專題二----四點共圓的應(yīng)用

1、專題二-四點共圓的應(yīng)用 【知識點】1、 如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，簡稱“四點共圓”；2、 性質(zhì)：共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等； 圓內(nèi)接四邊形的對角互補； 圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角；3、 判定：若兩個直角三角形共斜邊，則四個頂點共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑； 共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個頂點共圓； 對于凸四邊形ABCD，若對角互補，則A、B、C、D四點共圓； 相交弦定理的逆定理：對于凸四邊形ABCD，其對角線AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，則A、B、C、D四點共圓； 割線定理的

2、逆定理：對于凸四邊形ABCD，兩邊AB、DC的延長線相交于點P，若PB·PA=PC·PD，則A、B、C、D四點共圓；4、 四點共圓的妙用：巧用四點共圓可以幫助我們在解題過程中快速地求角等、邊等、相似、邊長、最值等問題?！纠?】如圖，點C為線段AB上任意一點（不與點A，B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰ACD和BCE，CA=CD，CB=CE，且ACD=BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP。求證：APC=BPC【變式1】如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動點，連接AE交對角線BD于點F，過點F作FGAE交BC于點G，

3、求證：AFG為等腰直角三角形?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CD于點P， 交邊CD于點F；求證：AE=EP 【變式2】如圖，在RtABC和在RtDBC中，BAC=BDC=90°，點O、M分別為BC、AD的中點， 求證：OMAD【例3】如圖，ABC和EFG均為邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M，當(dāng)EFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，線段EM長的最大值是 ；【變式3】如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，O為AC的中點， 過O作OEOF，OE、OF分別交射線AB、B

4、C于 E、F，則EF的最小值為 【例4】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CFBE，垂足為點F,連接OF，則OF的長為 【變式4】如圖，正方形ABCD的中心為O點，面積為25；點P為正方形內(nèi)一點，且OPB=45°，PA：PB=3:4，則PB= 【檢測練習(xí)】1、如圖，正方形OABC的邊長為2，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交點P運動的路徑長是2、如圖，在ABC中，ACB=65°，BDAC于點D，CEAB于點E，則AED= ，CED= 。3、如圖，C為半圓O上一點，AB為直徑，且AB=2a，COA=60°，延長CP交半圓于點D，過P點作AP的垂線交AD的延長線于點H，則PH的長度為 5、 如圖，以RtABC的斜邊BC為一邊在ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為點O，連接AO， 如果AB=4，AO=，則AC的長為 6、 已知ABC為等腰直角三角形，C為直角，延長CA到D，以AD為直徑作圓，連接BD與O交于點E， 連接CE，CE的延長線交O于另一點F，則BD：CF= 7、如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點D，且PB=5，PD=3，