近代信號處理(報告)

1、RLS算法與LMS算法收斂性能對比研究分析報告人：徐輝報告人：徐輝20201414年年6 6月月 5 5日日目錄問題描述 算法仿真實現(xiàn)和分析 自適應均衡算法LMSRLS總結分配徐輝：負責RLS算法理論及結果分析汪朝林：負責RLS算法實驗仿真陳超：負責LMS算法理論及結果分析王含章：負責LMS算法實驗仿真小組集體：完成RLS算法和LMS算法對比實驗分析小組課程報告分工小組課程報告分工問題描述本文主要針對本文主要針對LMS算法和算法和RLS算法進行對比研究，在分析各自算法原算法進行對比研究，在分析各自算法原理的基礎上，對兩種算法的收斂性能對、信號的追蹤效果以及計算復理的基礎上，對兩種算法的收斂性能

2、對、信號的追蹤效果以及計算復雜度進行比分析，研究影響各自收斂性因子對其收斂性的影響。雜度進行比分析，研究影響各自收斂性因子對其收斂性的影響。自適應橫向濾波原理 1*0( )()( )( )MHTkky nw x nkw x nxn w原理圖公式描述( )( , (1),., (1)Tx nx n x nx nM輸入矢量：加權矢量：011( )( ),( ) ,.,( )TMw nw n w nwn*( )( )( ) ( )( )( )HTd ny nwn x nxn w n相應估計：( )( )( )( )( )( )( ) ( )He nd ny nd nd nd nwn x n估計誤差：

3、LMS算法原理 LMS自適應濾波器是使濾波器的輸出信號與期望響應之間的誤差的均方值最小。在最陡下降法中，先設置一個 初值 ，沿著 的負梯度方向調整系數(shù)使性能函數(shù)的最優(yōu)向量遞歸：其中 為 的梯度， 是步長常量，它決定了算法的穩(wěn)定性和收斂速度。要計算精確的 ，要求輸入信號 和 平穩(wěn)且二階統(tǒng)計特性已知。為了減少計算量，在最陡下降法的公式中用梯度估計 代替梯度 ，從而得到：LMS算法用 代替 ，得 ，結合估計誤差計算式，得( )w n(0)w(1)( )w nw n 22xxxdR wr2( )E e n( )x n( )d n( )n( )n(1)( )( )w nw nn2( )e n2( )E

4、e n2(1)( )( )w nw ne n *(1)( )2( )( )iw nw ne nx nRLS算法算法原理 RLS算法采用的是最小二乘準則，利用在已知n-1時濾波器抽頭權系數(shù)的情況下，通過簡單的更新，求出n時刻的濾波器抽頭權系數(shù)。采用最小均方誤差準則，其代價函數(shù)為： 其中 稱作遺忘因子，引入遺忘因子作用是離n時刻近的誤差賦較大權重，離n時刻遠的誤差賦較小權重，確保在過去某一段時間的觀測數(shù)據(jù)被“遺忘”，從而使濾波器可以工作在非平穩(wěn)狀態(tài)下。2| )(|)(inJin10估計誤差定義：)(y)(iiid）（)()n()(iixwidH）（將誤差代入代價函數(shù)得到加權誤差平方和的完整表達式：

5、20| )(*)()(|) n (ixnwidJHinni為求得最優(yōu)解為求得最優(yōu)解 ，利用遞推最小二乘算法，計算如下：，利用遞推最小二乘算法，計算如下：nwoptrnRnwXXopt1)(其中 是均衡器輸人矢量的自相關矩陣：衡器輸人矢量的自相關矩陣：)(nRXX)()()(n0ixixnRHiniXX)()()(*0idixnrinni矩陣求逆得矩陣求逆得：)() 1n()(1) 1()()() 1() 1()(11112111nxRnxnRnxnxnRnRnRXXHXXHXXXXXX令令)n()(1XXRnP)1()n()() 1n()(1nPxnkPnPH，得，得權系數(shù)更新：) 1()()

6、()()() 1() 1() 1()()()() 1()()()() 1()() 1() 1()r(P()r()(*11nwnunknkndnwnrnPnunknunPnunknunPndnrnPnnnnRnwHHHXX最終得：最終得： (n)k(n)e1)-w(n)(*nw式中先驗誤差：式中先驗誤差：)() 1()()(nxnwndneH最后更新代價函數(shù)：最后更新代價函數(shù)：20| )(*)()(|) n (ixnwidJHinniLMS算法仿真結果不同收斂因子的實驗結果對比不同收斂因子的實驗結果對比采樣點數(shù)采樣點數(shù)N=512，濾波器階數(shù)，濾波器階數(shù)k=64，同等條件下試驗次數(shù)，同等條件下試驗

7、次數(shù)g=100，再對結果求，再對結果求平均。收斂因子分別為平均。收斂因子分別為u=0.001，u=0.005，u=0.01，u=0.04 4。目標信號和輸入信號：目標信號和輸入信號：輸出波形：均方誤差波形：結果分析：收斂因子收斂因子u u決定了信號收斂的速度和輸出波形的調整時間。決定了信號收斂的速度和輸出波形的調整時間。 當當u u取值在收斂范圍內時，從不同取值在收斂范圍內時，從不同u u值的輸出波形可以看出，值的輸出波形可以看出，u u值越小，輸出波形的調整時間越長，值越小，輸出波形的調整時間越長，u u值越大，輸出波形調值越大，輸出波形調整時間越短，較快達到平穩(wěn)狀態(tài)，但是波形的平滑度有所降

8、整時間越短，較快達到平穩(wěn)狀態(tài)，但是波形的平滑度有所降低；從均方誤差波形對比可以看出，低；從均方誤差波形對比可以看出，u u值越大，收斂速度越值越大，收斂速度越快。理論上來說，快。理論上來說，0 0 2/ 2/max max ，maxmax是輸入信號自相是輸入信號自相關矩陣的最大特征值。當關矩陣的最大特征值。當u=0.04u=0.04時，無法實現(xiàn)正常濾波，均時，無法實現(xiàn)正常濾波，均方誤差不再收斂。方誤差不再收斂。不同濾波器階數(shù)的實驗結果對比不同濾波器階數(shù)的實驗結果對比采樣點數(shù)采樣點數(shù)N=512，收斂因子，收斂因子u=0.005，同等條件下試驗次數(shù)，同等條件下試驗次數(shù)g=100，再對結果，再對結果

9、求平均。濾波器階數(shù)分別取求平均。濾波器階數(shù)分別取k=10，k=30，k=64。輸出波形： k=10k=30k=64均方誤差波形：在不同在不同k值時，取三個不同的值時，取三個不同的u值，分別為值，分別為u=0.001，u=0.005，u=0.01k=10k=30均方誤差波形：k=64結果分析：由輸出波形對比圖可知，當由輸出波形對比圖可知，當k=10k=10時，濾波效果較差，輸出時，濾波效果較差，輸出信號中所含雜波成分較多，波形也不夠平滑；信號中所含雜波成分較多，波形也不夠平滑；k=30k=30時效果有時效果有所改善，但是依然不夠好；當所改善，但是依然不夠好；當k=64k=64時，效果較好，整體波

10、形時，效果較好，整體波形比較平滑。由此可以得出，在其他實驗條件相同的情況下，比較平滑。由此可以得出，在其他實驗條件相同的情況下，隨著濾波階數(shù)增多，濾波效果會更好。隨著濾波階數(shù)增多，濾波效果會更好。由均方誤差波形對比圖可知，當由均方誤差波形對比圖可知，當u u取相同值的情況（相同取相同值的情況（相同顏色的曲線）下，在顏色的曲線）下，在k=10k=10時，輸出波形尚未收斂，隨著時，輸出波形尚未收斂，隨著k k值值變大（變大（k=30,k=64k=30,k=64），均方誤差收斂速度變快。），均方誤差收斂速度變快。RLS算法仿真結果不同遺忘因子的實驗結果對比不同遺忘因子的實驗結果對比分別取遺忘因子分別

11、取遺忘因子 ， ， 三種情況進行分析，輸入的期望三種情況進行分析，輸入的期望信號為非平穩(wěn)信號信號為非平穩(wěn)信號 1 . 04 . 08 . 0)05. 0sin(t輸入信號和噪聲：050100150200250300350400450500-1-0.500.51幅值輸 入 周 期 性 信 號050100150200250300350400450500-4-2024幅度采 樣 點被 隨 機 噪 聲 污 染 的 信 號輸出信號與目標信號：不同收斂因子的輸出信號：050100150200250300350400450500-20020a=0.1時 的 誤 差 信 號050100150200250300

12、350400450500-505a=0.4時 的 誤 差 信 號050100150200250300350400450500-202a=0.8時 的 誤 差 信 號不同收斂因子的誤差信號：0501001502002503003504004505000200400a=0.1時 的 MSE05010015020025030035040045050001020a=0.4時 的 MSE050100150200250300350400450500024a=0.8時 的 MSE結果分析：從以上實驗結果可以分析得出，隨著遺忘因子的增大，收從以上實驗結果可以分析得出，隨著遺忘因子的增大，收斂情況越好，由于不同

13、遺忘因子仿真的幅值不同，導致在圖斂情況越好，由于不同遺忘因子仿真的幅值不同，導致在圖中看的不明顯，但還是可以看出較大是均方誤差。就對輸入中看的不明顯，但還是可以看出較大是均方誤差。就對輸入信號的追蹤效果而言，圖信號的追蹤效果而言，圖2 2所示的參考信號和期望信號的匹所示的參考信號和期望信號的匹配效果來看，也比較理想。且當?shù)螖?shù)達到配效果來看，也比較理想。且當?shù)螖?shù)達到350350次的時候次的時候基本趨于穩(wěn)定。基本趨于穩(wěn)定。RLS與與LMS算法對比分析算法對比分析0200400600800100012001400160018002000-10-8-6-4-202468信 號 點 數(shù) nx(n

14、)/w(n)基 于 AR（ 2） 模 型 產 生 的 信 號 x和 高 斯 白 噪 聲 w 信 號 序 列高 斯 白 噪 聲輸入信號：0200400600800100012001400160018002000-2-1.5-1-0.500.511.52信 號 點 數(shù) n對應a1、a2的值LMS與 RLS算 法 收 斂 性 能 對 比 ， LMS耗 時 ： 0.0075304 s, RLS耗 時 ： 0.034347 s LMS-a1變 化RLS-a1變 化LMS-a2變 化RLS-a2變 化a1收 斂 值a2收 斂 值對比參數(shù)選?。?RLS算法的遺忘因子 ，LMS算法步長 對比結果圖對比結果圖001. 0u9 . 00200400600800100012001400160018002000-6-5-4-3-2-101234信 號 點 數(shù) n對應a1、a2的值LMS與 RLS算 法 收 斂 性 能 對 比 ， LMS耗 時 ： 0.0073895 s, RLS耗 時 ： 0.033246 s LMS-a1變 化RLS-a1變 化LMS-a2變 化RLS-a2變 化a1收 斂 值a2收 斂 值對比參數(shù)選?。?RLS算法的遺忘因子 ，LMS算法步長 98. 002