非線性有限元法(5)---7

1、 4 4 方程解法方程解法4.1 顯示方法（顯示方法（Explicit Methods）l在計(jì)算力學(xué)和計(jì)算物理中應(yīng)用最廣泛的顯式方法是中心差分法在計(jì)算力學(xué)和計(jì)算物理中應(yīng)用最廣泛的顯式方法是中心差分法 定義時(shí)間步增量為定義時(shí)間步增量為 11111122221,(),2nnnnnnnnnttttttttt1 4 4 方程解法方程解法速度的中心差分公式為速度的中心差分公式為 積分公式為積分公式為加速度及積分公式加速度及積分公式 1111221121()nnnnnnnnntttdddvdd11122nnnntddv11221122nnnnnnttvvda1122nnnntvva1111221122()

2、()nnnnnnnnnnntttttddddda2 4 4 方程解法方程解法在第在第n時(shí)間步的有限元半離散方程為時(shí)間步的有限元半離散方程為廣義約束方程廣義約束方程代半離散方程到加速度積分公式中代半離散方程到加速度積分公式中這樣，在任意時(shí)間步這樣，在任意時(shí)間步n，已知位移，已知位移 ，通過順序計(jì)算應(yīng)變，通過順序計(jì)算應(yīng)變-位移方程、位移方程、由由 或或 形式表示的本構(gòu)方程和外力，可確定節(jié)點(diǎn)力形式表示的本構(gòu)方程和外力，可確定節(jié)點(diǎn)力 ，上式，上式右端全部賦值，可獲得右端全部賦值，可獲得 ，由位移的積分公式，可確定，由位移的積分公式，可確定 。 int(, )(, )nnextnnttMaffdfd()

3、0,1,.,nnIcgId11122nnnntvvM fnd12nDnEnf12nv1nd3 4 4 方程解法方程解法l特點(diǎn)特點(diǎn) a) M矩陣是常數(shù)陣，在整個(gè)求解過程中不變矩陣是常數(shù)陣，在整個(gè)求解過程中不變; b) 如果如果M為對(duì)角陣，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)速度和節(jié)點(diǎn)位移的更新可以不用求解為對(duì)角陣，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)速度和節(jié)點(diǎn)位移的更新可以不用求解任何方程；任何方程； c) 因此，在顯示方法中，離散的動(dòng)量方程一般都用團(tuán)聚質(zhì)量矩陣。因此，在顯示方法中，離散的動(dòng)量方程一般都用團(tuán)聚質(zhì)量矩陣。在顯示方法中，對(duì)離散的動(dòng)量方程的時(shí)間積分不需求解任何方程在顯示方法中，對(duì)離散的動(dòng)量方程的時(shí)間積分不需求解任何方程 4 4 4 方程解法

4、方程解法l流程圖流程圖 5 4 4 方程解法方程解法l流程圖（續(xù)）流程圖（續(xù)） 6 4 4 方程解法方程解法l優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 方法簡(jiǎn)單，不求解方程方法簡(jiǎn)單，不求解方程 顯式時(shí)間積分是很強(qiáng)健的（顯式時(shí)間積分是很強(qiáng)健的（Robust），很少因?yàn)閿?shù)值失敗而終止），很少因?yàn)閿?shù)值失敗而終止l缺點(diǎn)缺點(diǎn) 顯式方法是條件穩(wěn)定的顯式方法是條件穩(wěn)定的 如果時(shí)間步長(zhǎng)超過一個(gè)臨界值，其計(jì)算結(jié)果會(huì)增長(zhǎng)至無窮如果時(shí)間步長(zhǎng)超過一個(gè)臨界值，其計(jì)算結(jié)果會(huì)增長(zhǎng)至無窮l 臨界時(shí)間步長(zhǎng)臨界時(shí)間步長(zhǎng) 對(duì)于采用率無關(guān)材料的常應(yīng)變單元的網(wǎng)格，穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)為對(duì)于采用率無關(guān)材料的常應(yīng)變單元的網(wǎng)格，穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)為 線性系統(tǒng)的最大頻率，線性系統(tǒng)的最大頻

5、率， 單元單元e的特征長(zhǎng)度的特征長(zhǎng)度 ， 單元單元e的當(dāng)前波速，的當(dāng)前波速， 是折減系數(shù)。是折減系數(shù)。 ,max22,minminecritcritee IeIeltttc maxelec7 4 4 方程解法方程解法l有限差分的臨界步長(zhǎng)問題稱為有限差分的臨界步長(zhǎng)問題稱為Courant條件條件 1928年年Courant，F(xiàn)riedrichs和和Lewy首先發(fā)表這一結(jié)果。首先發(fā)表這一結(jié)果。l臨界步長(zhǎng)隨網(wǎng)格細(xì)劃和材料剛度的增加而減小臨界步長(zhǎng)隨網(wǎng)格細(xì)劃和材料剛度的增加而減小l對(duì)于彈塑性問題，塑性響應(yīng)會(huì)減慢波速，但并不能增加臨界時(shí)間對(duì)于彈塑性問題，塑性響應(yīng)會(huì)減慢波速，但并不能增加臨界時(shí)間步長(zhǎng)，因?yàn)?，?/p>

6、數(shù)值計(jì)算中常常發(fā)生卸載步長(zhǎng)，因?yàn)?，在?shù)值計(jì)算中常常發(fā)生卸載l從單元時(shí)間步長(zhǎng)確定網(wǎng)格時(shí)間步長(zhǎng)從單元時(shí)間步長(zhǎng)確定網(wǎng)格時(shí)間步長(zhǎng) 8 4 4 方程解法方程解法4.2平衡解法和隱式時(shí)間積分（平衡解法和隱式時(shí)間積分（Implicit time integration）l離散的動(dòng)量方程可寫為離散的動(dòng)量方程可寫為lNewmark 方程方程 更新的位移和速度為更新的位移和速度為 的意義為人工粘性或人工阻尼。的意義為人工粘性或人工阻尼。 111int1111(,)(,)(,)nnnnnextnntatt0r dMfdfd21121111111,(1 2 )2,(1),nnnnnnnnnnnnnnntttttttt

7、 ddaddvavvavva9 4 4 方程解法方程解法 10 4 4 方程解法方程解法l更新的加速度表示為更新的加速度表示為這樣離散問題成為：這樣離散問題成為：這是在節(jié)點(diǎn)位移這是在節(jié)點(diǎn)位移 的非線性方程組。的非線性方程組。問題成為問題成為 尋找尋找 使使 服從于服從于 1nd11(,)0nntr d11(,)0nngtd11121(),0nnntadd1111int1111210(,)()(,)(,)nnnnnnextnnttttr dM ddfdfd1nd11 4 4 方程解法方程解法 lNewtonRaphson法法 首先研究一個(gè)未知量的問題首先研究一個(gè)未知量的問題Newton方法是一個(gè)

8、求解迭代過程。首先將殘數(shù)進(jìn)行方法是一個(gè)求解迭代過程。首先將殘數(shù)進(jìn)行Taylor展開，只保展開，只保留線性項(xiàng)留線性項(xiàng)稱為非線性方程的線性化模型。線性模型是非線性殘差函數(shù)得正切。稱為非線性方程的線性化模型。線性模型是非線性殘差函數(shù)得正切。1111int1120(,)()(,)(,)nnnnnextnMr dtddftftt11111(,)0(,)(,)nnnnvvvvr d tr dtr d tddddd12 4 4 方程解法方程解法 對(duì)于位移增量，求解線性模型，得對(duì)于位移增量，求解線性模型，得更新值為更新值為持續(xù)迭代直到獲得理想得精度。持續(xù)迭代直到獲得理想得精度。111(,)(,)nnvvr d

9、 tdr d td 1vvddd13 4 4 方程解法方程解法 對(duì)應(yīng)的載荷位移曲線對(duì)應(yīng)的載荷位移曲線14 4 4 方程解法方程解法 l有有n個(gè)未知量的個(gè)未知量的Newton法法 線性化后方程為線性化后方程為A稱為稱為Jacobian矩陣，在計(jì)算力學(xué)中矩陣，在計(jì)算力學(xué)中A稱為切線剛度矩陣。稱為切線剛度矩陣。求解步驟：求解步驟：（1）解線性方程組）解線性方程組 （2）迭加到前一步得迭代）迭加到前一步得迭代（3）檢驗(yàn)其收斂性，若收斂得到解；若沒有滿足準(zhǔn)則，重新構(gòu)造）檢驗(yàn)其收斂性，若收斂得到解；若沒有滿足準(zhǔn)則，重新構(gòu)造A， 返回（返回（1） ()()(),vvv r dr dr dd0Add()v A

10、 dr d1vvdddint2( )1exttr dffAMddd15 4 4 方程解法方程解法 16 4 4 方程解法方程解法 17 4 4 方程解法方程解法 l收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 Newton法的迭代是否終止是由收斂準(zhǔn)則決定的。這是關(guān)于法的迭代是否終止是由收斂準(zhǔn)則決定的。這是關(guān)于的收斂。一般有三種收斂準(zhǔn)則：的收斂。一般有三種收斂準(zhǔn)則：（1）根據(jù)參數(shù)）根據(jù)參數(shù)r的量級(jí)的準(zhǔn)則的量級(jí)的準(zhǔn)則（2）根據(jù)位移增量）根據(jù)位移增量 的量級(jí)準(zhǔn)則的量級(jí)準(zhǔn)則（3）能量誤差的準(zhǔn)則）能量誤差的準(zhǔn)則(,)nntr d0d222212int21()max(,)dofnextllllrrffMa221221()dofnll

11、dddintmax(,)Textkind rWWW d r18 4 4 方程解法方程解法 19初應(yīng)力法初應(yīng)力法 4 4 方程解法方程解法 20修正牛頓法修正牛頓法 4 4 方程解法方程解法 214.3 Wilson q 4 4 方程解法方程解法 22 4 4 方程解法方程解法 23K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996 4 4 方程解法方程解法 24 4 4 方程解法方程解法 4.4弧長(zhǎng)法（弧長(zhǎng)法（Arc-length method） 25 4 4 方程解法方程解法 l單自由度示意圖單自由度示意圖 26

12、4 4 方程解法方程解法 l在跟蹤結(jié)構(gòu)得后屈曲（在跟蹤結(jié)構(gòu)得后屈曲（post-buckling）曲線時(shí)，或跟蹤分支時(shí)，）曲線時(shí)，或跟蹤分支時(shí)，Newton-Raphson法出現(xiàn)困難，弧長(zhǎng)法是一個(gè)好的替代解法。法出現(xiàn)困難，弧長(zhǎng)法是一個(gè)好的替代解法。 在跟蹤分支時(shí)，載荷參數(shù)從零開始，并逐步增加。對(duì)于參數(shù)在跟蹤分支時(shí)，載荷參數(shù)從零開始，并逐步增加。對(duì)于參數(shù) 的的每一個(gè)增量，計(jì)算平衡解答，即每一個(gè)增量，計(jì)算平衡解答，即 在弧長(zhǎng)法中，除了逐漸增加的載荷參數(shù)外，在位移在弧長(zhǎng)法中，除了逐漸增加的載荷參數(shù)外，在位移-載荷參數(shù)空間載荷參數(shù)空間中的弧長(zhǎng)度量也要增加，這是通過在平衡方程中增量參數(shù)化方程實(shí)中的弧長(zhǎng)度量

13、也要增加，這是通過在平衡方程中增量參數(shù)化方程實(shí)現(xiàn)的：現(xiàn)的：int11()nnextfdf0111122(,)() ()0nnnn Tnnps ddddd1nn27 4 4 方程解法方程解法 方程組中增加一個(gè)未知數(shù)，并增加了一個(gè)參數(shù)化方程：方程組中增加一個(gè)未知數(shù)，并增加了一個(gè)參數(shù)化方程：使用使用Newton線性化方程組線性化方程組11int111111(,)()0(,)(,)nnnnextnnnnpp 0r dfdfdd/vvppprrdrddint22extextvTvp rdKKfd28 4 4 方程解法方程解法 29l計(jì)算后屈曲的例子計(jì)算后屈曲的例子 4 4 方程解法方程解法 l弧長(zhǎng)法由弧長(zhǎng)法由Riks于于1972年提出