概率與統(tǒng)計高考數(shù)學(xué)

1、 輔導(dǎo)講義：概率與統(tǒng)計一、知識回顧：1、總體、個體、樣本、樣本容量：總體：在統(tǒng)計中，所有考察對象的全體。個體：總體中的每一個考察對象。樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做這個總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數(shù)目。2、統(tǒng)計的基本思想:用樣本估計總體，即通常不直接去研究總體，而是通過從總體中抽取一個樣本，根據(jù)樣本的情況去估計總體的相應(yīng)情況。3、抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣。4、簡單隨機抽樣：一般地，從個體為N煩人總體中逐個不放回地取出n個個體作為樣本（n<N）,如果每個個體都有相同的機會被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。5、抽簽法和隨機數(shù)表法都是簡單隨機抽樣。6、

2、抽簽法：（總體個數(shù)N，樣本容量n）（1）將總體中的N個個體編號；（2）將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，連續(xù)抽出n次；（5）將總體中與抽到的號簽編號一致的n個個體取出。7、隨機數(shù)表法：（1）將總體中的個體編號（每位號碼位數(shù)一致）；（2）在隨機數(shù)表內(nèi)任選一個數(shù)作為開始；（3）從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼已經(jīng)在編號中，則取出；若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（4）根據(jù)選定的號碼抽取樣本。注：(1)用隨機數(shù)表抽取樣本，可以任選一個數(shù)作為開始，讀數(shù)的方向可以向左，也可以

3、向右、向上、向下等等。因此樣本并不是唯一的.(2)由于隨機數(shù)表是等概率的，因此利用隨機數(shù)表抽取樣本保證了被抽取個體的概率是相等的（公平性）。(3)隨機數(shù)表是統(tǒng)計工作者用計算機生成的隨機數(shù)，并保證表中的每個位置上的數(shù)字是等可能出現(xiàn)的。8、抽簽法編號、制簽、攪拌、抽取，關(guān)鍵是“攪拌”后的隨機性；隨機數(shù)表法編號、選數(shù)、取號、抽取，其中取號的方向具有任意性。有限性9、簡單隨機抽樣的特點：它的總體個數(shù)有限的；逐個性它是逐個地進行抽??；不回性它是一種不放回抽樣；等率性它是一種等概率抽樣10、系統(tǒng)抽樣：將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個部分中抽取一個個體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣。

4、也可稱為“等距抽樣”。注：如果個體總數(shù)不能被樣本容量整除時該怎么辦？ (1)隨機將這1003個個體進行編號1，2，3，1003。(2)利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體(可以隨機數(shù)表法),剩下的個體數(shù)1000能被100整除，然后按系統(tǒng)抽樣的方法進行。11、系統(tǒng)抽樣的步驟：（1）采用隨機的方式將總體中的 N 個體編號。（2）整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k。當(dāng) （為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，取；當(dāng)不是整數(shù)時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數(shù)能被整除，這時取，并將剩下的總體重新編號；（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；（4）按

5、照一定的規(guī)則抽取樣本，通常將編號為的個體抽出。12、簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣的特點是什么？簡單隨機抽樣：逐個不放回抽??；等可能入樣；總體容量較小。系統(tǒng)抽樣：分段，按規(guī)定的間隔在各部分抽?。坏瓤赡苋霕?；總體容量較大。13、分層抽樣：一般地，當(dāng)總體由差異明顯幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較明顯的幾部分，然后按照各部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣。14、分層抽樣的步驟：(1) 將總體按一定的標準分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進行抽

6、樣；（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)(5)綜合每層抽樣，組成樣本15、簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較：類 別共同點各自特點聯(lián) 系適 用范 圍簡 單隨 機抽 樣（1）抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等（2）每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體中個體較少將總體平均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分時采用簡單隨機抽樣總體中個體較多系 統(tǒng)抽 樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成分 層抽 樣16、頻數(shù)：頻數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中，某范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)。頻率：把頻數(shù)除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)，就得到頻率。17、頻率分

7、布表：當(dāng)總體很大或不便于獲得時，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布。我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表。18、頻率分布表的制作：我們將整個取值區(qū)間的長度稱為全距，即計算數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即全距。分成的區(qū)間的長度稱為組距。編制頻率分布表的步驟：(1) 求全距，決定組數(shù)和組距，組距=；(2) 分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間。(3) 登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表。19、頻率分布直方圖的做法：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應(yīng)一個組的組距；（2）然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距；乙甲這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是

8、該組上的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。20、莖葉圖：83463683891012345如圖：第二行表示甲得分為15分、12分，乙得分為13分、14分、16分，其他各行與此類同525497661194021、平均數(shù)：（或稱為均值）。若取值為的頻率分別為，則其平均數(shù)為。22、極差：組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差。極差越大，數(shù)據(jù)越分散，極差越小，數(shù)據(jù)越集中。 極差最大值最小值 23、方差：設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱。 標準差：方差的算數(shù)平方根，簡稱樣本方差、樣本標準差。注：方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。24、必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。25、不可能事件：在一定條件

9、下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件.26、隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件.27、古典概型的特征：(1)有限性：在隨機試驗中，其可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限個，即只有有限個不同的基本事件；(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的機會是均等的.28、古典概型的概率求解步驟：求出總的基本事件數(shù)；求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用 公式。29、幾何概型的特點：有一個可度量的幾何圖形S；試驗E看成在S中隨機地投擲一點；事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中 幾何概型的概率公式：30、幾何概型與古典概型的區(qū)別：相同點：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同點：古典概型要求基本事件有有限個

10、，幾何概型要求基本事件有無限多個. 31、互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件.32、對立事件：必有一個發(fā)生的互斥事件互稱對立事件.33、互斥事件與對立事件的概率：（1）n 個彼此互斥事件的概率公式：。（2）對立事件的概率之和等于1，即：。 。34、回顧小結(jié)：（1）有序地寫出所有基本事件及某一事件A中所包含的基本事件是解古典概型問題的關(guān)鍵！（2）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ褪墙鈳缀胃判蛦栴}的關(guān)鍵?。?）求某些復(fù)雜事件（如“至多、至少”的概率時，通常有兩種轉(zhuǎn)化方法：將所求事件的概率化為若干互斥事件的概率的和；求此事件的對立事件的概率二、例題：1、(1)人們打橋牌時,將洗好的撲克牌(52張)隨機確

11、定一張為起始牌,這時,開始按次序搬牌,對每一家來說,都是從52張總體中抽取一個13張的樣本.則這種抽樣方法是_系統(tǒng)抽樣_.(2)某單位共有在崗職工人數(shù)為624人,為了調(diào)查工人上班時,從離開家來到單位的路是平均所用時間,決定抽取10%的工人調(diào)查這一情況,如果采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣,則首先_利用簡單隨機抽樣,剔除4人_.(3)某中學(xué)有高一學(xué)生400人,高二學(xué)生320人,高三學(xué)生280人,以每人被抽取的概率為0.2向該中學(xué)抽取一個容量為n的樣本,則n=_200_. 2、有一容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下: 12.5,15.5),6； 15.5,18.5),16； 18.5,2

12、1.5),18； 21.5,24.5),22； 24.5,27.5),20； 27.5,30.5),10； 30.5,33.5),8； (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖。3、下表是抽測某校初二女生身高情況所得的部分資料(身高單位：cm，測量時精確到1cm)已知身高在151cm 以下(含151cm)的被測女生共3人則所有被測女生總數(shù)為 分組145.5，148.5）148.5，151.5）151.5，154.5）154.5，157.5）157.5，160.5）160.5，163.5）163.5，166.5）166.5，169.5頻率0.020.040.080.120.300.

13、200.180.064、甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎某煽円业某煽儽某煽儹h(huán)數(shù)789107891078910頻數(shù)555564464664s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則s1，s2，s3的大小關(guān)系為s2s1s3 （用號連接）5、某單位有500名職工，其中不到35歲的有125人，35歲49歲的有280人，50歲以上的有95人.為了了解該單位職工與身體狀況有關(guān)的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本，應(yīng)該用_分層_抽樣法.6、某校有學(xué)生l485人，教師l32人，職工33人為有效防控甲型HINl流感，擬采用分層抽樣的

14、方法，從以上人員中抽取50人進行相關(guān)檢測，則在學(xué)生中應(yīng)抽取_45_人7、200輛汽車經(jīng)過某一雷達地區(qū)，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速超過60 km/h的汽車數(shù)量為_76_。 8、一棟樓房有4個單元, 甲,乙兩人住在此樓內(nèi) ,則甲,乙兩人同住一單元的概率為 . 9、擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率。10、有五根細木棒,長度分別為1,3,5,7,9(cm).從中任取三根,能搭成三角形的概率是 ?11、甲口袋中有大小相同的白球3個,紅球5個,乙口袋中有大小相同的白球4個,黑球8個,從兩個口袋中各摸出2個球,求:(1)甲口袋中摸出的2個球都是紅球的概率,(2)兩個口袋中摸出的4個球中恰有2個

15、白球的概率.12、在某次考試中,甲,乙,丙三人合格(互不影響)的概率分別是 2/5,3/4,1/3.考試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)幾人合格的情況? 13、盒中有10只晶體管，其中2只是次品，每次隨機地抽取1只，作不放回抽樣，連抽兩次，試分別求下列事件的概率：(1)2只都是正品；(2)2只都是次品；(3)1只正品，1只次品；(4)第二次取出的是次品。三、高考真題回顧：1、（2011天津理9）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為_12_。2、（2011遼寧理14）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲

16、食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_0.254_萬元。3、（2011江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差【答案】3.24、（2011廣東理13）某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm 因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_185_cm5、（2010上海文）5.將一個總數(shù)為、 、三層，其個體數(shù)之比為5:3:2。若

17、用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從中抽取 20 個個體。6、（2010天津理）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 _24_和_23_。7、（2011北京理17） 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為， 的平均數(shù)）解（1）當(dāng)X

18、=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y

19、=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=198、（遼寧理19）某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲

20、403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數(shù)學(xué)期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.9、（2010浙江文）（11）在如圖所示的

21、莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 45、46 10、（2010北京理）（11）從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a 0.030 。若要從身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140 ，150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 3 。11、（2010福建文）將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖。若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于 60 。12、（2010江

22、蘇卷）4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長度小于20mm。13、（2010湖北理）14某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，則y的值為 0.4 .14、（2010陜西文） 為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進行出樣檢查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：（1）估計該校男生的人數(shù)；（2）估計該校學(xué)生身高在170185cm之間的概率；（3）從樣本中身高在180190

23、cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190cm之間的概率。解 ：（1）樣本中男生人數(shù)為40 ，由分層出樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。（2）有統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70 ，所以樣本中學(xué)生身高在170185cm之間的頻率故有f估計該校學(xué)生身高在170180cm之間的概率（3）樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號為 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號為從上述6人中任取2人的樹狀圖為：故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15，求至少有1人

24、身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率15、（2010湖北文）17.（本小題滿分12分） 為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚有關(guān)情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量（單位：千克），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）（）在答題卡上的表格中填寫相應(yīng)的頻率；（）估計數(shù)據(jù)落在（1.15,1.30）中的概率為多少；（）將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫，幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有6條，請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù)。解：16、（2010湖南理）（本小題滿分12分）圖4是某城市通過抽樣得到的居

25、民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖。（）求直方圖中x的值（II）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。17、（2009浙江卷文）某個容量為的樣本的頻率分布直方圖如下，則在區(qū)間上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為 30 18、（2009江蘇卷）某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生1號2號3號4號5號甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為= 。19、（2009遼寧卷理）某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為

26、1：2：1，用分層抽樣方法（每個分廠的產(chǎn)品為一層）從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為 1013 h.解析 101320、（2009湖北卷文）下圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在6，10內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在（2，10）內(nèi)的概率約為 。 答案 64解析 觀察直方圖易得頻數(shù)為,頻率為21、（2009湖南卷文） 一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B

27、層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為 .答案 120解析 設(shè)總體中的個體數(shù)為，則22、(2009湖南卷理)一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個數(shù)數(shù)位 .答案 40解析 由條件易知層中抽取的樣本數(shù)是2，設(shè)層總體數(shù)是，則又由層中甲、乙都被抽到的概率是=，可得，所以總體中的個數(shù)是.23、（2009天津卷理）某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，

28、則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取_名學(xué)生。答案 40解析 C專業(yè)的學(xué)生有，由分層抽樣原理，應(yīng)抽取名.24、（2009重慶卷文）從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125 124 121 123 127則該樣本標準差 （克）（用數(shù)字作答）答案 2解析 因為樣本平均數(shù)，則樣本方差所以25、(2009湖北卷理)樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計,樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 .答案 64 0.4解析 由于在范圍內(nèi)頻數(shù)、組距是0.08，所以頻率是0.08*組距=0.32，而頻數(shù)=頻率*樣本容量，所以頻數(shù)=（0.08*4）*200=64同樣在

29、范圍內(nèi)的頻數(shù)為16，所以在范圍內(nèi)的頻數(shù)和為80，概率為80/200=0.4。26、（2009江蘇卷）某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生1號2號3號4號5號甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為= . 【解析】 考查統(tǒng)計中的平均值與方差的運算。甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7，故方差 答案 27、（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8、0.6、0.5，則三人都達標的概率是 ，三人中至少有一人達標的概率是 ?！窘馕觥咳司_標為0.8×0.6×

30、;0.5=0.24,三人中至少有一人達標為1-0.24=0.76答案 0.24 0.7628、（2009福建卷文）點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 ?！窘馕觥咳鐖D可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是。 答案 29、（2009重慶卷文）從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125 124 121 123 127則該樣本標準差 （克）（用數(shù)字作答）【解析】因為樣本平均數(shù)，則樣本方差所以答案 230、（2011湖北理12）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過保質(zhì)期

31、飲料的概率為 。（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）【答案】331.（2011福建理13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_?！敬鸢浮?2、（2011湖南理15）如圖4，EFGH 是以O(shè) 為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形。將一顆豆子隨機地扔到該圖內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）P（A）= _; （2）P（B|A）= 【答案】（1）33、（重慶理13）將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率_【答案】34、（上海理12）隨機抽

32、取9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是 （默認每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。35、小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【答案】36、（2011江蘇5）從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率為_【答案】37、（湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)

33、存貨少于2件，則當(dāng)天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（）求當(dāng)天商品不進貨的概率；（）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。解（I）（“當(dāng)天商品不進貨”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當(dāng)天商品銷售量為1件”） （“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）（“當(dāng)天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數(shù)學(xué)期望為38、（安徽理20）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再

34、派下一個人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小。解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力

35、、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關(guān)，并等于 （II）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為時，隨機變量X的分布列為X123P 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對于的任意排列，都有（*）事實上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?由此

36、可見，當(dāng)時，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當(dāng)時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當(dāng)時，EX達到最小. 即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.39、（北京理17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：

37、方差，其中為， 的平均數(shù)）解：（1）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×

38、;P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=1940、（福建理19）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠

39、產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性解：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分

40、。解：（I）因為又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。41、（廣東理17）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取1

41、4件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，

42、1，2。所以的分布列為012P故42、（遼寧理19）某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量

43、的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數(shù)學(xué)期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.43、（全國大綱理18）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為05，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為03,設(shè)各車主購買保險相互獨立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙

44、兩種保險中的l種的概率；（）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求X的期望。 解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買； （I）3分 6分 （II），即X服從二項分布，10分所以期望12分44、（全國新課標理19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)

45、品的質(zhì)量指標值，得到時下面試驗結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)412423210（I）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（II）已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應(yīng)組的概率）解（）由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)

46、質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42（）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列為2240.040.540.42X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6845、（山東理18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。（）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為