數(shù)學(xué)建模課件向量矩陣運(yùn)算

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)向量與矩陣運(yùn)算q 向量與矩陣的生成向量與矩陣的生成向量與矩陣運(yùn)算向量與矩陣運(yùn)算u 向量的生成向量的生成 直接輸入直接輸入: a=1,2,3,4 冒號(hào)冒號(hào)運(yùn)運(yùn)算符算符a=1:4 = = a=1, 2, 3, 4b=0:pi/3:pi = b=0, 1.0472, 2.0944, 3.1416c=6:-2:0 = c = 6, 4, 2, 0例例： 從矩陣中抽取行或列從矩陣中抽取行或列q 向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣運(yùn)算向量與矩陣運(yùn)算u 矩陣的生成矩陣的生成 直接輸入直接輸入: A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 由向量生成由向量生成 由函數(shù)生

2、成由函數(shù)生成 通過(guò)編寫(xiě)通過(guò)編寫(xiě)m文件生成文件生成例例： x=1,2,3;y=2,3,4; A=x,y, B=x;y例例： C=magic(3)常見(jiàn)矩陣生成函數(shù)常見(jiàn)矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個(gè)生成一個(gè) m 行行 n 列的零矩陣，列的零矩陣，m=n 時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為 zeros(n)ones(m,n)生成一個(gè)生成一個(gè) m 行行 n 列的元素全為列的元素全為 1 的矩陣的矩陣, m=n 時(shí)可寫(xiě)為時(shí)可寫(xiě)為 ones(n)eye(m,n)生成一個(gè)主對(duì)角線全為生成一個(gè)主對(duì)角線全為 1 的的 m 行行 n 列矩陣列矩陣, m=n 時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為 eye(n)，即為即為 n 維單位矩陣維

3、單位矩陣diag(X)若若 X 是矩陣，則是矩陣，則 diag(X) 為為 X 的主對(duì)角線向量的主對(duì)角線向量若若 X 是向量，是向量，diag(X) 產(chǎn)生以產(chǎn)生以 X 為主對(duì)角線的對(duì)角矩陣為主對(duì)角線的對(duì)角矩陣tril(A)提取一個(gè)矩陣的下三角部分提取一個(gè)矩陣的下三角部分triu(A)提取一個(gè)矩陣的上三角部分提取一個(gè)矩陣的上三角部分rand(m,n)產(chǎn)生產(chǎn)生 01 間均勻分布的隨機(jī)矩陣間均勻分布的隨機(jī)矩陣 m=n 時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為 rand(n)randn(m,n)產(chǎn)生均值為產(chǎn)生均值為0，方差為，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣m=n 時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為 randn(n)其它特

4、殊矩陣生成函數(shù)：其它特殊矩陣生成函數(shù)：magic、hilb、pascal矩陣操作矩陣操作q 提取矩陣的部分元素：提取矩陣的部分元素： 冒號(hào)運(yùn)算符冒號(hào)運(yùn)算符u A(:) A的所有元素的所有元素u A(:,:) 二維矩陣二維矩陣A的所有元素的所有元素u A(:,k) A的第的第 k 列，列， A(k,:) A的第的第 k 行行 u A(k:m) A的第的第 k 到第到第 m 個(gè)元素個(gè)元素u A(:,k:m) A的第的第 k 到第到第 m 列組成的子矩陣列組成的子矩陣A(:) 與與 A(:,:) 的區(qū)別的區(qū)別 ?如何獲得由如何獲得由 A 的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？的第一、三行和第一、二列

5、組成的子矩陣？自己動(dòng)手矩陣操作矩陣操作q 矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)u fliplr(A) 左右旋轉(zhuǎn)左右旋轉(zhuǎn)u flipud(A) 上下旋轉(zhuǎn)上下旋轉(zhuǎn)u rot90(A) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度；度； rot90(A,k) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) k90 度度例例： A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A), E=rot90(A,-1)矩陣操作矩陣操作q 矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置u 共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置u . 轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛例例： A=1 2;2i 3i B=A C=A.點(diǎn)與單引號(hào)之間不能有空格點(diǎn)與

6、單引號(hào)之間不能有空格！矩陣操作矩陣操作q 改變矩陣的形狀：改變矩陣的形狀：reshapereshape(A,m,n): 將矩陣元素按將矩陣元素按 列方向列方向 進(jìn)行重組進(jìn)行重組重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù)重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù)必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等！ 矩陣操作矩陣操作q 查看矩陣的大小：查看矩陣的大?。簊izeu size(A) 列出矩陣列出矩陣 A 的的行數(shù)和列數(shù)行數(shù)和列數(shù)u size(A,1) 返回矩陣返回矩陣 A 的的行數(shù)行數(shù)u size(A,2) 返回矩陣返回矩陣 A 的的列列數(shù)數(shù)例例： A=1 2 3; 4 5 6 size(A) size(A,1)

7、size(A,2)u length(x) 返回返回向量向量 X 的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度u length(A) 等價(jià)于等價(jià)于 max(size(A)矩陣基本運(yùn)算矩陣基本運(yùn)算q 矩陣的加減矩陣的加減：對(duì)應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算對(duì)應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有 相同的維數(shù)相同的維數(shù)例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4 C=A+B; D=A-B;q 矩陣的普通乘法矩陣的普通乘法要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的的原則原則例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=2 1; 3 4; C=A*B矩陣基本運(yùn)算矩

8、陣基本運(yùn)算q 矩陣的矩陣的除法除法：/、 右除和左除右除和左除 若 A 可逆方陣，則AB A 的逆左乘的逆左乘 B = inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=AB A*X=BX=B/A X*A=B 通常，矩陣除法可以理解為 當(dāng)當(dāng) A 和和 B 行數(shù)相等行數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行時(shí)即可進(jìn)行左除左除 當(dāng)當(dāng) A 和和 B 列數(shù)相等列數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行時(shí)即可進(jìn)行右除右除矩陣的乘方矩陣的乘方u A 是方陣，p 是正整數(shù)Ap 表示 A 的 p 次冪，即 p 個(gè) A 相乘。 u 若 A 是方陣，p 不是正整數(shù) Ap 的計(jì)算涉及到的計(jì)算涉及到 A 的特征值分解，即若的特征值分解，即若 A

9、 = V*D*V-1 則 Ap=V*(D.p)/V矩陣的乘方矩陣的乘方u 若 a 是標(biāo)量，A 是方陣，且 V,D = eig(A)，則 aA V*(aD)/Vu 若 A, P 均是矩陣，則 AP 無(wú)定義u 若 a 是標(biāo)量， ndddD00000021ndadadaDa00000021則矩陣的矩陣的 Kronecker 乘乘積積q 矩陣矩陣 Kronecker 乘積乘積的定義的定義 設(shè)A是nm矩陣，B是pq矩陣，則A與B的kronecker乘積為：mmnnnma Ba BaBa Ba BaBCABa Ba BaB111212122212q Kronecker 乘積乘積的性質(zhì)的性質(zhì)u 是是 npm

10、q 矩陣；矩陣；通常通常BAABBAu 任何兩個(gè)矩陣都有任何兩個(gè)矩陣都有 Kronecker 乘積乘積 u Matlab 中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣 Kronecker 相乘的函數(shù)為相乘的函數(shù)為kron(A,B)Kronecker乘積有時(shí)也稱張量積乘積有時(shí)也稱張量積矩陣的數(shù)組運(yùn)算矩陣的數(shù)組運(yùn)算q 數(shù)組運(yùn)算：數(shù)組運(yùn)算：對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算點(diǎn)與算術(shù)運(yùn)算符之間不能有空格！u 數(shù)組運(yùn)算包括：數(shù)組運(yùn)算包括：點(diǎn)乘點(diǎn)乘、點(diǎn)除點(diǎn)除、點(diǎn)冪點(diǎn)冪u 相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為：相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為： “.* ” ， “./ ” ， “. ” 和和“ . ”參與運(yùn)算的對(duì)象必須具有相同的形狀！參與運(yùn)算的對(duì)象必須具有相同的形狀！例例

11、： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4; C=A.*B; D=A./B; E=A.B; F=A.B;函數(shù)取值函數(shù)取值設(shè)設(shè) x 是變量，是變量， f 是一個(gè)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)u 當(dāng)當(dāng) x = a 是標(biāo)量時(shí)，是標(biāo)量時(shí)，f(x) = f(a)也是一個(gè)標(biāo)量也是一個(gè)標(biāo)量u 當(dāng)當(dāng) x = a, b, , c 是向量時(shí)，是向量時(shí)，f(x)= f(a), f(b), , f(c)q 函數(shù)作用在矩陣上的取值函數(shù)作用在矩陣上的取值u 若若 A 是矩陣，則是矩陣，則 f(A) 是一個(gè)與是一個(gè)與 A 同形狀的矩陣同形狀的矩陣 f 作用在作用在 x 的的每個(gè)分量上每個(gè)分量上函數(shù)取值函數(shù)取值怎樣計(jì)算

12、怎樣計(jì)算 eA ?例例： x=0:pi/4:pi; A=1 2 3; 4 5 6; y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A);)exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp(212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA例例：矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)q Matlab 提供了三種矩陣函數(shù)：expm、sqrtm、logm詳情參見(jiàn)聯(lián)機(jī)幫助（詳情參見(jiàn)聯(lián)機(jī)幫助（help expm / sqrtm / logm ）q 更一般的矩陣函數(shù)： funmu funm(A,fun)參數(shù)參數(shù) fun 的可以是的可以是 exp,，

13、log，cos，sin，cosh，sinh 矩陣與數(shù)的運(yùn)算矩陣與數(shù)的運(yùn)算q 加減加減：矩陣的每個(gè)元素都與數(shù)作加減運(yùn)算矩陣的每個(gè)元素都與數(shù)作加減運(yùn)算q 數(shù)乘數(shù)乘：矩陣的每個(gè)元素都與數(shù)作乘法運(yùn)算矩陣的每個(gè)元素都與數(shù)作乘法運(yùn)算q 矩陣除以一個(gè)數(shù)矩陣除以一個(gè)數(shù)：每個(gè)元素都除以這個(gè)數(shù)每個(gè)元素都除以這個(gè)數(shù)q 點(diǎn)冪點(diǎn)冪：l 底為矩陣，指數(shù)為標(biāo)量l 底為標(biāo)量，指數(shù)為矩陣數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪x.y =14,25,36=1,32,729 x.2 =12,22,32=1,4,9 2 .x = ? 例例：x=1 2 3; y=4 5 6;2 .x;y= ?Matlab中的所有中的所有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須在標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須

14、在英文狀態(tài)下輸入英文狀態(tài)下輸入Matlab中常見(jiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)中常見(jiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、det、inv、eig、rank、 log 是自然對(duì)數(shù)，即以是自然對(duì)數(shù)，即以 e 為底數(shù)為底數(shù) mod(x,y) 結(jié)果與結(jié)果與 y 同號(hào)，同號(hào)，rem(x,y) 則與則與 x 同號(hào)同號(hào) max 等函數(shù)的參數(shù)是矩陣時(shí)，是作用在矩陣各列上等函數(shù)的參數(shù)是矩陣時(shí)，是作用在矩陣各列上上機(jī)作業(yè)上機(jī)作業(yè)1. 試分別生成試分別生成 5 階的單位陣、階的單位陣、8 階均勻分布的隨機(jī)矩陣階均勻分布的隨機(jī)矩陣及其下三角矩陣及其下三角矩陣2. 生產(chǎn)列向量生產(chǎn)列向量 x=1, 3, 5, 7, 9, , 293. 生成以生成以 x 的前的前 5 個(gè)元素為對(duì)角線的矩陣個(gè)元素為對(duì)角