211合情推理(2)

1、?部分整體部分整體特殊特殊 一般一般2.2.歸納推理的一般模式歸納推理的一般模式: :1 12 2n12nn12nS 具S 具有有P,P,S 具S 具有有P,P,S 具S 具有有P（P（S ，S ，S ，S ， S 是S 是A事A事物物的的象象）類類對對所所以以A象A象具具有有P P類類對對2.2.人們仿照魚類的外型和它們在人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理水中沉浮的原理, ,發(fā)明了潛水艇發(fā)明了潛水艇. .1.1.古代工匠魯班類比帶齒的草葉古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒和蝗蟲的牙齒, ,發(fā)明了鋸發(fā)明了鋸（2 2）類比推理的一般模式為類比推理的一般模式為: :A A類類事事物物具具

2、有有性性質質a,b,c,d,a,b,c,d,B B類類事事物物具具有有性性質質a ,b ,c ,a ,b ,c ,(a,b,c(a,b,c與與a ,b ,c)a ,b ,c)相相似似或或相相同同 所所以以B象B象具具有有d d類類對對性性質質注：（注：（1 1）類比推理是由類比推理是由一類對象一類對象特征到特征到另一類對象另一類對象特特征的推理。征的推理。類比推理的作用類比推理的作用四面體四面體（各面均為（各面均為三角形三角形）球球線線幾何中常見的類比對象幾何中常見的類比對象三角形三角形圓圓代數(shù)中常見的類比對象代數(shù)中常見的類比對象平面幾何平面幾何立體幾何立體幾何點點例例1、試根據等式的性質猜想

3、不等式的性質。、試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：等式的性質：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2; 猜想不等式的性質：猜想不等式的性質：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;例題解析：例題解析：問：這樣猜想出的結論是否一定正確？問：這樣猜想出的結論是否一定正確？例例2 類比實數(shù)的加法和乘法類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運算性質列出它們相似的運算性質.類比角度類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的加法實數(shù)的乘法實數(shù)的乘法運算結果運算結果若若a,bR,則則a+bR運算律運算律(交換律和交換律和結合律結合律)a+b

4、=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運算逆運算加法的逆運算是減法加法的逆運算是減法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a單位元單位元a+0=a若若a,bR,則則abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運算是除法乘法的逆運算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a. . .試將平面上的圓與空間的球進行類比試將平面上的圓與空間的球進行類比例例3、試將平面上的圓與空間的球進行類比、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點球的定

5、義：到一個定點的距離等于定長的點的集合的集合.圓圓弦弦直徑直徑周長周長面積面積球球截面圓截面圓大圓大圓表面積表面積體積體積圓的概念和性質圓的概念和性質球的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點以點(x(x0 0,y,y0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點的連線中點的連線垂直于弦垂直于弦球心

6、與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓心的連線垂直于截面的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點以點(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質類比得出球的性質利用圓的性質類比得出球的性質球的體積球的體積3 3

7、4 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的周長圓的周長 S = 2RS = 2R圓的面積圓的面積2 2S =RS =R直角三角形直角三角形C C90902 2條直角邊條直角邊a a，b b和和1 1條斜邊條斜邊c c3個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三個兩兩垂直的面三個兩兩垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1個個“斜面斜面” ” S S例題例題4：類比平面內直角三角形的勾股定理，類比平面內直角三角形的勾股定理， 試給出空間中四面體性質的猜想。試給出空間中四面體性質的猜想。ABC

8、bacs1s3PEF的面積為的面積為SPEs2F2322212ssss Mabc2322212ssss ,212121,2222322baabDMDMbaDMEFabsbaEF由題知PEF的面積為的面積為S222222)(cbaabPDDMPM222222222222222222222414141)()(41)()(4121cbbacacbababacbaabbaPMEFS232221sss 2322212ssss 下面證明猜想是否成立：下面證明猜想是否成立：,cDPbDFaED證明：設過過D點作點作DMEF,垂足為垂足為M，連接，連接PM，則，則PMEFPEFMacb1S2S3S 變式練習：

9、在變式練習：在三角形三角形ABC中有結論：中有結論：AB+BCAC，類似類似地在四面體地在四面體P-ABC中中有有 .PABCS1S2S3PAB的面積為的面積為SSSSS 321PAPBPCPA PB PC （2004廣東，廣東，15） 由圖由圖(1)有面積關系有面積關系:則由圖則由圖(2)有體積關系有體積關系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C圖圖(1)圖圖(2)練習練習3.在平面上在平面上,設設ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三條邊上的三條邊上的高高.P為三角形內任一點為三角形內任一點,P到相應三邊的距離分別為到相應三邊

10、的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結論我們可以得到結論:試通過類比試通過類比,寫出在空間中的類似結論寫出在空間中的類似結論.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空間中空間中圖圖形形結結論論1ccbbaahphphp1abcdabcdpppphhhhABCPpapbpcABCDPn123(1)1f n=1時時,123(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f 123(3)7f n=3時時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f 1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)fn=3時時,123(3)f 15 n=4時時,n=3時

11、時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1 (3)f(4)f (4)f 15n=4時時,n=3時時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1,1( )2 (1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 歸納歸納:( )21nf n 從具體問從具體問題出發(fā)題出發(fā)觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想通俗地說，合情推理是指通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理歸納推理歸納推理類比推理類比推理1、運用類比方法解決問題，其基本過程可用框圖、

12、運用類比方法解決問題，其基本過程可用框圖 表示如下：表示如下：原問題原問題類比問題類比問題原問題解法原問題解法類比問題的解法類比問題的解法猜想類比2、運用類比法的關鍵是：、運用類比法的關鍵是：尋找一個合適的尋找一個合適的類比對象。類比對象。附加題附加題( (20112011上海上海) )已知兩個圓已知兩個圓x x2 2+y+y2 2=1:=1:與與x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,則由則由式減去式減去式可得上述兩式可得上述兩圓的對稱軸方程圓的對稱軸方程. .將上述命題在曲線仍然為將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣圓的情況下加以推廣, ,即要求得到一個更一即要求得到一個更一般的命題般的命題, ,而已知命題應成