數(shù)模(差分方程模型)1.ppt

1、重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模電子教案數(shù)學(xué)建模電子教案重慶郵電大學(xué)重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)理學(xué)院沈世云沈世云023-重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模差分方程模型差分方程模型重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院沈世云重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模7.1 差分方程基本知識差分方程基本知識7.2 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型7.3 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動7.4 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型7.5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長第七章第七章 差分方程模型差

2、分方程模型重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模7.1 差分方程基本知識差分方程基本知識 1、差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個(gè)或幾個(gè)離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵

3、電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模Fibonacci 數(shù)列數(shù)列 13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家Fibonacci在他的著作在他的著作算盤書算盤書中記載著這樣一個(gè)有趣的問題：中記載著這樣一個(gè)有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個(gè)月后可以繁殖出一對幼兔個(gè)月后可以繁殖出一對幼兔. 若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問一年之若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？后共有多少對兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數(shù)總數(shù)

4、1 1 2 3 5 8 13 21 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 將兔群總數(shù)記為將兔群總數(shù)記為 fn, n=0,1,2,，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列fn滿足下列遞推關(guān)系：滿足下列遞推關(guān)系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 這個(gè)數(shù)列稱為這個(gè)數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列數(shù)列. Fibonacci數(shù)列是一個(gè)十分有趣數(shù)列是一個(gè)十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用. Fibonacci數(shù)列的一些實(shí)例數(shù)列的一些實(shí)例. 1. 蜜蜂的家譜蜜

5、蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝樹的分枝 4. 楊輝三角形楊輝三角形重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型 假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)1000元的存款賬戶，銀行的年利元的存款賬戶，銀行的年利率為率為7%. 用用an表示表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設(shè)設(shè)r為年利率，由于為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數(shù)學(xué)模型

6、因此存款問題的數(shù)學(xué)模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 從從1994年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度. 為了保障子女為了保障子女將來的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開始，每年向?qū)淼慕逃M(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開始，每年向銀行存入銀行存入x元作為家庭教育基金元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為若銀行的年利率為r，試寫出第，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式年后教育基金總額的表達(dá)式. 預(yù)計(jì)當(dāng)子女預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時(shí)所需的歲入大學(xué)時(shí)所需

7、的費(fèi)用為費(fèi)用為100000元，按年利率元，按年利率3%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元入多少元? 設(shè)設(shè)n年后教育基金總額為年后教育基金總額為an，每年向銀行存入，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為：率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元萬元. 他們已經(jīng)籌他們已經(jīng)籌集集10萬元，另外萬元，另外20萬元申請抵押

8、貸款萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為若貸款月利率為0.6%，還貸期限為還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設(shè)貸款額為設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為，每月還貸額為x，月利率為，月利率為r，第，第n個(gè)月后的欠個(gè)月后的欠款額為款額為an，則，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 在上述模型中，給出了在上述模型中，給出了an+1與與an之間的遞推公式之間的遞推公式. 將它們寫成將它們寫成統(tǒng)一的形式：統(tǒng)一的

9、形式： a0=c, an+1= an+b, n=0,1,2,3,稱此類遞推關(guān)系為稱此類遞推關(guān)系為. 當(dāng)當(dāng)b=0時(shí)稱為齊次差分方時(shí)稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程程，否則稱為非齊次差分方程. 對任意數(shù)列對任意數(shù)列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定義如下：定義如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 對數(shù)列對數(shù)列A=a1,a2,an,，其一階差分的差分稱為二，其一階差分的差分稱為二階差分階差分, 記為記為 2A= ( A). 即：即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可

10、以定義一般地，可以定義n階差分階差分.重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 一階線性差分方程一階線性差分方程 an+1= an+b 的通解是：的通解是： 對一階線性差分方程對一階線性差分方程 an+1= an+b, 若若 | |1, 則則 an逐漸遠(yuǎn)離平衡解逐漸遠(yuǎn)離平衡解 b/(1- ) (發(fā)散型不動點(diǎn)發(fā)散型不動點(diǎn)). 1,1, 1,bccnbann重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模0)(.)()(110tnntntxtaxtaxta則被稱為方程對應(yīng)的則被稱為方程對應(yīng)的 齊次線性差分方程齊次線性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t

11、)均為與均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為無關(guān)的常數(shù)，則稱其為 常系數(shù)差分常系數(shù)差分方程方程，即，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成階常系數(shù)線性差分方程可分成)(.110tbxaxaxatntntn（7.1） 的形式，其對應(yīng)的齊次方程為的形式，其對應(yīng)的齊次方程為0.110tntntnxaxaxa（7.2） )2(2)1(1tttxcxcx)1(tx)2(tx容易證明，若序列容易證明，若序列與與均為方程（均為方程（7.2）的解，則）的解，則也是方程（也是方程（7.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2為任意常數(shù)，這說明，為任意常數(shù)，這說明，齊次方程的解構(gòu)成一個(gè)齊次方程的解構(gòu)成一個(gè) 線性空間線性空間（解空間

12、）。（解空間）。 此規(guī)律對于（此規(guī)律對于（7.1）也成立。）也成立。重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 方程（方程（7.1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一步一）先求解對應(yīng)的特征方程）先求解對應(yīng)的特征方程 0.110nnnaaa （7.3） （步二步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方 程程(7.2）的通解的通解 情況情況1 若特征方程（若特征方程（7.3）有）有n個(gè)互不相同的實(shí)根個(gè)互不相同的實(shí)根1 , n ，則齊次方程（，則齊次方程（7.2）的通解為）的通解為tnntCC.11 (C1,Cn為任意常

13、數(shù)為任意常數(shù))，iC情況情況2 若若 是特征方程（是特征方程（7.3）的）的k重根，通解中對應(yīng)重根，通解中對應(yīng) 于于的項(xiàng)為的項(xiàng)為tkktCC )(11 為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，i=1,k。情況情況3 若特征方程（若特征方程（7.3）有單重復(fù)根）有單重復(fù)根 ia 通解中對應(yīng)它們的項(xiàng)為通解中對應(yīng)它們的項(xiàng)為 tttt sinCcosC21 22 為為的模，的模， arctan 為為的幅角。的幅角。 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模情況情況4 若若ia 為特征方程（為特征方程（7.3）的）的k重復(fù)根，則通重復(fù)根，則通 解對應(yīng)于它們的項(xiàng)為解對應(yīng)于它們的項(xiàng)為tttttkt

14、k sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，i=1,2k。 ty .若若yt為方程為方程(7.2)的的通解通解,則非齊次方程則非齊次方程 (7.1)的通解為的通解為（步三步三） 求非齊次方程求非齊次方程 (7.1)的一個(gè)特解的一個(gè)特解ttyy 求非齊次方程（求非齊次方程（7.1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常數(shù)變易法常數(shù)變易法，計(jì)算較繁。，計(jì)算較繁。對特殊形式對特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系數(shù)法系數(shù)法。 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模0)(6) 1(5) 2(nynyny初始條件為初始條件為y(0

15、)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齊次解。，求方程的齊次解。例例2.系統(tǒng)的差分方程系統(tǒng)的差分方程特征根為特征根為. 3, 221nnhCCny) 3()2()(21于是于是由初始條件由初始條件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齊次解故齊次解nnhny3)2( 3)(0) 3)(2(652解：特征方程為解：特征方程為重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模2 2、特解、特解 特解得求法：將激勵特解得求法：將激勵x(nx(n) )代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到自由項(xiàng)，特解的形式與自由項(xiàng)及特征根的形式有

16、關(guān)。自由項(xiàng)，特解的形式與自由項(xiàng)及特征根的形式有關(guān)。（1 1）自由項(xiàng)為）自由項(xiàng)為n nk k的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式1 1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1 1是是K K重特征根：重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（2 2）自由項(xiàng)為）自由項(xiàng)為na 不是特征根，不是特征根，則特解則特解anpDany)( 是特征單根，是特征單根，則特解則特解anpaDnDny)()(21 是是k k重特征根，重特征根，則特解則特解ankkkpaDnDnDny)()(1121重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課

17、程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（3 3）自由項(xiàng)為正弦）自由項(xiàng)為正弦 或余弦或余弦 表達(dá)式表達(dá)式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4 4）自由項(xiàng)為正弦）自由項(xiàng)為正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模例例3 3： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解) 1()() 1(2)(nxnxnyny其中激勵函數(shù)其中激勵函數(shù) ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程

18、：解：特征方程：02 2齊次通解：齊次通解：nc)2(將將 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx設(shè)特解為設(shè)特解為 形式，代入方程得形式，代入方程得21DnD重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型 假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)1000元的存款賬戶，銀行的年利元的存款賬戶，銀行的年利率為率為7%. 用用an表示表示n年后你賬

19、戶上的存款額，那么下面的數(shù)列年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設(shè)設(shè)r為年利率，由于為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數(shù)學(xué)模型因此存款問題的數(shù)學(xué)模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 從從1994年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度. 為了保障子女為了保障子女將來的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開始，每年向?qū)淼慕逃M(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生

20、時(shí)開始，每年向銀行存入銀行存入x元作為家庭教育基金元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為若銀行的年利率為r，試寫出第，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式年后教育基金總額的表達(dá)式. 預(yù)計(jì)當(dāng)子女預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時(shí)所需的歲入大學(xué)時(shí)所需的費(fèi)用為費(fèi)用為100000元，按年利率元，按年利率3%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元入多少元? 設(shè)設(shè)n年后教育基金總額為年后教育基金總額為an，每年向銀行存入，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為：率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n

21、=0,1,2,3,重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 由由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解得通解: 將將 a0=x, =1+r, b=x 代入代入, 得得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1 (,1)1 (11 將將 a18=100000,r=0.03 代入計(jì)算出代入計(jì)算出 x=3981.39.重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元萬元. 他們已經(jīng)籌

22、他們已經(jīng)籌集集10萬元，另外萬元，另外20萬元申請抵押貸款萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為若貸款月利率為0.6%，還貸期限為還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設(shè)貸款額為設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為，每月還貸額為x，月利率為，月利率為r，第，第n個(gè)月后的欠個(gè)月后的欠款額為款額為an，則，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 由由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,

23、2,3,將將 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1 ()1 (0 若在第若在第N個(gè)月還清貸款，令個(gè)月還清貸款，令 aN=0, 得得:1)1 ()1 (0NNrrrax 將將 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入計(jì)算出代入計(jì)算出 x=1574.70重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 小王看到一則廣告：商場對電腦實(shí)行分期付款銷售小王看到一則廣告：商場對電腦實(shí)行分期付款銷售. 一臺售一臺售價(jià)價(jià)8000元的電腦，可分元的電腦，可分36個(gè)月付款，每月付個(gè)月付款，每月付300元即可元即可. 同

24、時(shí)他同時(shí)他收到了銀行提供消費(fèi)貸款的消息：收到了銀行提供消費(fèi)貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三元以下的貸款，可在三年內(nèi)還清，年利率為年內(nèi)還清，年利率為15%. 那么，他買電腦應(yīng)該向銀行貸款，還那么，他買電腦應(yīng)該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？ 經(jīng)過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同經(jīng)過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同. 設(shè)第設(shè)第n個(gè)月后個(gè)月后的欠款額為的欠款額為an，則，則 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 貸款模型貸款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,重慶郵電

25、大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模7.2 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)

26、量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模xy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定

27、平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)

28、模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對需求的敏感程度消費(fèi)者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋重慶郵電

29、大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定

30、下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即

31、平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模1、問題的分析問題的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切相關(guān)，因?yàn)槁沟纳芷跒橐荒?，即一歲以上的母鹿相關(guān)，因?yàn)槁沟纳芷跒橐荒辏匆粴q以上的母鹿可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以下的為可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以

32、下的為幼鹿，其余的為成年鹿。根據(jù)這樣的分組，一年以后幼鹿，其余的為成年鹿。根據(jù)這樣的分組，一年以后存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構(gòu)成新存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構(gòu)成新的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時(shí)間間隔取的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時(shí)間間隔取為一年。為一年。2、模型假設(shè)、模型假設(shè)）動物的數(shù)量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。）動物的數(shù)量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。 ）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿組，其余為成年鹿組。組，其余為成年鹿組。 7.3 簡單的鹿群增長問題簡單的鹿群增長問題重慶郵電大學(xué)

33、市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 ）把時(shí)間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡）把時(shí)間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式等每年重復(fù)發(fā)生。方式等每年重復(fù)發(fā)生。 ）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時(shí)間段內(nèi)，種群的增長幾）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時(shí)間段內(nèi)，種群的增長幾乎不受自然資源的制約。乎不受自然資源的制約。 ）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。）鹿的生育數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。）鹿的生育數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。3、模型的建立與求解、模型的建立與求解分別以分別以nx和和ny表示第表示第n年幼鹿和

34、成年鹿的數(shù)量。年幼鹿和成年鹿的數(shù)量。 一年后，幼鹿存活的數(shù)量與一年后，幼鹿存活的數(shù)量與nx之比叫做幼鹿的存活率。之比叫做幼鹿的存活率。 由假設(shè)，每年的存活率是一常數(shù)，分別以由假設(shè)，每年的存活率是一常數(shù)，分別以1b和和2b表示幼鹿和成年鹿的存活率。表示幼鹿和成年鹿的存活率。 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 因?yàn)槟觊L的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有生因?yàn)槟觊L的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有生育能力。根據(jù)假設(shè)，生育率也是常數(shù)，育能力。根據(jù)假設(shè)，生育率也是常數(shù)， 分別以1a和2a表示幼鹿和成年鹿的生育率。表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假設(shè)剛出生的幼鹿在哺乳

35、期的存活率為假設(shè)剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為s。一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數(shù)為一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數(shù)為nxa1 成年鹿可生育的幼鹿數(shù)為成年鹿可生育的幼鹿數(shù)為nya2 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率為s， 所以一年以后新的幼鹿數(shù)：所以一年以后新的幼鹿數(shù)： 11(asxnsyaxnn)2nnysaxa21 (7.2.1)一年以后，原來的幼鹿存活數(shù)為一年以后，原來的幼鹿存活數(shù)為nxb1 原來的成年鹿的存活數(shù)為原來的成年鹿的存活數(shù)為nyb2 所以新的成年鹿的數(shù)目是所以新的成年鹿的數(shù)目是nnnybxby211 (7.2.2)重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模

36、(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組：聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組： nnnnnnybxbyysaxsax211211 (7.2.3)或用矩陣表示為：或用矩陣表示為： 11nnyx2121bbsasannyx (7.2.4) 這是一個(gè)一步方程，令這是一個(gè)一步方程，令 nunnyx， A=2121bbsasa則則(7.2.4)式可表示為式可表示為 nnAuu1 (7.2.5) 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模于是可推出：于是可推出： 0uAunn或 nnyx=00yxAn n0 (7.2.6) 如果知道開始時(shí)幼鹿數(shù)量如果知道開始

37、時(shí)幼鹿數(shù)量0 x和成年鹿的數(shù)量和成年鹿的數(shù)量0y，由，由(7.2.6)可算出第可算出第n年的鹿的總數(shù)。年的鹿的總數(shù)。 為了給出解的一般表達(dá)式，先把矩陣為了給出解的一般表達(dá)式，先把矩陣A對角化：對角化： 令令 EA=0即即 02121bbsasa得特征方程：得特征方程：0)()(1221212babasbsa (7.2.7)重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模其判別式為其判別式為 )(4)(1221221babasbsa =122214)(asabsa 由于由于s,12,ba 都是大于零的，所以判別式都是大于零的，所以判別式 0，1和和2矩陣矩陣A可以對角化?？梢詫?/p>

38、角化。 特征方程特征方程(7.2.7)有兩個(gè)相異的實(shí)根有兩個(gè)相異的實(shí)根，這保證了，這保證了 對于特征根1，從下面的線性方程組，從下面的線性方程組 121211bbsasayx=00可解得特征向量可解得特征向量Tbb),(1211 同理可解得對應(yīng)于特征根同理可解得對應(yīng)于特征根2的特征向的特征向量量Tbb),(1222重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模所以可得矩陣 P112221bbbb 使得21100APPA112221bbbb21001112221bbbb即于是得 nA112221bbbbnn21001112221bbbb將上式代入(7.2.6)式00yxAnn

39、nyx=重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模nnyx=112221bbbbnn21001112221bbbb00yx記 21cc=1112221bbbb00yx (7.2.8)所以 nnyx=112221bbbbnn210021cc =nnnnbbbb2111222121)()(21cc 重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 由此可得： nnnnnnbcbcybcbcx21211122221211)()( n0 故解得：, 1, 1, 1)(, 1)(,322222231211113210322222223121, 12113210b

40、cbcyyyybcbcxxxx (7.2.9) 現(xiàn)在利用公式現(xiàn)在利用公式(7.2.9)對下面的一組數(shù)據(jù)對下面的一組數(shù)據(jù) 0 x0.8（千頭） 1a0.3 1b0.62 s0.8 0y1 （千頭） 2a1.5 2b0.75重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模計(jì)算今后6年鹿的總數(shù)。為此，將以上數(shù)據(jù)代入(7.2.7),解得39446. 1404458. 021將數(shù)據(jù)代入(7.2.8)得4798. 1133107. 021cc最后由(7.2.9)得011. 7,03. 5,602. 3,596. 2,829. 1,392. 1,621xxx746. 6,837. 4,47

41、1. 3,482. 2,798. 1,246. 1,621yyy重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 4、模型評價(jià)、模型評價(jià) 該模型的假設(shè)中，沒有考慮資源的制約，所以當(dāng)該模型的假設(shè)中，沒有考慮資源的制約，所以當(dāng)鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時(shí)，該模型失效。如果考慮鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時(shí)，該模型失效。如果考慮自然資源的制約，則模型假設(shè)中的第條不成立，這自然資源的制約，則模型假設(shè)中的第條不成立，這時(shí)生育率與食物的獲取有關(guān)。時(shí)生育率與食物的獲取有關(guān)。重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模7.4 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動背背景景 多數(shù)減肥

42、食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模模型假

43、設(shè)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當(dāng)于相當(dāng)于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于1000

44、0千卡。千卡。重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計(jì)劃。）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)

45、劃。）在不運(yùn)動的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡

46、 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動情況的兩

47、階段減肥計(jì)劃1)(1)1(kwkc10000mC重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模nnkwkw求，要求

48、已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運(yùn)動運(yùn)動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時(shí)或自行車小時(shí)或自行車10小時(shí)小時(shí)),

49、 14周即可。周即可。2）第二階段增加運(yùn)動的減肥計(jì)劃）第二階段增加運(yùn)動的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運(yùn)動每周運(yùn)動時(shí)間時(shí)間(小時(shí)小時(shí))()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模3）達(dá)到目標(biāo)體重）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案千克后維

50、持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運(yùn)動不運(yùn)動)(1680075028. 08000千卡C 運(yùn)動運(yùn)動(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與

51、與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分

52、方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識補(bǔ)充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

53、的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 2重慶郵電大學(xué)市級精品課程重慶郵電大學(xué)市級精品課程-數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模3)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1