復(fù)變函數(shù)的積分

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考0、內(nèi)容與提要2學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要教材及主要參考書(shū)：教材及主要參考書(shū)：復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù). .積分變換積分變換目的與要求：掌握目的與要求：掌握復(fù)變函數(shù)積分的概念、基本定理與復(fù)合復(fù)變函數(shù)積分的概念、基本定理與復(fù)合閉路定理閉路定理 不定積分不定積分 柯西公式柯西公式 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間安排教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間安排7 7學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教學(xué)方法：講授與提問(wèn)結(jié)合教學(xué)方法：講授與提問(wèn)結(jié)合教學(xué)手段：

2、多媒體教學(xué)手段：多媒體PPTPPT軟件軟件作業(yè)：第作業(yè)：第100100頁(yè)頁(yè) 7-3)7-3)、7-6) 7-6) 、7-9)7-9)、8-1)8-1)、8-3)8-3)、8-5)8-5)、9-2)9-2)、9-4)9-4)、30-1)30-1)、30-2)30-2)。3重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 復(fù)積分的基本定理；復(fù)積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算4內(nèi)容提要內(nèi)容提要有向曲線(xiàn)有向曲線(xiàn)復(fù)積分復(fù)積分積分存在的積分存在的條件及計(jì)算條件及計(jì)算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)柯西積分定理柯西積分定理原

3、函數(shù)原函數(shù)的定義的定義復(fù)合閉路復(fù)合閉路 定定 理理柯西積分柯西積分公公 式式高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)5復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義: )( 個(gè)條件個(gè)條件在復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足以下三在復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足以下三當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)zf;)( (1)在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其其中中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))sin(cosexp ,yiyezzx 記記為為的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)此此函函數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)6二、對(duì)數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)且且處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)和其它各分

4、支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復(fù)平面內(nèi)的復(fù)平面內(nèi)包括原點(diǎn)包括原點(diǎn)在除去負(fù)實(shí)軸在除去負(fù)實(shí)軸 , , ,)( )3(,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz .1)Ln(,1)(lnzzzz 7三、冪函數(shù)三、冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性?xún)绾瘮?shù)的解析性 , )1(的的在復(fù)平面內(nèi)是單值解析在復(fù)平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個(gè)分支個(gè)分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,111n11()Lznnnnzzezn8

5、 ,) 1 ( (3)也是一個(gè)多值函數(shù)也是一個(gè)多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb ., 是無(wú)窮多值的是無(wú)窮多值的為無(wú)理數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)為無(wú)理數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)b它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,.)(1 bbbzz9四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz ,2cos izizeez 我們定義余弦函數(shù)為我們定義余弦函數(shù)為 sin.2izizeezi正弦函數(shù)為復(fù)習(xí)結(jié)束復(fù)習(xí)結(jié)束10一、積

6、分的定義一、積分的定義1.有向曲線(xiàn)有向曲線(xiàn): 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線(xiàn)曲線(xiàn), , 如果選定如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向?yàn)檎较? (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線(xiàn)有方向的曲線(xiàn), , 稱(chēng)為稱(chēng)為有向曲線(xiàn)有向曲線(xiàn). .xyoAB如果如果A到到B作為曲線(xiàn)作為曲線(xiàn)C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線(xiàn)就是曲線(xiàn)C的負(fù)向的負(fù)向, . C記為記為11簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)正向的定義簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)正向的定義: 簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C的正向的正向是指當(dāng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)是指當(dāng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)P順

7、此方順此方向前進(jìn)時(shí)向前進(jìn)時(shí), , 鄰近鄰近P點(diǎn)的曲線(xiàn)點(diǎn)的曲線(xiàn)的內(nèi)部始終位于的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方點(diǎn)的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線(xiàn)的負(fù)方向與之相反的方向就是曲線(xiàn)的負(fù)方向.關(guān)于曲線(xiàn)方向的說(shuō)明關(guān)于曲線(xiàn)方向的說(shuō)明: 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn)為起點(diǎn), 另一個(gè)作為終點(diǎn)另一個(gè)作為終點(diǎn), 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.122.積分的定義積分的定義:, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為個(gè)個(gè)弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的一

8、一條條光光滑滑的的有有向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)終終點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)起起點(diǎn)點(diǎn)為為為為區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)定定義義在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段 13,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度這這里里kkkkkkzzszzz ( , 0 時(shí)時(shí)無(wú)限增加且無(wú)限增加且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記記為為的的積積分分沿沿曲曲線(xiàn)線(xiàn)函函數(shù)數(shù)那那么么稱(chēng)稱(chēng)這這極極限限值值為為一一

9、極極限限有有唯唯的的取取法法如如何何的的分分法法及及如如果果不不論論對(duì)對(duì)CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 14關(guān)于定義的說(shuō)明關(guān)于定義的說(shuō)明: .d)( , )1( CzzfC記為記為那么沿此閉曲線(xiàn)的積分那么沿此閉曲線(xiàn)的積分是閉曲線(xiàn)是閉曲線(xiàn)如果如果 . ),( )( , )2(定積分的定義定積分的定義實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)這個(gè)積分定義就是一元這個(gè)積分定義就是一元而而軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間是是如果如果xuzfbxaxC 15二、積分存在的條件及其計(jì)算法二、積分存在的條件及其計(jì)算法1. 存在的條件存在的條件.d)( , )(一一定定存存在在積積分分是是光光滑滑曲曲線(xiàn)線(xiàn)時(shí)時(shí)是是連連續(xù)

10、續(xù)函函數(shù)數(shù)而而如如果果 CzzfCzf證證 ),()()( ttyitxtzzC由參數(shù)方程給出由參數(shù)方程給出設(shè)光滑曲線(xiàn)設(shè)光滑曲線(xiàn)正方向?yàn)閰?shù)增加的方向正方向?yàn)閰?shù)增加的方向, , BA及終點(diǎn)及終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)及及參數(shù)參數(shù) 16, 0)( ttz并并且且 , ),(),()( 內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 設(shè)設(shè) )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因因?yàn)闉?)()(11 kkkkyyixx, kkyix 17knkkzf 1)( 所以所以 nkkkkkkkyix

11、viu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于vu根據(jù)線(xiàn)積分的存在定理根據(jù)線(xiàn)積分的存在定理,18當(dāng)當(dāng) n 無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí), , , ),( , 下下式式兩兩端端極極限限存存在在的的取取法法如如何何點(diǎn)點(diǎn)的的分分法法任任何何不不論論對(duì)對(duì)kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 19 : ddd )(相相乘乘后后求求積積分分得得到到與與

12、yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式202. 積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法. d)( 積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)的的線(xiàn)線(xiàn)可可以以通通過(guò)過(guò)兩兩個(gè)個(gè)二二元元實(shí)實(shí)變變 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf較詳?shù)耐茖?dǎo)2

13、1 ttztzfzzfCd)()(d)(則則光滑曲線(xiàn)光滑曲線(xiàn)相互連接所組成的按段相互連接所組成的按段等光滑曲線(xiàn)依次等光滑曲線(xiàn)依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后討論的積分中在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線(xiàn)曲線(xiàn) C 是按段光滑的是按段光滑的.22例例1 解解 . 43 : ,d 的的直直線(xiàn)線(xiàn)段段從從原原點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)計(jì)計(jì)算算iCzzC 直線(xiàn)方程為直線(xiàn)方程為, 10,4,3 ttytx , 3 4 (3 4 ) , Cz x iyt i ti t 在 上 ,d)43(dtiz

14、d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又又因因?yàn)闉?3 ddddd CCCyxxyiyyxxzz這兩個(gè)積分都與路線(xiàn)這兩個(gè)積分都與路線(xiàn)C 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 43 曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的是是怎怎樣樣從從原原點(diǎn)點(diǎn)連連接接到到點(diǎn)點(diǎn)所所以以不不論論iC .2)43(d2izzC (- )y(x)0 ,1.xyyxyx24例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線(xiàn)的折線(xiàn)再到再到軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿的弧段的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)為為其中其中計(jì)算計(jì)

15、算ixixyiCzzC (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( )= ( )( )=(01),z t x tiy t t itt ,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x25(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy 2( )( ) ( )= (01),z tx ti y tti tt ,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 2,(01)xt ytt 。26xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路

16、徑由兩段直線(xiàn)段構(gòu)成積分路徑由兩段直線(xiàn)段構(gòu)成x軸上直線(xiàn)段的參數(shù)方程為軸上直線(xiàn)段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線(xiàn)段的參數(shù)方程為直線(xiàn)段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 27例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圓圓周周為為其其中中計(jì)計(jì)算算積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因因?yàn)闉?20d)sin(cos4 ii. 0 28例例4 解解. , , ,d)(1 010為為整整數(shù)

17、數(shù)徑徑的的正正向向圓圓周周為為半半為為中中心心為為以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri29zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān). .30三、積分的性質(zhì)三、積分

18、的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì).;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上滿(mǎn)足上滿(mǎn)足在在函數(shù)函數(shù)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)估值不等式估值不等式31性質(zhì)性質(zhì)(4)的證明的證明 , 1兩兩點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離與與是是因因?yàn)闉?kkkzzz , 度度為這兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)為這兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)(

19、 nkkksf1)( 兩端取極限得兩端取極限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因?yàn)闉?nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以證畢證畢32例例5解解. d1 , 43 絕對(duì)值的一個(gè)上界絕對(duì)值的一個(gè)上界試求積分試求積分的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)到點(diǎn)設(shè)設(shè) CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311 , 上上因因?yàn)闉樵谠?322)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 從從而而 Csd35325 .32

20、5d1 Cziz故故5 34四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì)及計(jì)算和性質(zhì). 應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線(xiàn)積分完全相似的性質(zhì)積分學(xué)中的線(xiàn)積分完全相似的性質(zhì). 本課中重本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.35思考題思考題?d)( )( 函數(shù)定積分是否一致函數(shù)定積分是否一致與一元與一元的積分定義式的積分定義式復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) Czzfzf36思考題答案思考題答案 , , 是實(shí)軸上區(qū)間是實(shí)軸上區(qū)間若若C,d)(d)( xxfzzfC則則,)(是實(shí)值的是實(shí)值的如果如果xf即

21、為一元實(shí)函數(shù)的定積分即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必必須須記記作作線(xiàn)線(xiàn)的的限限制制要要受受積積分分路路因因?yàn)闉檫@這是是一一個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)積積分分記記作作的的積積分分的的函函數(shù)數(shù)終終點(diǎn)點(diǎn)為為一一般般不不能能把把起起點(diǎn)點(diǎn)為為 放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .37 設(shè)開(kāi)區(qū)域設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)是一個(gè)單連通域，函數(shù)u(x,y),v(x,y)在在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則積分內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則積分 uvyxuvcdxdy在在G內(nèi)與路徑內(nèi)與路徑C無(wú)關(guān)的充要條件是：無(wú)關(guān)的充要條件是：在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。38000, 00343 ,

22、4 ,34(34 ) .zxiymxxnyyzizixmtt yntt zti ti t當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，則。直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)及點(diǎn)時(shí)，方程為 1. ( ),( ) () xx tyy tt 把平面上曲線(xiàn)方程寫(xiě)成參數(shù)形式：。2. , , ( )( )( ) ( ) () zxiyx yz tx tiy tzz tt 令代入即可得，即得曲線(xiàn)的復(fù)數(shù)形式：。0000 , , , xxm tyyntmnx y其中為直線(xiàn)的一組方向數(shù)，為直線(xiàn)上的一點(diǎn)。一、寫(xiě)出平面復(fù)數(shù)參數(shù)方程的步驟：一、寫(xiě)出平面復(fù)數(shù)參數(shù)方程的步驟：二、直線(xiàn)的參數(shù)方程：二、直線(xiàn)的參數(shù)方程：39()()uxvydtivxuydt()()uiv xviu

23、y dt ()( )( ) uiv xiy dtf z z dt4041第二節(jié)第二節(jié) 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理一、問(wèn)題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)與思考42一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例1, , )( 在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析被被積積函函數(shù)數(shù)zzf 此時(shí)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān)此時(shí)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān). 觀察上節(jié)例觀察上節(jié)例4, ,1 0 0zzn 時(shí)時(shí)為為被被積積函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) , 0的的內(nèi)內(nèi)部部不不是是處處處處解解析析的的為為中中心心的的圓圓周周它它在在以以Cz cizzz. 02d1 0此時(shí)此時(shí)43觀察教材例觀察教材例3, ,)( iyxzzf 被積函數(shù)被積

24、函數(shù)由于不滿(mǎn)足柯西黎曼方程由于不滿(mǎn)足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析處處不解析. d 與與路路線(xiàn)線(xiàn)有有關(guān)關(guān)此此時(shí)時(shí)積積分分值值z(mì)zc . , 0域域但此區(qū)域已不是單連通但此區(qū)域已不是單連通的內(nèi)部函數(shù)處處解析的內(nèi)部函數(shù)處處解析的的雖然在除去雖然在除去Cz 由以上討論可知由以上討論可知, 積分是否與路線(xiàn)有關(guān)積分是否與路線(xiàn)有關(guān), 可可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.44B二、基本定理二、基本定理柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的積積分分為為零零內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條封封閉閉

25、曲曲線(xiàn)線(xiàn)沿沿那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)C定理中的定理中的 C 可以不是簡(jiǎn)可以不是簡(jiǎn)單曲線(xiàn)單曲線(xiàn).此定理也稱(chēng)為此定理也稱(chēng)為柯西積分定柯西積分定理理.柯西介紹柯西介紹古薩介紹古薩介紹45關(guān)于定理的說(shuō)明關(guān)于定理的說(shuō)明:(1) 如果曲線(xiàn)如果曲線(xiàn) C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf , 上解析上解析即在閉區(qū)域即在閉區(qū)域CBB , 上上解解析析內(nèi)內(nèi)與與CB czzf. 0d)( 那那末末(2) 如果曲線(xiàn)如果曲線(xiàn) C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf那那末末上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 , CBB , 內(nèi)解析內(nèi)解

26、析B定理仍成立定理仍成立.46三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)算積分 , 1 321 內(nèi)內(nèi)解解析析在在函函數(shù)數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz47例例2 2. ),1(0d)( 任意閉曲線(xiàn)任意閉曲線(xiàn)是是其中其中證明證明Cnzzcn 證證 , )1(為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西古薩定理由柯西古薩定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(時(shí)時(shí)為為負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)但但不不等等于于當(dāng)當(dāng) n , )(平面上解析平面上解析的整個(gè)的整個(gè)在除點(diǎn)在除點(diǎn)zzn , :點(diǎn)點(diǎn)不不包包圍圍若若情情

27、況況一一 C48由柯西古薩定理由柯西古薩定理, ; 0d)( cnzz , :點(diǎn)點(diǎn)包包圍圍若若情情況況二二 C由上節(jié)例由上節(jié)例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在 Czn 第第73頁(yè)頁(yè)49例例3 3.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解22111111,(1)12zz zzzzzizi , 21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因?yàn)闉?izizz根據(jù)柯西古薩定理得根據(jù)柯西古薩定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz50 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izz

28、izi 221. i 51四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 通過(guò)本課學(xué)習(xí)通過(guò)本課學(xué)習(xí), 重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定理理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的積積分分為為零零內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條封封閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn)沿沿那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)并注意定理成立的條件并注意定理成立的條件.52思考題思考題應(yīng)用柯西應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意什么古薩定理應(yīng)注意什么?53思考題答案思考題答案(1) 注意定理的條件注意定理的條件“單連通域單連通域”.(2) 注意定理的不能反過(guò)來(lái)用注意定理的不能反過(guò)來(lái)用. . )( , 0d)(

29、內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在而說(shuō)而說(shuō)即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域反反例例 zzzf . 11)( :2內(nèi)內(nèi)在在反反例例 zzzf放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .54Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料柯西資料 55GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris,

30、 France古薩資料古薩資料56第三節(jié)第三節(jié) 基本定理的推廣基本定理的推廣一、問(wèn)題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考57一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 2.d11 , zzz計(jì)算計(jì)算實(shí)例實(shí)例 , 1 2 在內(nèi)的閉曲線(xiàn)在內(nèi)的閉曲線(xiàn)是包含是包含因?yàn)橐驗(yàn)?zz根據(jù)本章第一節(jié)例根據(jù)本章第一節(jié)例4可知可知, 1121 d2.1zziz 由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.58二、復(fù)合閉路定理二、復(fù)合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在在多多連連通通域域內(nèi)內(nèi)解解析析設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)zf ),( 1正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛘驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)?/p>

31、向單閉曲線(xiàn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)的任意兩條簡(jiǎn)內(nèi)的任意兩條簡(jiǎn)為為及及DCC. 11DDCC全全含含于于為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作兩兩段段不不相相交交的的弧弧段段59DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線(xiàn)顯然曲線(xiàn) BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符為為了了討討論論方方便便 . 均為封閉曲線(xiàn)均為封閉曲線(xiàn) , D因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 60 AAEBAE

32、Bzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或61DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一條復(fù)合閉路成一條復(fù)合閉路看看及及閉曲線(xiàn)閉曲線(xiàn)如果我們把這兩條簡(jiǎn)單如果我們把這兩條簡(jiǎn)單CC : 的的正正方方向向?yàn)闉?, 按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行外面的閉曲線(xiàn)外面的閉曲線(xiàn) C , 1按順時(shí)針進(jìn)行按順時(shí)針進(jìn)行內(nèi)部的閉曲線(xiàn)內(nèi)部的閉曲線(xiàn) C ), , (的的左左手手邊

33、邊內(nèi)內(nèi)部部總總在在的的的的正正向向進(jìn)進(jìn)行行時(shí)時(shí)即即沿沿 . 0)( dzzf那那末末 解析函數(shù)沿閉曲線(xiàn)的積分解析函數(shù)沿閉曲線(xiàn)的積分, , 不因閉曲線(xiàn)在不因閉曲線(xiàn)在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說(shuō)明說(shuō)明: : 在變形過(guò)程中曲線(xiàn)不經(jīng)在變形過(guò)程中曲線(xiàn)不經(jīng)過(guò)函數(shù)過(guò)函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .622. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)是在

34、是在內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC63DC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121順時(shí)針進(jìn)行順時(shí)針進(jìn)行按按按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行其方向是其方向是組成的復(fù)合閉路組成的復(fù)合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC 64三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在內(nèi)內(nèi)的的任任何何正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉為為包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 z

35、zzzz221-111 ( -1)-10 1,zz zzzz zzzzz因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)和依題意知依題意知, xyo 1 也也包包含含這這兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)， 65, 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只只包包含含奇奇點(diǎn)點(diǎn) , 1 2 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 66例例2 2 . 1 2 ,d 所所組組成成向向圓圓周周和

36、和負(fù)負(fù)為為正正向向圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍成一個(gè)圓環(huán)域圍成一個(gè)圓環(huán)域和和CC, 上上處處處處解解析析在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域和和其其邊邊界界函函數(shù)數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)合定理,. 0d zzez67例例3 3. , ,d)(1 1為為整整數(shù)數(shù)的的任任一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉路路為為含含求求nazazn 解解 , 內(nèi)內(nèi)部部在在曲曲線(xiàn)線(xiàn)因因?yàn)闉?a a , 故故可可取取很很小小的的正正數(shù)數(shù) , : 1內(nèi)內(nèi)部部含含在在使使 az1 , )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域?yàn)檫吔绲膹?fù)連通

37、域在以在以 naz68由復(fù)合閉路定理由復(fù)合閉路定理,11111dd()()nnzzzaza a 1 ,20 ieaz令令111d()nzza 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來(lái)很方用起來(lái)很方便便, 因?yàn)橐驗(yàn)?不必是圓不必是圓, a也不必是也不必是圓的圓心圓的圓心, 只要只要a在簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)在簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) 內(nèi)即可內(nèi)即可. 69例例4 4. , ,d)(121 00為為自自然然數(shù)數(shù)閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的任任意意正正向向?yàn)闉楹笄髇zzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nni

38、zazn , 0za 此此處處不不妨妨設(shè)設(shè) . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin則則有有70四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn)是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論常用結(jié)論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn71思考題思考題 復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用? 要要注意什么問(wèn)題注意什么問(wèn)題?72思考題答案思考題答案 利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線(xiàn)積分的利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線(xiàn)積分的最主

39、要方法最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí)使用復(fù)合閉路定理時(shí), 要注意曲線(xiàn)的方向要注意曲線(xiàn)的方向.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .73第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考74一、主要定理和定義一、主要定理和定義定理一定理一 . d)( , )( 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)線(xiàn)線(xiàn)與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁(yè)圖如下頁(yè)圖)1. 兩個(gè)主要定理兩個(gè)主要定

40、理:75BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令內(nèi)變動(dòng)內(nèi)變動(dòng)在在讓讓如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)便可確定便可確定76 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函數(shù)析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)解內(nèi)的一個(gè)解必為必為那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) 定理二定理二證證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.B , 內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)B

41、z z, KBz小圓小圓內(nèi)的內(nèi)的為中心作一含于為中心作一含于以以K77B zK , 內(nèi)內(nèi)在在充充分分小小使使取取Kzzz zz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( 由于積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān)由于積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān), , d)(00zzfzzz到到的積分路線(xiàn)可先取的積分路線(xiàn)可先取 , zzz 沿直線(xiàn)到沿直線(xiàn)到然后從然后從 0z ) d)( :(0路線(xiàn)相同路線(xiàn)相同的的這一段與這一段與注意注意 zzf , )( 的定義的定義由由zF78 )()( zFzzF于于是是,d)( zzzf zzzzf d)( 因因?yàn)闉?zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF

42、 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz 79B zKzz 0z , )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在因因?yàn)闉锽zf , )( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在所以所以Bzf, 0, 0 故故 , 內(nèi)內(nèi)都都在在的的一一切切使使得得滿(mǎn)滿(mǎn)足足Kz , 時(shí)時(shí)即即 z,)()( zff總總有有由積分的估值性質(zhì)由積分的估值性質(zhì),)()()( zfzzFzzF 80)()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz .1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于是于是).()( zfzF 即即 此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)此定理與微積分學(xué)中的

43、對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似定理完全類(lèi)似.證畢證畢812. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義:. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q(chēng)那末稱(chēng)即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是顯顯然然zffzFzz 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf證證 , )( )( )( 的任何兩個(gè)原函數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)是是和和設(shè)設(shè)zfzHzG82 )()()()( zHzGzHzG 那末那末0)()( zfzf .)

44、()( czHzG 于于是是) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c , )( )( zFBzf內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù), . )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)一一般般表表達(dá)達(dá)式式為為cczF 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證畢證畢833. 不定積分的定義不定積分的定義: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 記記作作的的不不定定積積分分為為為為任任意意常常數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)的的一一般般表表達(dá)達(dá)式式稱(chēng)稱(chēng)定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為

45、域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (類(lèi)似于牛頓類(lèi)似于牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )84證證 , )( d)( 0的的原原函函數(shù)數(shù)也也是是因因?yàn)闉閦fzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所所以以 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zz 根據(jù)柯西根據(jù)柯西-古薩基本定理古薩基本定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或證畢證畢說(shuō)明說(shuō)明: : 有了以上定理有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就

46、可以用復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.85二、典型例題二、典型例題例例1 1解解 . d 10的的值值求求 zzzz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 86例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微積分學(xué)中的使用了微積分學(xué)中的“湊微分湊微分”法法)87例例3 3. dcos 0的值

47、的值求求 izzz解解 , cos 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閦z ,cossin zzz 它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e88例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微積分中此方法使用了微積分中“分部積分法分部積分法”89例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部積分法可得利用分部積分法可得 ,

48、)1( zzezze 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 課堂練習(xí)課堂練習(xí). dsin 10的值的值求求 zzz答案答案10d11sinsincos?.zz z 90例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的的值值求求內(nèi)內(nèi)的的圓圓弧弧試試沿沿區(qū)區(qū)域域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)函數(shù) zz ,2)1(ln 2 z它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82

49、ln2ln833222i 91例例6 6).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的擺線(xiàn)的擺線(xiàn)到到是連接是連接其中其中的值的值求求解解 , 182 2在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù) zz所以積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān)所以積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān), 根據(jù)牛根據(jù)牛萊公式萊公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 92三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式. 在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)高等

50、數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合相結(jié)合, 更好的理解本課內(nèi)容更好的理解本課內(nèi)容. d)()( 0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d )(0110zGzGzzfzz 93思考題思考題 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓萊布尼萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓萊布尼茲公式有萊布尼茲公式有何異同何異同?94思考題答案思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類(lèi)似的兩者的提法和結(jié)果是類(lèi)似的.; , , , )( 0都都是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)因因而而且且積積分分路路線(xiàn)線(xiàn)是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)為為單單連連域域中中的的解解析析函函數(shù)數(shù)但但在在復(fù)復(fù)積積分分中中要要求求zzCzf.

51、, , , )( 都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù)數(shù)數(shù)上的連續(xù)實(shí)函上的連續(xù)實(shí)函為區(qū)間為區(qū)間在實(shí)積分中要求在實(shí)積分中要求xabaxf兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .95第五節(jié) 柯西積分公式 一、問(wèn)題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結(jié)與思考96一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 . , 0中中一一點(diǎn)點(diǎn)為為為為一一單單連連通通域域設(shè)設(shè)BzB ,d)( 0 Czzzzf一一般般不不為為零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果zzzzfBzf 根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線(xiàn)該積分

52、值不隨閉曲線(xiàn) C 的變化而改變的變化而改變, 求這個(gè)值求這個(gè)值. .0的的閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn)內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞為為zBC97, , 00 zzzC的的正正向向圓圓周周半半徑徑為為很很小小的的為為中中心心取取作作以以積積分分曲曲線(xiàn)線(xiàn) , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf , )( 0處的值處的值接近于它在圓心接近于它在圓心的縮小而逐漸的縮小而逐漸的值將隨著的值將隨著上函數(shù)上函數(shù)在在zzfC )(.d)( d)(000縮縮小小將將接接近近于于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 98二、柯西積分公式二、柯西積分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf

53、.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線(xiàn)閉曲線(xiàn)內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)D 0zC證證 , )( 0連連續(xù)續(xù)在在因因?yàn)闉閦zf, 0 則則, 0)( 99D 0zCK , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的的內(nèi)內(nèi)部部全全在在的的正正向向圓圓周周半半徑徑為為為為中中心心設(shè)設(shè)以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()

54、()(2000100 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足夠小足夠小, 左端積分的模就左端積分的模就可以任意小可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與左端積分的值與 R 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 所以只有在對(duì)所有的所以只有在對(duì)所有的 R 積分值為零時(shí)才有可能積分值為零時(shí)才有可能.證畢證畢 Czzzzfizfd)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式柯西介紹柯西介紹 Kzzzzfzfd)()(00101關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的

55、值表示值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是是圓圓周周如如果果0200001122( )()()d .iz zRf zf zf zR eizz 102三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 44.d3211)2(;d

56、sin21(1) zzzzzzzzi求下列積分求下列積分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因?yàn)橐驗(yàn)閦zf , 4 0內(nèi)內(nèi)位位于于 zz103 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西積分公式由柯西積分公式0sin221 zzii104例例2 2 2.d1 zzzze計(jì)算積分計(jì)算積分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因?yàn)橐驗(yàn)閦ezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位位于于 zz由柯西積分公式由柯西積分公式122d1 zzzzeizze.2ie 105例例3 3.d)1(1 212

57、 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因?yàn)橐驗(yàn)?izzf,0iz 由柯西積分公式由柯西積分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 106例例解解).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圓周表示正向圓周設(shè)設(shè) 根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, , 內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí)在在當(dāng)當(dāng)Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 內(nèi)內(nèi)在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以

58、所以107例例5 5;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 108例例5 5;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解109 22d14sin)3(zzzz由閉路復(fù)合定理由閉路復(fù)合定理, 得得例例5 5. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分解解 22d14sinzzzz 2112d

59、14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 110例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并并證證明明求求積積分分解解根據(jù)柯西積分公式知根據(jù)柯西積分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 111 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因?yàn)橐驗(yàn)?cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比較兩式得比較兩式得.d)cos(sin0co

60、s e112課堂練習(xí)課堂練習(xí).d)1( 32 zzzzze計(jì)計(jì)算算積積分分答案答案1, 1, 0 zzz有三個(gè)奇點(diǎn)有三個(gè)奇點(diǎn)21131221121 ddd(1)(1)(1)(1)(1) d(1)(1) (2).zzzzzzzzeeezzzz zz zzz zzezz zzi ee 113四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式, 它的證明基于柯西它的證明基于柯西古薩基本定理古薩基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示邊界上的值通過(guò)積分表