第5章-導(dǎo)數(shù)和微積分-5-3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、 平面曲線通常用方程來表示;一般情形下則采用參數(shù)方程這樣做最明顯的好處,是能方便地推廣為多維空間的情形, 例如 中的曲線: 3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第五章導(dǎo)數(shù)和微分( )yf x ( , )0F x y 或( ),( ),.xx tyy ttI( ),( ),( ),.xx tyy tzz ttI3R數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)平面曲線設(shè)平面曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為平面曲線兩種方程之間的聯(lián)系平面曲線兩種方程之間的聯(lián)系. ( ),.(1)( ),xttyt 如果函數(shù)如果函數(shù) 有反函數(shù)有反函數(shù)( )xt ),(1xt 1( )( ).yxf x

2、確定復(fù)合函數(shù)確定復(fù)合函數(shù)( ), ( ),tt 如如果果都都可可導(dǎo)導(dǎo), 0)( t 且且根據(jù)復(fù)合根據(jù)復(fù)合這種由參數(shù)方程這種由參數(shù)方程 (1) 所表示的函數(shù)所表示的函數(shù), 稱為參變量函稱為參變量函則則(1)式可式可由此說明由此說明數(shù)數(shù).后退 前進 目錄 退出函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 得到得到數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( ),.(1)( ),xttyt ddd( )dd.(2d)ddd d( )yyttyxttxtxt 設(shè)由設(shè)由 (1) 式表示的曲線式表示的曲線 C的割線的割線 的斜率為的斜率為00( ),( )Qtttt PQ00( (

3、), ( )Ptt 在在點點0000( )(),( )()tttyxttt (2)(2) 式的幾何意義如下式的幾何意義如下: 處有切線處有切線. 過點過點 及鄰近點及鄰近點 P如果如果0( ),( )ttt 在在點點則切線則切線, 0)(0 t 可導(dǎo)，可導(dǎo)，的斜率為的斜率為0tanlimtyx 00000 ( )() lim ( )() ttttttttt ,)()(00tt 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22( )( )0,tt 則稱曲線則稱曲線 C 為為光滑曲線光滑曲線. , , 若若在在上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù), ,且且yQOyxPx C切線切線,

4、 且切線與且切線與 x 軸正向的夾角軸正向的夾角( ) tt 是是 的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .,0)(0時時當(dāng)當(dāng) t 有有.)()(cot00tt 其中其中 是切線與是切線與 x 軸軸 正向的夾角正向的夾角 ( 見圖見圖 ) . .光滑曲線的每一點都存在光滑曲線的每一點都存在數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例1 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程cos ,(0, )sin ,xattybt ( 這是上半橢圓方程這是上半橢圓方程 ) 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 的的( )yf x 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 并求此橢圓在并求此橢圓在 處的切線方程處的切線方程.4t ddddddyyxttx

5、4d.dtybax 故所求切線為故所求切線為: :22().22bbayxa 解解 由公式由公式 (2) 得到得到( sin )cot ,( cos )btbtata 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )cos ,( )sin.xy 例例2 若曲線若曲線 由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程 ( ) 給出給出, , 則則C可以把它轉(zhuǎn)化成以極角可以把它轉(zhuǎn)化成以極角 為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程xOT HM C dd,ddxy如果存在如果存在, 0dd x且且則則d( ( )sin )( )sin( )cosd( ( )cos )( )cos( )sinyx ( )tan(

6、 ).(3)( )( )tan 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)夾角夾角 的正切是的正切是將將 (3) 式代入式代入 (4) 式式, 化簡后可得化簡后可得tantantantan().(4)1tantan ( )tan.(5)( ) 夾角夾角 tan. 的的正正切切過過 M 的射線的射線 OH ( 即點即點M的向徑的向徑 ) 與切線與切線 MT 的的xOT HM C (3) 式表示的是曲線式表示的是曲線)( 線線 MT 與極軸與極軸 Ox 的的( , )M 在在點點處處的切的切數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證證, 因因為為對對每每一一值值arctan2.常常數(shù)數(shù)所以這條曲線上任一點的切線與向徑的夾角等于所以這條曲線上任一點