有標題 對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用本科生畢業(yè)論文(設(shè)計)題 目： 對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用學生姓名： 付 艷 學 號： 200810010212 指導教師： 鄒 慶 云 專業(yè)班級： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 完成時間： 2012年5月 15目 錄 0引言11主要結(jié)果2 1.1 對角占優(yōu)矩陣奇異性2 1.2對角占優(yōu)矩陣行列式3 1.3對角占優(yōu)矩陣其逆矩陣對角占優(yōu)性4 1.4對角占優(yōu)矩陣其他相關(guān)性質(zhì)5 1.5關(guān)于矩陣對角占優(yōu)性在矩陣分解方面的應(yīng)用9 1.6關(guān)于矩陣對角占優(yōu)性在利用迭代法解線性方程方面的應(yīng)用11結(jié)論14參考文獻14 致謝15 對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)學生：付艷指導教師：鄒慶云摘要

2、：本文根據(jù)嚴格對角占優(yōu)矩陣、不可約對角占優(yōu)等概念，討論了對角占優(yōu)矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用，而對角占優(yōu)矩陣有強、弱之分，本文主要以嚴格對角占優(yōu)矩陣為研究對象，適當?shù)慕o出了不可約對角占優(yōu)矩陣的一些性質(zhì)。本文主要研究了對角占優(yōu)矩陣的奇異性、行列式、特征值、以及其逆矩陣的對角占優(yōu)性，同時研究了矩陣對角占優(yōu)性在利用迭代法求解線性方程組，以及進行矩陣LU分解等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：對角占優(yōu)矩陣，奇異性，迭代收斂性，行列式，特征值。Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominantconce

3、pts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This

4、article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects o

5、f the application.Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.0 引言各類對角占優(yōu)矩陣是數(shù)值代數(shù)和矩陣分析研究中的重要課題之一，19世紀末，人們在研究行列式的性質(zhì)和值的計算時，就注意到“對角占優(yōu)”這一性質(zhì)，而對于對角占優(yōu)矩陣的一些性質(zhì)在數(shù)值計算、矩陣分解方面具有重要作用，因此，對對角占優(yōu)矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用的探討成為許多國內(nèi)外學者的主要研究課題。定義1 若是矩陣，且滿足 （），則稱為對角占優(yōu)矩陣（嚴格對角占優(yōu)矩陣）。定義2 設(shè)

6、階矩陣當時，若的惟一的元素不為0，則稱為不可約，否則稱為可約；當時，把正整數(shù)的全體記為N，若存在一個非空集合K，它是N的真子集合（即KN,但KN）使,當ik,jk.則稱為可約矩陣，否則稱為不可約矩陣。定義3 設(shè)階矩陣滿足下面三個條件： （1）為對角占優(yōu)矩陣， （2）為不可約矩陣， （3）嚴格不等式至少對一個下標成立，則稱為不可約對角占優(yōu)矩陣。1 主要結(jié)果1.1 關(guān)于對角占優(yōu)矩陣奇異性研究定理1 為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則為非奇異。證明:用反證法。假設(shè)有非零向量滿足則存在正整數(shù)kn,使得且 由此得 這與嚴格對角占優(yōu)的性質(zhì)矛盾。 定理2若矩陣為不可約按行（或列）對角占優(yōu)矩陣，則非奇異。證明：僅考慮結(jié)論

7、對不可約按行對角占優(yōu)矩陣成立。設(shè)矩陣為不可約按行對角占優(yōu)矩陣，如果奇異，則存在非零向量，使得，記顯然且I非空，則 （1）如果，則 與對角占有性矛盾。如果，令，則J非空，且 由對角占優(yōu)性以及（1） 即 當即時，故由上式立即得到，因此 與矩陣不可約矛盾。證畢。1.2 關(guān)于對角占優(yōu)矩陣行列式的研究定理3設(shè)是（行或列）嚴格對角占優(yōu)矩陣，則和的主對角元素之積 同號。而且，當是行嚴格對角占優(yōu)時， 。當是列嚴格對角占優(yōu)時， 。證明:由假設(shè)知 。記 于是 。注意到的對角元素是正實數(shù)： 則的所有特征值具有正實部。這樣，由于是實的，復特征值必共軛成對出現(xiàn)，其積是正實數(shù)，而實特征值必為正實數(shù)，從而等于的所有特征值（

8、按代數(shù)重數(shù)計）之積必大于零。因此有 ，證畢。1.3 關(guān)于對角占優(yōu)矩陣其逆矩陣對角占優(yōu)性的研究定理4設(shè)是行嚴格對角占優(yōu)矩陣，則是列元素嚴格對角占優(yōu)矩陣。 證明:由于對角占優(yōu)，則可逆。令 則 因此，只須證明 不失一般性，為了方便，取從而我們可得知 注意到 為了完成定理的證明，只須證明 事實上， 此式中最后的行列式是正的，因為其矩陣是行嚴格對角占優(yōu)且對角元素全大于零，證畢。1.4 對角占優(yōu)矩陣其他相關(guān)性質(zhì)定理5設(shè)行嚴格對角占優(yōu)矩陣，則對于任何成立 證明:依算子范數(shù)定義，存在 使得 令 且令 由得 于是 從而，證畢。定理6 設(shè)其中,為n階實方陣，若是對角占優(yōu)矩陣，則：（1） ；（2） 的所有主子式非負

9、，即對所有的，有 ；（3） 的所有順序主子式非負；證明:設(shè)為階行交換初等矩陣，則為對角占優(yōu)矩陣當且僅當為對角占優(yōu)矩陣，據(jù)此對的行與行和列與列施行相同的交換，使得第一行除對角線上的元素以外，還有元素不為零，為討論方便，將記為，現(xiàn)設(shè)矩陣具有形式，其中滿足不全為零。（1） 對矩陣的階數(shù)應(yīng)用數(shù)學歸納法。當時，結(jié)論真。假定結(jié)論對階數(shù)小于的矩陣均成立。則當階數(shù)為時，記 這里 顯然， 我們證明對每一個， 因為，有，所以： 因此 再證仍是對角占優(yōu)的，注意到： 由條件第一行是行對角占優(yōu)的，現(xiàn)考慮行，記但是對角占優(yōu)的，所以有，從而 所以仍是對角占優(yōu)的，設(shè) 則是對角占優(yōu)的，由假設(shè)，于是。（2） 設(shè)是的任意階主子式，

10、注意到仍是對角占優(yōu)的，于是由（1）有： 。（3）由（2）立得。下面給出例子說明上序性質(zhì)不能作為對角占優(yōu)的充分條件。例1 設(shè)，則且的所有主子式均非負，但不是對角占優(yōu)的，事實上，若有正對角矩陣 使得 是對角占優(yōu)的，即 則用第一行的3倍加到第二次行上去，有，但，此不可能，所以不是對角占優(yōu)的。15、關(guān)于矩陣對角占優(yōu)性在矩陣分解方面的應(yīng)用定理7 如果對角矩陣占優(yōu)的三對角線方程組 ，簡記。當時，且： 則數(shù)值解三對角方程組的追趕法必可進行到底。證明:由于方程組系數(shù)矩陣的各階順序主子式 的行列的值滿足：當時，由于，則；當時，由于，所以 ，又因為 且，則 ，所以 ，即；假設(shè)，當時有，則當時，由于對， ，而 ，且

11、，所以，則 ，所以為對角占優(yōu)，所以，則，即證對任意有，所以可以作分解，則上述命題成立，證畢。1.6 關(guān)于矩陣對角占優(yōu)性在利用迭代法解線性方程方面的應(yīng)用定理8 設(shè)階矩陣為強對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)，且，其中，則。證明:因為矩陣的特征多項式為： ；而，于是的特征值為之根，記 下面來證明，當時，即的特征值均滿足。事實上，當時，由為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則有： 這說明，當時，矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，則，矛盾，則，所以，證畢。例1 令，求證：。證明：由于為強對角占優(yōu)，而 則的特征多項式 ，則特征值，故。類似于性質(zhì)3，我們可以得到如下性質(zhì)：定理9 設(shè)階矩陣為強對角占優(yōu)矩陣或不可約對角占優(yōu)，其中，則。上序兩條性質(zhì)

12、在利用雅可比迭代法（高斯-塞德爾迭代法）解線性方程組，判斷迭代法的收斂性應(yīng)用廣泛。例2 設(shè)方程組，考察雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法的收斂性。解:由于系數(shù)矩陣滿足： 則系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)，所以（同性質(zhì)3），（同性質(zhì)4）；所以，雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法的收斂。定理10設(shè)，如果：（1） 為嚴格對角占優(yōu)矩陣（或為弱對角占優(yōu)不可約矩陣）；（2）。則解的迭代法收斂。證明:因為嚴格對角占優(yōu)，故 且非奇異，又SOR法的迭代矩陣為 其中，而分別為對角，嚴格下三角和嚴格上三角，下面只須證明當時，即可。反證法：假設(shè)有一個特征值，則有 即 有 由于嚴格對角占優(yōu)，故 所以只有 事實上，令 則 即 故在時，

13、也嚴格對角占優(yōu)，從而，這與矛盾，故假設(shè)不成立，從而。即，SOR迭代法收斂，證畢。2 結(jié)論 針對我們對對角占優(yōu)矩陣的上序研究，我們發(fā)現(xiàn)了對角占優(yōu)矩陣的非奇異性，以及某些特殊的對角占優(yōu)矩陣其特征值的實部是非負的，而對于嚴格對角占優(yōu)矩陣其逆矩陣也是嚴格對角占優(yōu)的，同時我們還給出了矩陣對角占優(yōu)性在矩陣的分解、以及用迭代法解線性方程組方面的應(yīng)用。但本文對弱對角占優(yōu)矩陣相關(guān)性質(zhì)的研究不夠深入，以及未涉及到塊對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)，在這些方面還需要廣大讀者做更深入的探討。參考文獻：1 曾金平·數(shù)值計算方法·長沙：湖南大學出版社，20062 李慶揚，王能超，易大義·數(shù)值分析·北京：清華大學出版社，20013 郭世平·廣義對角占優(yōu)矩陣的若干基本性質(zhì)·安徽教育學院學報20054 程云鵬·矩陣論·西安：西北工業(yè)大學出版