向量空間與子空間

1、一、數(shù)域一、數(shù)域 定義定義 設(shè)設(shè) F是數(shù)的集合，若其滿足是數(shù)的集合，若其滿足 （1） F 1 , 0（2） 均有均有 ,Fba Fbbabababa )0( , , , 則稱則稱 F是是數(shù)域數(shù)域。 R，實(shí)數(shù)域，實(shí)數(shù)域Q，有理數(shù)域，有理數(shù)域 常用數(shù)域常用數(shù)域 C，復(fù)數(shù)域，復(fù)數(shù)域二、向量空間二、向量空間 定義定義 設(shè)設(shè)F是數(shù)域，是數(shù)域，V是是Fn的一個(gè)非空子集。如果的一個(gè)非空子集。如果 (1) 對任意對任意 ，均有，均有 ； V ,V (2) 對任意對任意 及任意及任意 ，均有，均有 ， V Fk Vk 那么稱那么稱 V構(gòu)成數(shù)域構(gòu)成數(shù)域F上的上的向量空間向量空間。 , 1,| ),(1niFaaa

2、Finn , 2 , 1, 2 , 1,|njmiFaaFijnmijnm； 例例 設(shè)設(shè)F是數(shù)域，令是數(shù)域，令 ，這里，這里 是是n元零向量，則顯然元零向量，則顯然 和和 都構(gòu)成都構(gòu)成F上的向量空上的向量空間。而對間。而對 中的向量構(gòu)成的任一向量空間中的向量構(gòu)成的任一向量空間V，均有，均有 ,21 VFVn 1V2VnF12VVV 例例 設(shè)設(shè) ，則齊次線性方程組，則齊次線性方程組 的全部解向量的集合構(gòu)成的全部解向量的集合構(gòu)成 F上的向量空間，稱之為上的向量空間，稱之為齊齊次方程組次方程組 的的解空間解空間，也可稱之為，也可稱之為矩陣矩陣A的的零零空間空間，記為，記為 。顯然，。顯然， 。 nm

3、FA0 AX0 AX)(ANnFAN)(三、子空間三、子空間 定義定義 設(shè)設(shè)V 是數(shù)域是數(shù)域F上的向量空間，上的向量空間，W是是V 的一個(gè)的一個(gè)非空子集。若非空子集。若W 也構(gòu)成也構(gòu)成F上的向量空間，則稱上的向量空間，則稱W是是V的的向量子空間向量子空間，簡稱，簡稱子空間子空間。 例例 令令 1|),(11 nnnaaRaaV則則 V 不構(gòu)成向量空間。不構(gòu)成向量空間。 0),( 32133211 xxxRxxxV問問 和和 是否構(gòu)成是否構(gòu)成 的子空間？的子空間？ 1V2V3R例例 令令 例例 設(shè)設(shè)V是向量空間，則是向量空間，則V 一定包含零向量一定包含零向量 。同。同時(shí)，時(shí)，V 本身及本身及

4、都是都是V 的子空間，稱它們?yōu)榈淖涌臻g，稱它們?yōu)閂 的的平平凡子空間凡子空間。V 的其它子空間，如果還有的話，均稱為的其它子空間，如果還有的話，均稱為V 的的非平凡子空間非平凡子空間。 1),( 32133212 xxxRxxxV 例例 設(shè)設(shè) 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 tXXX,.,210 AX),.,()(21tXXXLAN 定理定理 設(shè)設(shè) V 是數(shù)域是數(shù)域 F上的向量空間，上的向量空間， 是是 V 中中m個(gè)向量，則個(gè)向量，則 V 的子集合的子集合 Fkkkkkkmmm ,., . 212211 構(gòu)成構(gòu)成V 的子空間，稱為由向量組的子空間，稱為由向量組 生成生成的子空間的子空間，記為，記為 m ,21),.,(21mL m ,21 例例 設(shè)設(shè) ，把，把 A按列分塊按列分塊 nmFA nA ,.,21 則則 是是 的子空間，稱之為矩陣的子空間，稱之為矩陣A的的列空間列空間，記為，記為 。 ),.,(21nL mF)(AR 結(jié)論結(jié)論：線性方程組：線性方程組 有解有解 。 bAX )( ARb 及其子空間均稱為及其子空間均稱為實(shí)向量空間實(shí)向量空間。 nR例例