平面向量與三角形四心

1、【一些結(jié)論】：以下皆是向量 1 若P是ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是ABC的垂心 PAPB=PBPC=PAPC(內(nèi)積） 3 若P是ABC的內(nèi)心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊） 4 若P是ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|² （AP就表示AP向量 |AP|就是它的模） 5 AP=（AB/|AB|+AC/|AC|),0,+) 則直線AP經(jīng)過ABC內(nèi)心 6 AP=（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),0,+) 經(jīng)過垂心 7 AP=（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),0,+） 或 AP=(AB+AC),

2、0,+ ) 經(jīng)過重心 8.若aOA=bOB+cOC,則0為A的旁心,A及B,C的外角平分線的交點【以下是一些結(jié)論的有關(guān)證明】 1. O是三角形內(nèi)心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量 充分性： 已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量， 延長CO交AB于D，根據(jù)向量加法得： OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得： a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0, 因為OD與OC共線，所以可設(shè)OD=kOC, 上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量, 向量DA與DB共線，向量OC與向量DA、DB不共線， 所以只能有：ka+kb+c=0，

3、aDA+bDB=0向量, 由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a, 所以CD為ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線。 必要性： 已知O是三角形內(nèi)心, 設(shè)BO與AC相交于E，CO與AB相交于F， O是內(nèi)心 b/a=AF/BF，c/a=AE/CE 過A作CO的平行線，與BO的延長線相交于N，過A作BO的平行線，與CO的延長線相交于M， 所以四邊形OMAN是平行四邊形 根據(jù)平行四邊形法則，得 向量OA =向量OM+向量ON =(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO =(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO =(c/a)*向量CO+(b/a)*向量

4、BOa*向量OA=b*向量BO+c*向量CO a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02. 已知ABC 為斜三角形,且O是ABC所在平面上的一個定點,動點P滿足向量OP=OA+入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C), 求P點軌跡過三角形的垂心 OP=OA+入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C), OP-OA=入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C), AP=入(AB /|AB|2*sin2B)+AC /(|AC|2*sin2C), APBC=入(ABBC /|AB|2*sin2B)+ACBC /(|

5、AC|2*sin2C), APBC=入|AB|BC|cos(180° -B) / (|AB|2*sin2B) +|AC|BC| cosC/(|AC|2*sin2C), APBC=入-|AB|BC| cos B/ (|AB|2*2sinB cos B) +|AC|BC| cosC/(|AC|2*2sinC cosC), APBC=入-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC ), 根據(jù)正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC -|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2si

6、nC )=0， 即APBC=0， P點軌跡過三角形的垂心3. OP=OA+(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) OP-OA=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線 根據(jù)正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB, 所以|AB|sinB=|AC|sinC, 所以AP與AB+AC共線 AB+AC過BC中點D，所以P點的軌跡也過中點D， 點P過三角形重心。4. OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) OP=OA+

7、(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) AP=(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) APBC=(ABBC cosC/|AB|+ACBC cosB/|AC|) =(|AB|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|BC| cosC cosB/|AC| =-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB =0， 所以向量AP與向量BC垂直， P點的軌跡過垂心。 5. OP=OA+(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =(AB/|AB|+AC/|AC|) AP=(AB/|AB|+AC

8、/|AC|) AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量， 向量AB與AC的單位向量的和向量， 因為是單位向量，模長都相等，構(gòu)成菱形， 向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線， 易知是角平分線，所以P點的軌跡經(jīng)過內(nèi)心。向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，右邊取等號。 2、a-ba-ba+b。 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號。 定比分點 定比分點公式（向量P1P=向量PP2） 設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) ，使 向量P1P=向量PP2，叫做點P分有向線段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分點向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點坐標(biāo)公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式 三點共線定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,則A、B、C三點共線 三角形重心判斷式 在ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為ABC的重心 編輯本段向量共線的重要條件