實(shí)驗(yàn)二 離散時(shí)間傅里葉變換

1、實(shí)驗(yàn)二 離散時(shí)間傅里葉變換1 實(shí)驗(yàn)原理1、經(jīng)由正、逆離散時(shí)間傅里葉變換表達(dá)的信號(hào)傅里葉表示式是信號(hào)分析的一個(gè)關(guān)鍵部分。X()=（3.9）（3.10）類(lèi)似地，當(dāng)LTI系統(tǒng)用于濾波時(shí)，作為沖擊響應(yīng)離散時(shí)間傅里葉變換的頻率響應(yīng)，提供了LTI系統(tǒng)簡(jiǎn)介的描述。離散時(shí)間傅里葉變換X()是的周期復(fù)值函數(shù)，周期總是2，并且基周期通常選在區(qū)間-，）上。對(duì)離散時(shí)間傅里葉變換DTFT來(lái)說(shuō)有兩個(gè)問(wèn)題：（1）DTFT的定義對(duì)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)是有效的。（2）DTFT是連續(xù)變量的函數(shù)。在MATLAB中，任何信號(hào)（向量）必須是有限長(zhǎng)度的，僅此就是第一點(diǎn)成為問(wèn)題。因此，不可能使用MATLAB計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)的DTFT。有一個(gè)值得注意的

2、例外情形，當(dāng)能從變換定義式推導(dǎo)出解析式并只是計(jì)算它時(shí)，可以使用MATLAB計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)的DTFT。2、對(duì)于頻率抽樣問(wèn)題。MATLAB擅長(zhǎng)在有限網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算DTFT。通常選擇足夠多的頻率以使繪出的圖平滑，逼近真實(shí)的DTFT。對(duì)計(jì)算有利的最好選擇是在（-，）區(qū)間上一組均勻地隔開(kāi)的頻率，或者對(duì)共軛對(duì)稱(chēng)變換選擇0,區(qū)間。采用上述抽樣辦法，DTFT式變成X()= DTFT的周期性意味著在-<0區(qū)間上的數(shù)值是那些對(duì)k>N/2的數(shù)值。因?yàn)樯鲜惺窃谟邢迶?shù)量的頻率點(diǎn)=2k/N處計(jì)算，并在有限范圍內(nèi)求和，因此它是可計(jì)算的。由于信號(hào)長(zhǎng)度必須是有限的（0n<L），這個(gè)求和式不適用于xn=un的情形

3、。在對(duì)DTFT進(jìn)行抽樣時(shí)，并不要求N=L，盡管通常經(jīng)由DFT進(jìn)行計(jì)算。在正確應(yīng)用FFT計(jì)算N點(diǎn)DFT前，需要對(duì)xn進(jìn)行時(shí)間混疊。3、 計(jì)算DTFT需要兩個(gè)函數(shù)，MATLAB的freqz函數(shù)計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)，dtft（h，H）函數(shù)計(jì)算有限長(zhǎng)信號(hào)的DTFT。2 實(shí)驗(yàn)要求理解數(shù)值計(jì)算在離散時(shí)間傅里葉變換中的作用。3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 脈沖信號(hào)的DTFT(1)要求：設(shè)矩形脈沖rn= 1 0n<L 0 其他a.證明rn的DTFT可由（3.13）得出，記asinc（，L）（3.14）b.使用dtft函數(shù)計(jì)算12點(diǎn)脈沖信號(hào)的DTFT。繪出在區(qū)間-<上對(duì)的DTFT。把實(shí)部和虛部分開(kāi)繪出。另繪出DTFT的

4、幅度。選擇頻率樣本的數(shù)量是脈沖長(zhǎng)度的5到10倍，以使繪出的圖看上去平滑。用不同數(shù)量的頻率樣本做試驗(yàn)。c.注意asinc函數(shù)零點(diǎn)的位置是規(guī)律分布的。對(duì)奇數(shù)長(zhǎng)脈沖，比如L=15的脈沖重復(fù)進(jìn)行DTFT計(jì)算并繪出幅度，同樣再次檢驗(yàn)零點(diǎn)位置，注意峰值高度。d.對(duì)于asinc函數(shù)零點(diǎn)的間距與asinc函數(shù)的直流值，確定出通用規(guī)則。（2）程序M文件function H,W = dtft(h,N)N=fix(N);L=length(h);h=h(:);if(N<L) errorendW=(2*pi/N)*0:(N-1)'mid=ceil(N/2)+1;W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi

5、;W=fftshift(W);H=fftshift(fft(h,N);%bnn=0:11;u=ones(1,12);X,W=dtft(u,72);subplot(221),plot(W,real(X);grid,title('REAL RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('REAL A')subplot(222),plot(W,imag(X);grid,title('IMAGE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('IMAG

6、E A')subplot(223),plot(W,abs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')subplot(224),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運(yùn)行結(jié)果%cnn=0:14;u=ones(1,15);X,W=dtft(u,90);Y,W=dtft

7、(X,90);subplot(111),plot(W,abs(Y);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')運(yùn)行結(jié)果%d如圖L=12時(shí)由R(ejw)=0得sin(wL/2)=0即wL/2=k*pi 則w=k*pi/36所以零點(diǎn)間距為pi/6直流值：12零點(diǎn)間距*直流值=(pi/6)*12=2*pi（3） 結(jié)果分析使用dtft函數(shù)可以快速準(zhǔn)確的計(jì)算出脈沖信號(hào)的DTFT，頻率樣本的數(shù)量越大時(shí)，繪出的圖形越平滑。2. asinc的M文件（1） 內(nèi)容編寫(xiě)一

8、個(gè)MATLAB的函數(shù)如asinc（，L） ，直接從（3.14）式計(jì)算在頻率格上的asinc(,L)。該函數(shù)應(yīng)有兩個(gè)輸入：長(zhǎng)度L和頻率的向量。函數(shù)必須檢查被零清除的情形，如=0時(shí)。直接計(jì)算混疊sinc函數(shù)（3.13）式得到的脈沖信號(hào)的DTFT。繪出幅度。保存該圖以便將其與用dtft得到的結(jié)果進(jìn)行比較。(2)程序%asinc函數(shù)function y=asinc(w,L) N=length(w); for i=1:N if w(i)=0 y(i)=L; else y(i)=sin(1/2*w(i)*L)/sin(1/2*w(i); end end L=12;N=84; W=(2*pi/N)*0:(N

9、-1)' W=W-pi;H=asinc(W,L); figure(3)plot(W,abs(H); grid,title('MAGNITUDE RESPONSE');xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('|H(W)|')運(yùn)行結(jié)果3. 無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)的DTFT通常不可能計(jì)算一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)的DTFT，但指數(shù)信號(hào)計(jì)算比較容易。當(dāng)|a|<1, 有 利用freqz函數(shù)可以計(jì)算上式： 與dtft類(lèi)似，freqz有兩個(gè)輸出：交換數(shù)值（HH）和頻率格點(diǎn)（WW），第四個(gè)輸入?yún)?shù)是可以選擇的，但如將其設(shè)定為whole

10、,則輸出向量WW指定頻率格點(diǎn)的范圍是從到。如果省略第四個(gè)參數(shù)，頻率格點(diǎn)由區(qū)間上等間距的N個(gè)點(diǎn)組成。4.指數(shù)信號(hào)（1）內(nèi)容：對(duì)于信號(hào)xn=un,使用freqz函數(shù)計(jì)算其DTFT。A. 對(duì)在區(qū)間-<上繪出幅度與相位特性。這需要從freqz返回的X,W向量的移位。解釋為什么幅度特性是的偶函數(shù)，而相位特性是的奇函數(shù)。B. 推算一階系統(tǒng)的幅度特性與相位特性的表示式。C. 直接以這些表達(dá)式來(lái)計(jì)算幅度特性與相位特性，并與用freqz函數(shù)計(jì)算出得結(jié)果相對(duì)比。（2） 程序%aN=1000;a=1,-0.9;b=1;X,W=freqz(b,a,N);W=-pi:0.1:pi;X=freqz(b,a,W);s

11、ubplot(211),plot(W,abs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|X(w)|')subplot(212),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運(yùn)行結(jié)果b假設(shè)一階差分方程：yn=xn+ayn-1,其系統(tǒng)方程H()=其幅度,相位%cw=-pi:0.1:pi;x=1./(1-exp(-j.*w);subplot(211),plot(w,abs(x);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),y