數(shù)學建模課件向量矩陣運算

1、數(shù)學實驗向量與矩陣運算q 向量與矩陣的生成向量與矩陣的生成向量與矩陣運算向量與矩陣運算u 向量的生成向量的生成 直接輸入直接輸入: a=1,2,3,4 冒號冒號運運算符算符a=1:4 = = a=1, 2, 3, 4b=0:pi/3:pi = b=0, 1.0472, 2.0944, 3.1416c=6:-2:0 = c = 6, 4, 2, 0例例： 從矩陣中抽取行或列從矩陣中抽取行或列q 向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣運算向量與矩陣運算u 矩陣的生成矩陣的生成 直接輸入直接輸入: A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 由向量生成由向量生成 由函數(shù)生

2、成由函數(shù)生成 通過編寫通過編寫m文件生成文件生成例例： x=1,2,3;y=2,3,4; A=x,y, B=x;y例例： C=magic(3)常見矩陣生成函數(shù)常見矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個生成一個 m 行行 n 列的零矩陣，列的零矩陣，m=n 時可簡寫為時可簡寫為 zeros(n)ones(m,n)生成一個生成一個 m 行行 n 列的元素全為列的元素全為 1 的矩陣的矩陣, m=n 時可寫為時可寫為 ones(n)eye(m,n)生成一個主對角線全為生成一個主對角線全為 1 的的 m 行行 n 列矩陣列矩陣, m=n 時可簡寫為時可簡寫為 eye(n)，即為即為 n 維單位矩陣維

3、單位矩陣diag(X)若若 X 是矩陣，則是矩陣，則 diag(X) 為為 X 的主對角線向量的主對角線向量若若 X 是向量，是向量，diag(X) 產(chǎn)生以產(chǎn)生以 X 為主對角線的對角矩陣為主對角線的對角矩陣tril(A)提取一個矩陣的下三角部分提取一個矩陣的下三角部分triu(A)提取一個矩陣的上三角部分提取一個矩陣的上三角部分rand(m,n)產(chǎn)生產(chǎn)生 01 間均勻分布的隨機矩陣間均勻分布的隨機矩陣 m=n 時簡寫為時簡寫為 rand(n)randn(m,n)產(chǎn)生均值為產(chǎn)生均值為0，方差為，方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣的標準正態(tài)分布隨機矩陣m=n 時簡寫為時簡寫為 randn(n)其它特

4、殊矩陣生成函數(shù)：其它特殊矩陣生成函數(shù)：magic、hilb、pascal矩陣操作矩陣操作q 提取矩陣的部分元素：提取矩陣的部分元素： 冒號運算符冒號運算符u A(:) A的所有元素的所有元素u A(:,:) 二維矩陣二維矩陣A的所有元素的所有元素u A(:,k) A的第的第 k 列，列， A(k,:) A的第的第 k 行行 u A(k:m) A的第的第 k 到第到第 m 個元素個元素u A(:,k:m) A的第的第 k 到第到第 m 列組成的子矩陣列組成的子矩陣A(:) 與與 A(:,:) 的區(qū)別的區(qū)別 ?如何獲得由如何獲得由 A 的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？的第一、三行和第一、二列

5、組成的子矩陣？自己動手矩陣操作矩陣操作q 矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)u fliplr(A) 左右旋轉(zhuǎn)左右旋轉(zhuǎn)u flipud(A) 上下旋轉(zhuǎn)上下旋轉(zhuǎn)u rot90(A) 逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 90 度；度； rot90(A,k) 逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) k90 度度例例： A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A), E=rot90(A,-1)矩陣操作矩陣操作q 矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置u 共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置u . 轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛例例： A=1 2;2i 3i B=A C=A.點與單引號之間不能有空格點與

6、單引號之間不能有空格！矩陣操作矩陣操作q 改變矩陣的形狀：改變矩陣的形狀：reshapereshape(A,m,n): 將矩陣元素按將矩陣元素按 列方向列方向 進行重組進行重組重組后得到的新矩陣的元素個數(shù)重組后得到的新矩陣的元素個數(shù)必須與原矩陣元素個數(shù)相等必須與原矩陣元素個數(shù)相等！ 矩陣操作矩陣操作q 查看矩陣的大小：查看矩陣的大?。簊izeu size(A) 列出矩陣列出矩陣 A 的的行數(shù)和列數(shù)行數(shù)和列數(shù)u size(A,1) 返回矩陣返回矩陣 A 的的行數(shù)行數(shù)u size(A,2) 返回矩陣返回矩陣 A 的的列列數(shù)數(shù)例例： A=1 2 3; 4 5 6 size(A) size(A,1)

7、size(A,2)u length(x) 返回返回向量向量 X 的的長度長度u length(A) 等價于等價于 max(size(A)矩陣基本運算矩陣基本運算q 矩陣的加減矩陣的加減：對應分量進行運算對應分量進行運算要求參與加減運算的矩陣具有要求參與加減運算的矩陣具有 相同的維數(shù)相同的維數(shù)例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4 C=A+B; D=A-B;q 矩陣的普通乘法矩陣的普通乘法要求參與運算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘要求參與運算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的的原則原則例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=2 1; 3 4; C=A*B矩陣基本運算矩

8、陣基本運算q 矩陣的矩陣的除法除法：/、 右除和左除右除和左除 若 A 可逆方陣，則AB A 的逆左乘的逆左乘 B = inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=AB A*X=BX=B/A X*A=B 通常，矩陣除法可以理解為 當當 A 和和 B 行數(shù)相等行數(shù)相等時即可進行時即可進行左除左除 當當 A 和和 B 列數(shù)相等列數(shù)相等時即可進行時即可進行右除右除矩陣的乘方矩陣的乘方u A 是方陣，p 是正整數(shù)Ap 表示 A 的 p 次冪，即 p 個 A 相乘。 u 若 A 是方陣，p 不是正整數(shù) Ap 的計算涉及到的計算涉及到 A 的特征值分解，即若的特征值分解，即若 A

9、 = V*D*V-1 則 Ap=V*(D.p)/V矩陣的乘方矩陣的乘方u 若 a 是標量，A 是方陣，且 V,D = eig(A)，則 aA V*(aD)/Vu 若 A, P 均是矩陣，則 AP 無定義u 若 a 是標量， ndddD00000021ndadadaDa00000021則矩陣的矩陣的 Kronecker 乘乘積積q 矩陣矩陣 Kronecker 乘積乘積的定義的定義 設A是nm矩陣，B是pq矩陣，則A與B的kronecker乘積為：mmnnnma Ba BaBa Ba BaBCABa Ba BaB111212122212q Kronecker 乘積乘積的性質(zhì)的性質(zhì)u 是是 npm

10、q 矩陣；矩陣；通常通常BAABBAu 任何兩個矩陣都有任何兩個矩陣都有 Kronecker 乘積乘積 u Matlab 中實現(xiàn)兩個矩陣中實現(xiàn)兩個矩陣 Kronecker 相乘的函數(shù)為相乘的函數(shù)為kron(A,B)Kronecker乘積有時也稱張量積乘積有時也稱張量積矩陣的數(shù)組運算矩陣的數(shù)組運算q 數(shù)組運算：數(shù)組運算：對應元素進行運算點與算術運算符之間不能有空格！u 數(shù)組運算包括：數(shù)組運算包括：點乘點乘、點除點除、點冪點冪u 相應的數(shù)組運算符為：相應的數(shù)組運算符為： “.* ” ， “./ ” ， “. ” 和和“ . ”參與運算的對象必須具有相同的形狀！參與運算的對象必須具有相同的形狀！例例

11、： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4; C=A.*B; D=A./B; E=A.B; F=A.B;函數(shù)取值函數(shù)取值設設 x 是變量，是變量， f 是一個函數(shù)是一個函數(shù)u 當當 x = a 是標量時，是標量時，f(x) = f(a)也是一個標量也是一個標量u 當當 x = a, b, , c 是向量時，是向量時，f(x)= f(a), f(b), , f(c)q 函數(shù)作用在矩陣上的取值函數(shù)作用在矩陣上的取值u 若若 A 是矩陣，則是矩陣，則 f(A) 是一個與是一個與 A 同形狀的矩陣同形狀的矩陣 f 作用在作用在 x 的的每個分量上每個分量上函數(shù)取值函數(shù)取值怎樣計算

12、怎樣計算 eA ?例例： x=0:pi/4:pi; A=1 2 3; 4 5 6; y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A);)exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp()exp(212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA例例：矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)q Matlab 提供了三種矩陣函數(shù)：expm、sqrtm、logm詳情參見聯(lián)機幫助（詳情參見聯(lián)機幫助（help expm / sqrtm / logm ）q 更一般的矩陣函數(shù)： funmu funm(A,fun)參數(shù)參數(shù) fun 的可以是的可以是 exp,，

13、log，cos，sin，cosh，sinh 矩陣與數(shù)的運算矩陣與數(shù)的運算q 加減加減：矩陣的每個元素都與數(shù)作加減運算矩陣的每個元素都與數(shù)作加減運算q 數(shù)乘數(shù)乘：矩陣的每個元素都與數(shù)作乘法運算矩陣的每個元素都與數(shù)作乘法運算q 矩陣除以一個數(shù)矩陣除以一個數(shù)：每個元素都除以這個數(shù)每個元素都除以這個數(shù)q 點冪點冪：l 底為矩陣，指數(shù)為標量l 底為標量，指數(shù)為矩陣數(shù)與數(shù)組的點冪數(shù)與數(shù)組的點冪x.y =14,25,36=1,32,729 x.2 =12,22,32=1,4,9 2 .x = ? 例例：x=1 2 3; y=4 5 6;2 .x;y= ?Matlab中的所有中的所有標點符號必須在標點符號必須

14、在英文狀態(tài)下輸入英文狀態(tài)下輸入Matlab中常見數(shù)學函數(shù)中常見數(shù)學函數(shù)sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、det、inv、eig、rank、 log 是自然對數(shù)，即以是自然對數(shù)，即以 e 為底數(shù)為底數(shù) mod(x,y) 結(jié)果與結(jié)果與 y 同號，同號，rem(x,y) 則與則與 x 同號同號 max 等函數(shù)的參數(shù)是矩陣時，是作用在矩陣各列上等函數(shù)的參數(shù)是矩陣時，是作用在矩陣各列上上機作業(yè)上機作業(yè)1. 試分別生成試分別生成 5 階的單位陣、階的單位陣、8 階均勻分布的隨機矩陣階均勻分布的隨機矩陣及其下三角矩陣及其下三角矩陣2. 生產(chǎn)列向量生產(chǎn)列向量 x=1, 3, 5, 7, 9, , 293. 生成以生成以 x 的前的前 5 個元素為對角線的矩陣個元素為對角