彈性力學(xué)平面問題的有限元方法

1、2.1.1 材料力學(xué)材料力學(xué)與與彈性力學(xué)彈性力學(xué)2.1.2 應(yīng)力應(yīng)力的概念的概念2.1.3 位移與應(yīng)變關(guān)系（位移與應(yīng)變關(guān)系（幾何方程幾何方程）剛體位移）剛體位移2.1.4 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系（應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系（物理方程物理方程）2.1.5 平衡方程平衡方程2.1.6 虛功原理虛功原理（平衡方程和邊界條件）（平衡方程和邊界條件）2.1.7 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理2.1.8 兩種平面問題兩種平面問題工程中的力學(xué)問題提出工程中的力學(xué)問題提出 結(jié)構(gòu)組成結(jié)構(gòu)組成（幾何模型）（幾何模型）材料特性材料特性位移約束位移約束載荷施加載荷施加（驅(qū)動(dòng)力和工（驅(qū)動(dòng)力和工作阻力）作阻力）工作環(huán)境工作環(huán)境 時(shí)間時(shí)間固體變形力

2、學(xué)簡(jiǎn)介固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介 先回顧先回顧剛體力學(xué)剛體力學(xué)理論力學(xué)理論力學(xué)？固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介 MaFJmxMaXyMaYzMaZyyJmyxxJmxzJmzz理論力學(xué)理論力學(xué)對(duì)象對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)系或剛體系，：質(zhì)點(diǎn)系或剛體系，特征是無(wú)變形特征是無(wú)變形變量變量：質(zhì)量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣質(zhì)量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）量），（角）位移，（角）位移，（角）速度（角）速度，（角）加，（角）加速度速度；力（力矩）力（力矩）。方程：方程：質(zhì)點(diǎn)和剛體的牛質(zhì)點(diǎn)和剛體的牛頓三大定律頓三大定律材料力學(xué)材料力學(xué)？板殼力學(xué)，？板殼力學(xué)，？彈塑？彈塑性力學(xué)性力學(xué)？斷裂力學(xué)，損傷力學(xué)；？斷裂力學(xué)，損傷力學(xué)；蠕變力學(xué)，蠕變力學(xué)，粘彈性力學(xué)，粘塑性力

3、學(xué)，沖擊動(dòng)力粘彈性力學(xué)，粘塑性力學(xué)，沖擊動(dòng)力學(xué)學(xué)，固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介固體變形力學(xué)簡(jiǎn)介材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)1、研究的內(nèi)容研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。：基本上沒有什么區(qū)別。 它們都是研究它們都是研究在外力作用下的在外力作用下的力平衡力平衡和和微小微小變形運(yùn)動(dòng)變形運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變應(yīng)力和應(yīng)變。2、研究的對(duì)象研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。：有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)材料力學(xué)基本上只研究基本上只研究桿、梁、柱、軸桿、梁、柱、軸等等桿狀構(gòu)件桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈

4、性力學(xué)彈性力學(xué)雖然也研究雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板、殼板、殼及其它及其它三維實(shí)體結(jié)構(gòu)三維實(shí)體結(jié)構(gòu)。即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)。即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸都相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。尺寸都相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。2.1.1 材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)3、研究的方法研究的方法：有較大的區(qū)別。：有較大的區(qū)別。 雖然都從雖然都從力平衡力平衡、變形協(xié)調(diào)變形協(xié)調(diào)、物理學(xué)物理學(xué)和和邊界條件邊界條件四四方面進(jìn)行研究，但是在建立這四方面條件時(shí)，采用的方面進(jìn)行研究，但是在建立這四方面條件時(shí)，采用的

5、分析方法不同。分析方法不同。材料力學(xué)材料力學(xué)采用的是采用的是截面法截面法。是對(duì)構(gòu)件。是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而常常要常常要引用一引用一些截面的變形規(guī)律或應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)些截面的變形規(guī)律或應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)。從而簡(jiǎn)化了從而簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。，而不是精確的。 而而彈性力學(xué)彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的是對(duì)構(gòu)件的微元體微元體來(lái)建立這些條件的，來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密分析的方法比較嚴(yán)密，得出得出的結(jié)論也比較精確的結(jié)論也比較精確。所以，彈

6、性力學(xué)的解可以用來(lái)估。所以，彈性力學(xué)的解可以用來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定其適用范圍。計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定其適用范圍。材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-1ax xq qy yx0 0圖 1-1b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)圖 1-3a圖 1-3b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué) 總之，總之，材料力學(xué)材料力學(xué)與與彈性力學(xué)彈性力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于它們都同屬于固體小變形力學(xué)固體小變形力學(xué)范疇。范疇。 彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析彈性力

7、學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛更廣泛。 但是，但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和運(yùn)算往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和運(yùn)算。但為了。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：關(guān)于材料性質(zhì)的假定：彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)和結(jié)

8、構(gòu)的 (1) 物體是連續(xù)的物體是連續(xù)的，即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種，即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用坐一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。(2) 物體是完全彈性的物體是完全彈性的，即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的，即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它

9、在這一瞬時(shí)所受的外力，與它的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無(wú)關(guān)。而且，通常假設(shè)過去的受力情況無(wú)關(guān)。而且，通常假設(shè)線彈性線彈性。(3) 物體是均勻的物體是均勻的，即整個(gè)物體是由，即整個(gè)物體是由同一種材料組成同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的重力理性質(zhì)，因而物體的重力(材料密度相同材料密度相同)才不隨位才不隨位置坐標(biāo)而變化。置坐標(biāo)而變化。(4) 物體是各向同性的物體是各向同性的，也就是說(shuō)物體內(nèi)，也就是說(shuō)物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)不同方向的物理性質(zhì)和和機(jī)械性質(zhì)機(jī)械性質(zhì)都是

10、相同的。如各都是相同的。如各個(gè)方向的彈性常數(shù)個(gè)方向的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松比彈性模量和泊松比) 相等。相等。(5) 物體的變形是微小的物體的變形是微小的，即當(dāng)物體受力以后，即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸。因。因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘

11、積項(xiàng)都可以應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性偏微分方程。線性偏微分方程。赫茲應(yīng)力下的赫茲應(yīng)力下的Mises,第一、第三和剪應(yīng)力場(chǎng)第一、第三和剪應(yīng)力場(chǎng)如何提取和分析如何提取和分析應(yīng)力圖？應(yīng)力圖？位移圖？應(yīng)變圖？位移圖？應(yīng)變圖？如何判斷物體屈服如何判斷物體屈服?裂紋萌生和擴(kuò)展裂紋萌生和擴(kuò)展?破壞？破壞？2.1.2 回顧應(yīng)力的概念回顧應(yīng)力的概念 作用于彈性體的作用于彈性體的外力外力(或稱荷載或稱荷載)可能有兩種：可能有兩種： 表面力表面力，是是分布于物體表面的力分布于物體表面的力，如，如靜水靜水壓力壓力，一物體

12、與另一物體之間的，一物體與另一物體之間的接觸壓力接觸壓力等。單位等。單位面積上的表面力通常分解為平行于坐標(biāo)軸的三個(gè)成面積上的表面力通常分解為平行于坐標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)分，用記號(hào) 來(lái)表示。來(lái)表示。 體力體力，是是分布于物體體積內(nèi)的外力分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。表示。彈性體彈性體受受外力外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)力。、2.1.2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念彈性體內(nèi)微小的平行六面體彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC，稱為稱為微元體微元體或

13、或體素體素PA=dx,PB=dy,PC=dz正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力每一個(gè)面上的應(yīng)每一個(gè)面上的應(yīng)力分解為力分解為一個(gè)正一個(gè)正應(yīng)力應(yīng)力和和兩個(gè)剪應(yīng)兩個(gè)剪應(yīng)力力，分別與三個(gè)，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行坐標(biāo)軸平行圖 1-4加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力 是是作用在垂直于作用在垂直于X軸的面軸的面上，而沿著上，而沿著Y軸方向作用軸方向作用。為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)

14、角碼，例如，正應(yīng)力個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力 是是作用在垂直于作用在垂直于X軸的面軸的面上，同時(shí)也沿著上，同時(shí)也沿著X軸方向作用軸方向作用。x正應(yīng)力正應(yīng)力xy剪應(yīng)力剪應(yīng)力2.1.2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念2.1.2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念應(yīng)力正負(fù)的約定（應(yīng)力正負(fù)的約定（拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正） 如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 相反，相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)

15、力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。為正，沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。2.1.2 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相大小相等，正負(fù)號(hào)也相同同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。由力矩平衡得出由力矩平衡得出簡(jiǎn)化得簡(jiǎn)化得zyyz1)-(2 xzzxzyyzyxxy，剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等02222dZdXdydydXdZzyyz一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)與材料強(qiáng)度一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)與材料

16、強(qiáng)度 可以證明：如果可以證明：如果 這六個(gè)量這六個(gè)量在在P點(diǎn)是已知的，就點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)力分量。 一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，一般說(shuō)來(lái)，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可用一個(gè)列矩陣矢量六個(gè)應(yīng)力分量

17、的總體，可用一個(gè)列矩陣矢量 來(lái)表示：來(lái)表示：zxyzxyzyx、 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)與材料強(qiáng)度一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)與材料強(qiáng)度 單軸拉伸問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如何？單軸拉伸問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如何？F FF FX XY YZ ZX XY YZ Z主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 S SnynyS SnxnxS Snznz主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不

18、變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系主應(yīng)力、應(yīng)力不變量和自然坐標(biāo)系 主剪應(yīng)力，主剪應(yīng)力，主正應(yīng)變主正應(yīng)變，主剪應(yīng)變主剪應(yīng)變和自然坐標(biāo)系？和自然坐標(biāo)系？ 3 31 12 2主應(yīng)力、主剪應(yīng)力主應(yīng)力、主剪應(yīng)力能度量材料破壞嗎？能度量材料破壞嗎？ 一個(gè)理想球體，受到均勻的外壓時(shí)，一個(gè)理想球體，受到均勻的外壓時(shí)，會(huì)破壞嗎？會(huì)破壞嗎？脆性，塑性，正應(yīng)

19、力，剪應(yīng)力脆性，塑性，正應(yīng)力，剪應(yīng)力E Es s2.1.3 位移及應(yīng)變關(guān)系位移及應(yīng)變關(guān)系(幾何方程幾何方程), 剛體位移剛體位移 。物體。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來(lái)描述：的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來(lái)描述： 1、給出、給出各點(diǎn)的位移各點(diǎn)的位移；2、給出、給出各體素的變形各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，可以用彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，可以用x、y、z三三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來(lái)表示。沿坐標(biāo)軸來(lái)表示。沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為影稱為位移分量位移分量。一般情況下，彈性體受力以。一般情況下，彈性體受力以后，各

20、點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。它們分為它們分為剛體位移剛體位移和和變形位移變形位移兩大部分。兩大部分。應(yīng)應(yīng) 變變 體素的變形體素的變形可以分為兩類：可以分為兩類： 一類是一類是長(zhǎng)度長(zhǎng)度的變化，一類是的變化，一類是角度角度的變化。的變化。 線應(yīng)線應(yīng)變變(或稱正應(yīng)變或稱正應(yīng)變)，用符號(hào)，用符號(hào) 來(lái)表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則來(lái)表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用加上相應(yīng)的角碼，分別用 來(lái)表示。當(dāng)線素伸長(zhǎng)時(shí)，其來(lái)表示。當(dāng)線素伸長(zhǎng)時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)檎７粗€素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正

21、負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。 稱為稱為角應(yīng)變角應(yīng)變或或剪應(yīng)變剪應(yīng)變，用符號(hào)，用符號(hào) 來(lái)表示。兩坐標(biāo)軸來(lái)表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來(lái)表來(lái)表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。zyx、zxyzxy、xyxyvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何

22、方程）在在X方向的位移分量方向的位移分量為為u；則則B點(diǎn)點(diǎn)在在X方向的位移：方向的位移：ABCD-ABCD 變形前、后；基點(diǎn)（基線），相對(duì)量變形前、后；基點(diǎn)（基線），相對(duì)量求線素求線素AB、AD的正應(yīng)變的正應(yīng)變 ，用位移分量來(lái)表示：，用位移分量來(lái)表示：yx、dxxuuuu變形后變形后線素線素AB的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋簒udxudxxuux)(同理，同理，AD的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋簓vdyvdyyvvy)(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5X向線素向線素AB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變

23、求剪應(yīng)變 ，也就是，也就是與與之間的直角的改變之間的直角的改變線素線素AB的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為：xy在在Y方向的位移分方向的位移分量為量為v；則則B點(diǎn)點(diǎn)在在Y方向的位移分方向的位移分量：量：dxxvvBABBtg xuxvdxxudxvdxxvv1)(應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5X向線素向線素AB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變求剪應(yīng)變 ，也就是線素，也就是線素AB與與AD之間的直角的改變。即之間的直角的改變。即同理

24、，同理，Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角由于變形是微小的，所由于變形是微小的，所以上式可將比單位值以上式可將比單位值1小小得多的得多的 略去，得略去，得xuxvyu因此，剪應(yīng)變?yōu)椋阂虼?，剪?yīng)變?yōu)椋簓uxvxyxy應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）以上是考察了體素在以上是考察了體素在XOY一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，yuxvxyxuxyvy同樣方法來(lái)考察體素在同樣方法來(lái)考察體素在XOZ和和YOZ平面內(nèi)的變形平面內(nèi)的變形情況，可得：情況，可得：zuxwywzvzwzxyzz，聯(lián)立得到聯(lián)立得到幾何方程幾何方程，表明，表明應(yīng)變分量應(yīng)變分量與與位移分量

25、位移分量之間之間的關(guān)系。的關(guān)系。1)-3-(2 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變分量矩陣應(yīng)變分量矩陣 可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的

26、應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。的應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。 六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示：來(lái)表示： 2)-3-(2 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx剛體位移（剛體位移（不影響強(qiáng)度不影響強(qiáng)度） 由幾何方程由幾何方程(2-3-1)可見，可見，當(dāng)彈性體的當(dāng)彈性體的完全確完全確定時(shí)，定時(shí)，是完全確定的是完全確定的。；這是因?yàn)椋哂?；這是因?yàn)?，具有的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，試在點(diǎn)，試在(2-3-1)中命：中命：有：有：積分后，得積分后，得式中的式中的 是積分常數(shù)是積

27、分常數(shù)0zxyzxyzyx000000yuxwxwzvzvyuzwyvxu，4)-(2 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy、zyxwvu000積分常數(shù)的幾何意義積分常數(shù)的幾何意義4)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy 代表彈性體沿代表彈性體沿x方向的剛方向的剛體移動(dòng)。體移動(dòng)。 及及 分別代表分別代表彈性體沿彈性體沿y方向及方向及Z方向的方向的剛體移動(dòng)剛體移動(dòng)。0u0v0w 代表彈性體繞代表彈性體繞Z軸的剛軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣， 及及 分分別代表彈性體繞別代表彈性體繞x軸及軸及y軸軸的的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。zxy為了完全確定彈性體的位移，為了完全確定彈性體的

28、位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來(lái)確定來(lái)確定 這六個(gè)剛體位移。這六個(gè)剛體位移。zyxwvu、000vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-52.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）當(dāng)沿當(dāng)沿X軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材布正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在度的任何改變，而其在X方向的單位方向的單位伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)則可以用下列方程表示則可以用下列方程表示 式中式中

29、E為彈性模量。為彈性模量。彈性體在彈性體在X方向的伸長(zhǎng)還伴隨有方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向側(cè)向收縮收縮，即在，即在y和和Z方向的單位縮短可方向的單位縮短可表示為：表示為：式中式中 為泊松比。方程為泊松比。方程(2-5)和和(2-6)既既可用于簡(jiǎn)單拉伸，也可用于簡(jiǎn)單壓可用于簡(jiǎn)單拉伸，也可用于簡(jiǎn)單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和泊松比相同。下的彈性模量和泊松比相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-7應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系-5)-(2 Exx6)-(2 EExzxy，2.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)

30、系（物理方程）設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用(2-5)和和(2-6)式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量，就得到合成應(yīng)變的分量。就得到合成應(yīng)變的分量。單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)理常數(shù)E及及 所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來(lái)所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來(lái)確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-77)-(2 )(

31、1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE2.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖1-4所示，所示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：，即得到：式中式中G稱為剪切模量，它與彈性模量稱為剪切模量，它與彈性模量E，泊松比泊松比 存在如下的關(guān)系：存在如下的關(guān)系：方程方程(2-7)中的正應(yīng)變與方程中的正應(yīng)變與方程(2-8)中的剪應(yīng)中的剪應(yīng)變是各自獨(dú)立的變是各自獨(dú)立的。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分。因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量

32、引起的一般情形的應(yīng)量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；即將變，可用疊加法求得；即將(2-7)和和(2-8)的的六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得式六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得式(2-10)，稱為，稱為彈性方程或物理方程彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。8)-(2 111zxzxyzyzxyxyGGG，9)-(2 )1(2EGzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(12.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGG

33、GEEE111)(1)(1)(12.1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物理方程）前面用前面用應(yīng)力分量應(yīng)力分量表為表為應(yīng)變分量應(yīng)變分量的函數(shù)，可稱為的函數(shù)，可稱為物理方程的第物理方程的第二種形式二種形式。若將式。若將式(2-10)改寫成應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)改寫成應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)的形式，并將式的形式，并將式(2-9)代入，可得代入，可得物理方程的第一種形式物理方程的第一種形式：11)-(2 )1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEE

34、EE式式(2-11)可用矩陣的形式表示如下：可用矩陣的形式表示如下：12)-(2 )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE式式(2-12)可簡(jiǎn)寫為：可簡(jiǎn)寫為： 13)-(1 DD稱為彈性矩陣，它完全稱為彈性矩陣，它完全取決取決于彈性常數(shù)于彈性常數(shù)E和和 14)-(2 )1 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 221000111111)21)(1 ()1 (稱對(duì)ED2.1.5 平衡方程平衡方程2.1.5 平衡方程平衡方程邊界方程（條件）邊界方程

35、（條件）2.1.6 虛功原理虛功原理圖圖1-8a示一示一平衡平衡的杠桿，對(duì)的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫點(diǎn)寫力矩平衡方程：力矩平衡方程：圖圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的位轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的位移關(guān)系：移關(guān)系：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(2-15)是以功的形式表述的。表明：是以功的形式表述的。表明：圖圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的位移上作功的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理做虛功原理。abPPBAabABABBAabPP15)-(2 0BBAAPP2.1.6 虛功原理虛功原理 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，

36、 和和 這兩個(gè)位這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振它一下讓移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振它一下讓傾斜，一定滿足傾斜，一定滿足(2-15)式的關(guān)系。式的關(guān)系。 將這個(gè)將這個(gè)客觀存在的關(guān)系客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，由于是假想，故稱為故稱為虛位移虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總，那么，物

37、體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。功必定等于零。這就叫做這就叫做虛位移原理虛位移原理，也稱，也稱虛功原理虛功原理。在圖。在圖1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位的位移上，移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位移因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)移，亦即是狀態(tài)(a)假想的位移。假想的位移。ABAPBP2.1.6 虛功原理虛功原理 必須指出必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它涉及到

38、的，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它涉及到的兩個(gè)方面，兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的力和位移并不是隨意的。對(duì)于對(duì)于力力來(lái)講，它來(lái)講，它必須是必須是在位移過程中處于平衡的力系在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于；對(duì)于位移位移來(lái)講，雖然是虛位來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移的微小的剛體位移。 虛位移原理虛位移原理實(shí)際上就是實(shí)際上就是能量守恒原理能量守恒原理的一的一種變異說(shuō)法種變異說(shuō)法。 虛功原理公式表述如下：虛功原理公式表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的力系，當(dāng)發(fā)在力的作用下處于平衡狀態(tài)的力系，

39、當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上體系上所有的力在位移上所作的總功所有的力在位移上所作的總功(各力所各力所作的功的代數(shù)和作的功的代數(shù)和)恒等于零恒等于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是虛功方程，其中這就是虛功方程，其中 P 和和 相應(yīng)的代表相應(yīng)的代表外外力力和和虛位移虛位移。2.1.6 虛功原理虛功原理16)-(2 0PW2.1.6 虛功原理虛功原理-用于用于彈性體彈性體平衡力系平衡力系 虛功方程虛功方程(2-16)是按是按剛體剛體的情況得出的，即假設(shè)圖的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是的杠桿是絕對(duì)剛性絕對(duì)剛性，

40、沒有任何的變形，因而在方，沒有任何的變形，因而在方程程(2-15)或或(2-16)中中沒有內(nèi)力功項(xiàng)沒有內(nèi)力功項(xiàng)出現(xiàn)，而出現(xiàn)，而只有外力只有外力功項(xiàng)功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要要包括包括外力外力功功(T)和和內(nèi)力功內(nèi)力功(U)兩部分，即：兩部分，即： W = T - - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值內(nèi)力功取負(fù)值。 2.1.6 虛功原理虛

41、功原理-用于彈性體平衡力系用于彈性體平衡力系根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0T - U = 0 外力虛功外力虛功 T = T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為： 在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功外力在虛位移上的虛功( (外外力虛功力虛功) )等于等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功( (內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功) )。i點(diǎn)點(diǎn)外力分量外力分量j點(diǎn)點(diǎn)外力分量外力分量

42、外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的應(yīng)力分量用引起的應(yīng)力分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9iiiWVU、jjjWVU、 F zxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，2.1.6 虛功原理虛功原理-用于彈性體平衡力系用于彈性體平衡力系假設(shè)發(fā)生了假設(shè)發(fā)生了虛位移虛位移虛位移分量為虛位移分量為用用 表示；引起的虛表示；引起的虛應(yīng)變分量用應(yīng)變分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9*jjjiiiwvuwvu、 * * *zxyzxyzyxjjjiiiwvuwvu，2

43、.1.6 虛功原理虛功原理-用于彈性體平衡力系用于彈性體平衡力系 在虛位移發(fā)生時(shí)，在虛位移發(fā)生時(shí)，外力外力在在虛位移虛位移上的虛功是：上的虛功是：式中式中 是是 的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。 同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，在同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，在彈性體微元的單位體積彈性體微元的單位體積內(nèi)，應(yīng)內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：力在虛應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)力在在虛應(yīng)變虛應(yīng)變上的虛功是：上的虛功是：根據(jù)虛功原理得到：根據(jù)虛功原理得到： 這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明明外力外力與與應(yīng)力應(yīng)力之間的關(guān)系。之

44、間的關(guān)系。 FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii* T* * Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx* dxdydzT* 17)-(2 *dxdydzFTT2.1.6 虛功原理虛功原理-用于彈性體平衡力系用于彈性體平衡力系2.1.7 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理 在有限元的理論中，在有限元的理論中，最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理是在所有滿是在所有滿足給定邊界條件的位移時(shí)，足給定邊界條件的位移時(shí)，滿足平衡微分方程的所滿足平衡微分方程的所有位移變形中有位移變形中，其中，其中使得勢(shì)能取得最小值的位移變使得勢(shì)能取得最小值的位移變形形就是就是真實(shí)的位移變形真實(shí)的位移變形。 或者說(shuō)：在外力作用下處于

45、平衡狀態(tài)的彈性體，或者說(shuō)：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，由于彈性體發(fā)生了變形位移，假設(shè)所有的由于彈性體發(fā)生了變形位移，假設(shè)所有的外力在變外力在變形位移上所做的功形位移上所做的功( (即外力功即外力功) )為為W W，而，而整個(gè)彈性體內(nèi)整個(gè)彈性體內(nèi)所有應(yīng)力在應(yīng)變上的變形勢(shì)能的總和所有應(yīng)力在應(yīng)變上的變形勢(shì)能的總和( (內(nèi)力功內(nèi)力功) )為為U U。整個(gè)彈性體中所有各種變形勢(shì)能整個(gè)彈性體中所有各種變形勢(shì)能U U中，最接近中，最接近W W的那的那個(gè)個(gè)U U* *一定是最小勢(shì)能，且一定是最小勢(shì)能，且是物體的真實(shí)位移變形是物體的真實(shí)位移變形。2.1.8 兩種平面問題兩種平面問題 彈性力學(xué)可分為空間問題

46、和平面問題，嚴(yán)彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說(shuō)，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一格地說(shuō)，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題因而任何實(shí)際問題都是空間問題都是空間問題，都必須考慮所有的，都必須考慮所有的位移分量位移分量、應(yīng)變分量應(yīng)變分量和和應(yīng)力分量應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。

47、和應(yīng)力分量即可。平面應(yīng)力平面應(yīng)力問題問題平面應(yīng)變平面應(yīng)變問題問題平面平面應(yīng)力應(yīng)力問題問題 厚度為厚度為t的的很薄的均勻板很薄的均勻板。只在邊緣上受到平行于板。只在邊緣上受到平行于板面且面且沿厚度不變化的面力沿厚度不變化的面力，同時(shí)，同時(shí)，體力也平行于板面體力也平行于板面且且沿厚度不變化。沿厚度不變化。 x xy y0 0t/2t/2z zy y圖 1-10平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題以薄板的中面為以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：板面上各

48、點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量，平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即即 ，所以稱為，所以稱為平面應(yīng)力問題。平面應(yīng)力問題。yxxyyx、000yzzyxzzxz，0)(0)(0)(222tzzytzzxtzz，平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣(2-2)可以簡(jiǎn)化為：可以簡(jiǎn)化為： 2)-(2 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx 18)-(2 xyyx平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方

49、程物理方程(2-10)中后兩式可見，中后兩式可見，這時(shí)的剪應(yīng)變：這時(shí)的剪應(yīng)變：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可中的第三式可見：見：一般一般 ， 并不一定等于零，并不一定等于零，但可由但可由 及及 求得。求得。(1-3-2)簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為：化為：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(100zxyz，)(yxzE0zzxy 19)-(1 xyyx平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題物理方程物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：20)-(2 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21

50、)-(2 211)1 (211222xyxyxyyxyyxxEEEE平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題將將(1-21)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：彈性矩陣彈性矩陣D則簡(jiǎn)化為：則簡(jiǎn)化為：22)-(2 2100010112xyyxxyyxE D 23)-(2 2100010112ED平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題只有只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(2-3)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為： zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(2 xvyuyvxuxyyxxyyx、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題彈性體的虛功方程彈性體的虛

51、功方程(2-17)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 一縱向一縱向(即即Z向向)很長(zhǎng)，很長(zhǎng)，且橫截面不變的物體，且橫截面不變的物體，受受有平行于橫截面而且不沿有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖如圖1-11所示。所示。 w = 0因此，這種問題稱為平面因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱位移問題，但習(xí)慣上常稱為為平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題。 0 0y yx x圖 1-110z平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)，由幾何方程的函數(shù)，由幾何方程由于由于 只剩下三個(gè)應(yīng)變分量只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(2-24)。 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(2 xvyuyvxuxy