)2/N=125002t=1Nyt=345.93%y=86.48%t=1Nyt2=30087.06%2(t=1Nyt)2/N =29916.89%2lyy=t=1Nyt2-(t=1Nyt)2/N=170.17%2b=lxylxx=0.1165b0=y-bx=60.27y=60.27+0.1165xN=4t=1Nxtyt=79291%(t=1Nxt)(t=1Nyt)/N=77834.25%lxy=t=1Nxtyt-(t=1Nxt)(t=1Nyt)/N=1456.75%現(xiàn)

22、在進(jìn)行方差分析。U=mblxy=509.13QL=mlyy-U=1.38QE=t=1Ni=1m(yti-yt)2=2.7492來源平方和自由度方差F顯著性回歸失擬誤差509.131.382.75128509.130.690.34381481.102.007F(1,8)0.01=11.26F(2,8)0.01=8.65總計(jì)512.2611F=UvUQEvQE=1481.10F>F(1,8)0.01=11.26F1=QLvQ1QEvQE=2.007F1<F(2,8)0.01=8.65由F可知: 回歸程度高！由F1可知: 失擬平方和結(jié)果不顯著，故回歸方程的擬合的很好。6-9用直線檢驗(yàn)法驗(yàn)

23、證下列數(shù)據(jù)可以用曲線y=axb表示。X1.5852.5123.9796.3109.98815.85Y0.031620.022910.020890.019500.018620.01513【解】我們?nèi)『瘮?shù)類型為：y=axb;對等式兩邊取對數(shù)可得:lny=lna+bln(x);令y1=lny;b0=lna;b=b;x1=ln(x)即可得到：y1=b0+bx1即可將表格變成以下格式。x10.46060.92111.38101.84212.30142.7632y1-3.4540-3.7761-3.8685-3.9373-3.9835-4.1911根據(jù)上述變換之后可以得到如下表：序號(hào)xyx2y2xy10.

24、4606-3.45400.212211.9301-1.590920.9211-3.77610.848414.2589-3.478131.3810-3.86851.907214.9653-5.342341.8421-3.93733.393315.5023-7.252952.3014-3.98355.296415.8683-9.167662.7632-4.19117.635317.5653-11.5808求和9.6694-23.210519.292890.0902-38.4126將解得的數(shù)據(jù)帶入如下表格所示之中可以的到所需要的數(shù)據(jù)：x'=9.6694x'=1.6116x'2

25、=19.2928(x')2/N=15.5829lx'x'=x'2-(x')2/N =3.7099y'=-23.2105y'=-3.8684y'2=90.0902(y')2/N=89.7879ly'y'=0.3023b=lxylxx=-0.2715b0=y-bx=-3.4308y'=-3.4308-0.2715x)N=6x'y'=-38.4126x'y'/N=-37.4052lx'y'=-1.0074將計(jì)算所得的結(jié)帶回原式，則：y=0.03236x-0.

26、2715來源平方和自由度方差F顯著性回歸殘余0.27350.0288140.144037.98611F=0.01=21.20總計(jì)0.84935因?yàn)镕>F=0.01，則回歸是高度顯著地（或者稱為在0.01水平上顯著）。矩陣解法：（原題見上）6-7【解】1） 通過矩陣求回歸方程：輸入：x=1 1 1 1;150 200 250 300;ytbar=77.4 84.1 89.3 95.1;b=(x')(ytbar')輸出結(jié)果b=60.24 0.12所以求出回歸方程：Y=60.24+0.12*X2） 方差分析和顯著性分析Lxx= 12500；Lyy=170.37；Lxy=1457.50;Xbar= 225 (x的平均值)Ybar= 86.47(y的平均值)平方和自由度U509.831QE2.398QL1.272對結(jié)果進(jìn)行F檢驗(yàn)：F=(U/U)/(QE/QE)=1706.56>F0.01(1，8)=11.26 F1=(QL/QL)/(QE/QE)=2.12<F0.01(2，8)=8.65 F2=(U/U)/(QE+QL )/(QE+QL)= 1393.37&