浙江專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量復(fù)數(shù)5.3平面向量的數(shù)量積

1、（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 5.3 平面向量的數(shù)量積教師用書1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|·cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)e·

2、;aa·e|a|cos .(2)aba·b0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b|a|b|.特別地，a·a|a|2或|a|.(4)cos .(5)|a·b|a|b|.4平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·bb·a；(2)(a)·b(a·b)a·(b)(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)·ca·cb·c.5平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y

3、)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離AB|.(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a與b的夾角，則cos .【知識拓展】1兩個向量a，b的夾角為銳角a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角a·b<0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(ab)·(ab)a2b2.(2)(ab)2a22a·bb2.(3)(ab)2a22a·bb2.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶?/p>

4、號中打“”或“×”)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0.(×)(4)(a·b)ca(b·c)(×)(5)兩個向量的夾角的范圍是0，(×)1(教材改編)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k等于()A12 B6C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a·(2ab)0，得(2,1)·(5,2k)0，102k0，解得k12.2(20

5、16·臨安質(zhì)檢)已知向量a與b的夾角為30°，且|a|1，|2ab|1，則|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由題意可得a·b|b|cos 30°|b|,4a24a·bb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故選C.3(2016·溫州調(diào)研)若平面四邊形ABCD滿足0，()·0，則該四邊形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形答案C解析由0得平面四邊形ABCD是平行四邊形，由()·0得·0，故平行四邊形的對角線垂直，所以該四邊形一定是菱形，故選C.4(2016·北京)已知向量a

6、(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_答案解析設(shè)a與b的夾角為，則cos ，又因?yàn)?，所以.題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)(2016·天津)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為()A B.C. D.(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_答案(1)B(2)11解析(1) 如圖，由條件可知，所以·()·()2·2.因?yàn)锳BC是邊長為1的等邊三角形，所以|1，BAC60°，所以

7、83;.(2)方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值為1.方法二由圖知，無論E點(diǎn)在哪個位置，在方向上的投影都是CB1，·|·11，當(dāng)E運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC1，(·)max|·11.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求

8、解，即a·b|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解(1)(2016·全國丙卷)已知向量，則ABC等于()A30° B45° C60° D120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的值為_答案(1)A(2)解析(1)|1，|1，cosABC，又0°ABC180°

9、，ABC30°.(2)在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60°，CD1，······2×1×cos 60°2××12×cos 60°××12×cos 120°.題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1求向量的模例2(1)(2016·寧波模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC的中點(diǎn)，則|_.(2)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(

10、1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是_答案(1)2(2)1解析(1)因?yàn)?)(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22b·ab2)4×(32×2××cos 4)4，所以|2.(2)設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1，知(x3)2y21，即動點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)間距離的最大值圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.即|的最大值是1.命題點(diǎn)2求向量的夾角例3(1)已知單位向

11、量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_答案(1)(2)解析(1)因?yàn)閍2(3e12e2)292×3×2×12×cos 49，所以|a|3，因?yàn)閎2(3e1e2)292×3×1×12×cos 18，所以|b|2，又a·b(3e12e2)·(3e1e2)9e9e1·e22e99×1×1×28，所以cos .(

12、2)2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)·c0，即(2k3，6)·(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當(dāng)k時(shí)，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.思維升華平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.(1)(2015·湖北)已知向量，|3，則·

13、;_.(2)(2016·紹興二模)已知單位向量a和b滿足|ab|ab|，則a與b夾角的余弦值為()A BC. D.(3)在ABC中，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B2C. D6答案(1)9(2)C(3)C解析(1)因?yàn)?，所?#183;0.所以··()2·|20329.(2)由|a|b|1，|ab|ab|，得22a·b2(12a·b1)，即a·b，cosa，b.(3)·1，|·|·cos 120°1，即|·|2，|2|222·22|

14、·|2·6，|min.題型三平面向量與三角函數(shù)例4(2015·廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以m·ncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?<x<，所以<x<，所以x，即x.思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量

15、的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，則tan 的值為()A BC. D.(2)已知向量a(，)，ab，ab，若OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則OAB的面積為_答案(1)A(2)1解析(1)由題意知6sin2cos ·(5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20

16、，上述等式兩邊同時(shí)除以cos2，得6tan25tan 40，由于，則tan 0，解得tan ，故選A.(2)由題意得，|a|1，又OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以，|.由得(ab)·(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以a·b0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB××1.5利用數(shù)量積求向量夾角典例已知直線y2x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，直線外有兩個點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)求使向量與夾角為鈍角的充要條件錯解展示現(xiàn)場糾錯解錯解中，cos <0包含了，即，反向的情況，此時(shí)a1，故，夾角為鈍角的

17、充要條件是0<a<2且a1.糾錯心得利用數(shù)量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時(shí)，不要忽視兩向量共線的情況1(2016·北師大附中模擬)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，則ab的充要條件是()Ax Bx1Cx5 Dx0答案D2若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60°，則|ab|等于()A2 B2C4 D12答案B解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60°442×2×2×12，|ab|2.3(2016·山西四校聯(lián)考)已知平面向量a，b滿足a·(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a

18、與b夾角的正弦值為()A B C. D.答案D解析a·(ab)a2a·b222×1×cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b.4. 在ABC中，如圖，若|，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，則·等于()A. B. C. D.答案B解析若|，則222·222·，即有·0.又E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，則·()·()··22·×(14)0.故選B.5(2016·駐馬店質(zhì)檢)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足()&

19、#183;(2)0，則ABC的形狀為()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析因?yàn)?)·(2)0，即·()0，因?yàn)椋?)·()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故選C.*6.若ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，220，則在方向上的投影為()A4 B.C. D1答案C解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，OD，則由平面向量的加法的幾何意義得2.又由條件得，所以2，即4，所以A，O，D共線所以O(shè)ABC，所以CD為在方向上的投影因?yàn)閨4，所以|3，所以| .7(2016·紹興柯橋區(qū)二模)已知平行四邊形ABCD中，AC3，BD2，

20、則·_.答案解析ABCD中，|3，|2，()2()25，·.8在ABC中，·3，ABC的面積S，則與夾角的取值范圍是_答案，解析由三角形面積公式及已知條件知SABCAB·BCsin B，所以AB·BCsin B3，由·3，知AB·BCcos(B)3，所以AB·BC，代入得，3，所以1tan B，所以B，而與的夾角為B，其取值范圍為，9(2017·臨安中學(xué)調(diào)研)已知在直角三角形ABC中，ACB90°，ACBC2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則··_.答案4解析由題意可建立如圖所示的

21、坐標(biāo)系，可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，則···()224.10(2015·杭州模擬)已知，|，|t，若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則·的最大值等于_答案13解析建立如圖所示坐標(biāo)系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，··(1，t4)1717213.11在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且m·n.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由m·n，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因?yàn)?A，所以sin A .(2)