3.1.3空間向量的數(shù)量積運算

1、空間向量的數(shù)量積運算龍口第一中學東校龍口第一中學東校 張正然張正然學習目標學習目標理解數(shù)量積的夾角、意義和性質(zhì)。能用向量的數(shù)量積表示向量的夾角和長度夾角和長度。重點重點：兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應用。難點難點：如何將立體幾何問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為向量的計算問題。S FW= |F| |s| cos 根據(jù)功的計算根據(jù)功的計算,我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運算數(shù)量積運算.一旦定義出來一旦定義出來,我們發(fā)現(xiàn)這種運我們發(fā)現(xiàn)這種運算非常有用算非常有用,它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)長度和角度長度和角度問題問題.回顧回顧一、兩個空間向量的夾角的定義一、兩個空間向量的夾角的定義: :O OA A

2、B Ba a b b ,a bb a 這樣規(guī)兩個夾(2)在(2)在的的定定下下，向向量量的的角角就就被被唯唯一一確確定定了了，并并且且a b a b , a b 二、二、四、空間向量的數(shù)量積滿足的運算律四、空間向量的數(shù)量積滿足的運算律三、空間向量數(shù)量積的幾何意義三、空間向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度 與與b在在a的方向的方向上的投影上的投影 |b|cos 的乘積的乘積思考：思考：abacbc(1)(2)(3)a bkkababcabc P O A la 五、應用（一）垂直五、應用（一）垂直1.證明：證明：如圖如圖,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求證：求證：

3、lPA 在直線在直線l上取向量上取向量 ,只要證只要證a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.為為 P O A la 0,0a POa OA 逆命題成立嗎? P O A la 分析分析:同樣可用向量同樣可用向量,證明思路幾乎一樣證明思路幾乎一樣,只只不過其中的加法運算不過其中的加法運算用減法運算來分析用減法運算來分析.分析：要證明一條直線與一個平面分析：要證明一條直線與一個平面垂直垂直, ,由直線與平面垂直的定義可由直線與平面垂直的定義可知知, ,就是要證明這條直線與平面內(nèi)就是要證明這條直線與平面內(nèi)的的任意一條直線任意一條直線都垂直都垂直. . l

4、ll lmngm g m l 取已知平面內(nèi)的任一條直線取已知平面內(nèi)的任一條直線 g ,拿相關(guān)直線的方拿相關(guān)直線的方向向量來分析向向量來分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要要證的目標可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標證的目標可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標?怎樣建立向量怎樣建立向量的條件與向量的目標的聯(lián)系的條件與向量的目標的聯(lián)系?2.(試用試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理向量方法證明直線與平面垂直的判定定理) 已知直線已知直線m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,如果如果 m, n,求證求證: .lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl

5、 n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線線.解解: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任一直線重合的任一直線g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一實數(shù)對存在唯一實數(shù)對 ,使使 ( , )x y已知直線已知直線m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,如果如果 m, n,求證求證: .lll 0,0l ml n 綜合綜合分析分析數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合（二）長度（二）長度3.(三三)夾角夾角 小小 結(jié)：結(jié)：

6、通過學習通過學習, ,體會到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下問題：幾何中的以下問題： 1 1、證明兩直線垂直、證明兩直線垂直; ;線面垂直線面垂直; ; 2 2、求兩點之間的距離或線段長度、求兩點之間的距離或線段長度; ; 3 3、求兩直線所成角的余弦值等等、求兩直線所成角的余弦值等等. . 0a b cc a b 練習鞏固：練習鞏固：1.設設 是任意的非零空間向量是任意的非零空間向量,互相不共線，則：互相不共線，則： 不與不與 垂直垂直 中，真命題是（中，真命題是（ ）A B C D2.已知空間向量已知空間向量 滿足滿足則則 =_.3.已知在空間四面體已知在空間四面體ABCD中，中，AB=AC，DB=DC，求，求證證AD BC4.如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形ABCD中，中，AB=2，BC=3，BD= ，CD=3， ， ， 求求BC與與