新北師大版八年級(jí)下第一章_三角形的證明復(fù)習(xí)

1、第一章第一章 三角形的證明三角形的證明考點(diǎn)分析考點(diǎn)分析考考查查意意圖圖 三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中圖形與幾何圖形與幾何部分的重要內(nèi)容，在日常測(cè)試及部分的重要內(nèi)容，在日常測(cè)試及中考中，中考中，常以填空、選擇、證明、計(jì)算及綜合常以填空、選擇、證明、計(jì)算及綜合題題考查學(xué)生對(duì)于考查學(xué)生對(duì)于三角形全等三角形全等、等腰三角形等腰三角形、勾勾股定理及其逆定理股定理及其逆定理的掌握的掌握試試卷以雙基為主，卷以雙基為主，考查學(xué)生對(duì)于基本知識(shí)點(diǎn)的理解及基本解題思考查學(xué)生對(duì)于基本知識(shí)點(diǎn)的理解及基本解題思路的掌握，重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何題的分析路的掌握，重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何

2、題的分析能力和邏輯推理能力能力和邏輯推理能力 思想思想方法方法分類(lèi)討論分類(lèi)討論數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)知識(shí)歸納知識(shí)歸納1 1等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(1)(1)：等腰三角形的兩個(gè)底角：等腰三角形的兩個(gè)底角_性質(zhì)性質(zhì)(2)(2)：等腰三角形頂角的：等腰三角形頂角的_、底邊上的、底邊上的_、底邊上的高互相重合、底邊上的高互相重合2 2等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60603 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)定義：有兩條邊定義：有兩條邊_的三角形是等腰三角形的三角

3、形是等腰三角形(2)(2)等角對(duì)等邊：有兩個(gè)角等角對(duì)等邊：有兩個(gè)角_的三角形是等腰的三角形是等腰三角形三角形相等相等 相等相等 相等相等 平分線(xiàn)平分線(xiàn) 中線(xiàn)中線(xiàn)第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)4 4等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)(1)有一個(gè)角等于有一個(gè)角等于6060的的_三角形是等邊三角形；三角形是等邊三角形；(2)(2)三邊相等的三角形叫做等邊三角形；三邊相等的三角形叫做等邊三角形；(3)(3)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；(4)(4)有兩個(gè)角等于有兩個(gè)角等于6060的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形等腰等腰 第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)5 5直角三角

4、形的性質(zhì)及判定直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)性質(zhì)(1)(1)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于3030，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的_；性質(zhì)性質(zhì)(2)(2)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余：直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形6 6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的邊的_逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是方，那么這

5、個(gè)三角形是_三角形三角形一半一半 平方平方 直角直角 第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)7 7線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及判定定理線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩性質(zhì)定理：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離個(gè)端點(diǎn)的距離_判定定理：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這判定定理：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的條線(xiàn)段的_上上 點(diǎn)撥點(diǎn)撥 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合距離相等的所有點(diǎn)的集合8 8三角形三邊中垂線(xiàn)的性質(zhì)三角形三邊中垂線(xiàn)的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于三角形

6、三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于_，并且這，并且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離_相等相等 垂直平分線(xiàn)垂直平分線(xiàn) 相等相等 一點(diǎn)一點(diǎn) 第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)9 9角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及判定定理角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離_判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊_相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上 注意注意 角的平分線(xiàn)是在角的內(nèi)部的一條射線(xiàn)，所以角的平分線(xiàn)是在角的內(nèi)部的一條射線(xiàn)，所以它的逆定理必須加上它的逆定理必須加上“在角的內(nèi)部在角的內(nèi)部”

7、這個(gè)條件這個(gè)條件1010三角形三條角平分線(xiàn)的性質(zhì)三角形三條角平分線(xiàn)的性質(zhì)三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離三條邊的距離_相等相等 距離距離 相等相等 考點(diǎn)攻略考點(diǎn)攻略 考點(diǎn)一線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)一線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用例例1 1 如圖如圖1 11 1，在，在ABCABC中，中，DEDE垂直平分垂直平分ACAC交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，A A3030，ACBACB8080，則，則BCEBCE_._.5050 解析解析 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等

8、平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，得，得EAEAECEC，所以，所以A AACEACE3030. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳CBACB8080，故，故BCEBCE808030305050. .圖圖11第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 方法技巧方法技巧 若題目中出現(xiàn)或經(jīng)過(guò)構(gòu)造出現(xiàn)線(xiàn)段垂直平若題目中出現(xiàn)或經(jīng)過(guò)構(gòu)造出現(xiàn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，注意利用分線(xiàn)，注意利用“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”解決問(wèn)題。同時(shí)，解決問(wèn)題。同時(shí)，在求一些邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或角的度數(shù)時(shí)，如果能恰在求一些邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或角的度數(shù)時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線(xiàn)

9、段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意到這一點(diǎn)！化解題過(guò)程，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意到這一點(diǎn)！第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)例例2 考點(diǎn)二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用圖圖12第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 方法技巧方法技巧 與全等三角形有關(guān)的開(kāi)放型試題形式多樣與全等三角形有關(guān)的開(kāi)放型試題形式多樣，設(shè)計(jì)新穎，能培養(yǎng)同學(xué)們的逆向思維能力、，設(shè)計(jì)新穎，能培養(yǎng)同學(xué)們的逆向思維能力、創(chuàng)新能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。解答條件開(kāi)創(chuàng)新能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。解答條件開(kāi)放型試題，需要放型試題，需要執(zhí)果索因，逆向推理，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步逐步探探求結(jié)論成立求結(jié)論成立的條件。同

10、時(shí)要注意挖掘的條件。同時(shí)要注意挖掘圖形中的圖形中的隱含條件，隱含條件，如如對(duì)頂角對(duì)頂角、公共角公共角、公共邊公共邊等，等，然然后合理選擇全等三角形的知識(shí)解決。另外，要后合理選擇全等三角形的知識(shí)解決。另外，要注意這類(lèi)題的答案往往不唯一，只要合理即可注意這類(lèi)題的答案往往不唯一，只要合理即可。第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)例例3 圖圖13 考點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用考點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用 解析解析 這個(gè)有趣的問(wèn)題是勾股定理的典型應(yīng)用，此問(wèn)這個(gè)有趣的問(wèn)題是勾股定理的典型應(yīng)用，此問(wèn)題看上去是一個(gè)曲面上的路線(xiàn)問(wèn)題，但實(shí)際上能通過(guò)題看上去是一個(gè)曲面上的路線(xiàn)問(wèn)題，但實(shí)際上能通過(guò)圓圓柱的側(cè)面展開(kāi)柱的側(cè)面展開(kāi)而轉(zhuǎn)化而轉(zhuǎn)化為平

11、面上的路線(xiàn)問(wèn)題為平面上的路線(xiàn)問(wèn)題，值得注意的，值得注意的是，在剪開(kāi)圓柱側(cè)面時(shí)，要從是，在剪開(kāi)圓柱側(cè)面時(shí)，要從A A開(kāi)始并垂直于開(kāi)始并垂直于ABAB剪開(kāi)，剪開(kāi)，這樣展開(kāi)的這樣展開(kāi)的側(cè)面是個(gè)矩形側(cè)面是個(gè)矩形，才能得到直角，再利用勾股，才能得到直角，再利用勾股定理解決此問(wèn)題定理解決此問(wèn)題第一章第一章 | 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)圖圖14 方法技巧方法技巧 利用勾股定理解決最短路線(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解利用勾股定理解決最短路線(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解決旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題，也是把決旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題，也是把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)的問(wèn)題，即將原圖形的側(cè)面展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形題，即將原圖形的側(cè)面展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形即即“展展曲為平

12、曲為平”問(wèn)題，特別要注意圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)問(wèn)題問(wèn)題，特別要注意圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)問(wèn)題。這種由三維立體和二維平面的相互轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了。這種由三維立體和二維平面的相互轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下的素質(zhì)教育對(duì)學(xué)生空間想象能力、圖形識(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)下的素質(zhì)教育對(duì)學(xué)生空間想象能力、圖形識(shí)別能力及理解能力的要求，是考查空間觀念和嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真別能力及理解能力的要求，是考查空間觀念和嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真態(tài)度的很好題型。態(tài)度的很好題型。 例例4 4、已知：如圖，、已知：如圖，D D是是ABCABC的的BCBC邊上的邊上的中點(diǎn)，中點(diǎn)，DEACDEAC，DFABDFAB，垂足分別是，垂足分別是E E、F F，且且DE=DF. D

13、E=DF. 求證：求證：ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .EFCDAB 分析：要證分析：要證ABCABC是等腰是等腰三角形，可證三角形，可證B=C.B=C.反思反思：1 1、證明、證明ABCABC是等腰三角形的基本思路是什么？是等腰三角形的基本思路是什么？ 2 2、點(diǎn)、點(diǎn)D D在在BACBAC的角平分線(xiàn)上嗎？為什么？的角平分線(xiàn)上嗎？為什么？ 考點(diǎn)四等腰三角形的判別考點(diǎn)四等腰三角形的判別 例例5.5.已知：如圖，已知：如圖，P P是是 AOBAOB平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，PCOAPCOA，PDOBPDOB，垂足分別為，垂足分別為C C、D D 求證：求證：(1) OC=OD(1)

14、 OC=OD；(2) OP(2) OP是是CDCD的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)證明證明：(1) P是是AOB角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，PCOA，PDOBPC=PD在在RtOPC和和RtOPD中，中，OP=OP，PC=PD，RtOPC RtOPD(HL)OC=OD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)PDAECOB(2)又又 OP是是OCD中中AOB的角平分線(xiàn)，的角平分線(xiàn)，OP是是CD的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)(等腰三角形等腰三角形“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”定理定理) 考點(diǎn)五考點(diǎn)五 ：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)C CD D針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練3 3以下命題中，是真命題

15、的是以下命題中，是真命題的是( () )A A兩條直線(xiàn)只有相交和平行兩種位置關(guān)系兩條直線(xiàn)只有相交和平行兩種位置關(guān)系B B同位角相等同位角相等C C兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D D等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等 D D 4 4下列說(shuō)法中，正確的是下列說(shuō)法中，正確的是( () )A A等腰三角形一邊上的中線(xiàn)也是這邊上的高等腰三角形一邊上的中線(xiàn)也是這邊上的高B B等腰三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離等腰三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等相等C C等邊三角形每條角平分線(xiàn)都平分對(duì)邊等邊三角形每條角平分線(xiàn)都平

16、分對(duì)邊D D直角三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半直角三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半C C 5 5如圖如圖1 11111，在，在RtRtABCABC中，中，C C9090，B B1515，DEDE是是ABAB的中垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)的中垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D D，交，交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，若若BEBE4 4，則，則ACAC_2 2 6 6在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)為在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)為a a，另一條邊長(zhǎng)為，另一條邊長(zhǎng)為2 2a a，那么它的三個(gè)內(nèi)角之比為，那么它的三個(gè)內(nèi)角之比為( () ) A A123 B123 B221 221 C C112 D112 D以上都不對(duì)以上都不對(duì)7 7如圖如

17、圖1 11010，ABCABC中，中，ACBACB9090，BABA的垂直平分的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)交CBCB邊于點(diǎn)邊于點(diǎn)D D，若，若ABAB1010，ACAC5 5，則圖中等于，則圖中等于6060的的角的個(gè)數(shù)為角的個(gè)數(shù)為( () ) A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5D D D D 圖圖1108 8、如圖、如圖BOPBOPAOPAOP1515，PCPCOBOB，PDPDPBPB于于D D，PCPC2 2，則，則PDPD的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為( () )A A4 B4 B3 C3 C2 D2 D1 1D DA 9、階段綜合測(cè)試一（月考）階段綜合測(cè)試一（月考）1010B B 小明原有小明原有6060元，如圖元，如圖YK1YK14 4記錄記錄了他今天所有支出，其中餅干支了他今天所有支出，其中餅干支出的金額被涂黑若每包餅干的出的金額被涂黑若每包餅干的售價(jià)為售價(jià)為6