高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性與最值習題及詳解

1、高中數(shù)學高考總復習函數(shù)的單調(diào)性與最值習題及詳解一、選擇題1已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)·f(b)<0，則f(x)0在a，b內(nèi)()A至少有一實數(shù)根 B至多有一實數(shù)根C沒有實數(shù)根 D有唯一實數(shù)根答案D解析函數(shù)f(x)在a，b上是單調(diào)減函數(shù)，又f(a)，f(b)異號f(x)在a，b內(nèi)有且僅有一個零點，故選D.2(2010·北京文)給定函數(shù)yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是()A BC D答案B解析易知yx在(0,1)遞增，故排除A、D選項；又ylog(x1)的圖象是由ylogx的圖象向左平移一個單位得到的，

2、其單調(diào)性與ylogx相同為遞減的，所以符合題意，故選B.3(2010·濟南市模擬)設y10.4，y20.5，y30.5，則()Ay3<y2<y1 By1<y2<y3Cy2<y3<y1 Dy1<y3<y2答案B解析y0.5x為減函數(shù)，0.5<0.5，yx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，0.4<0.5，y1<y2<y3，故選B.4(2010·廣州市)已知函數(shù)，若f(x)在(，)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,2) B(2,3)C(2,3 D(2，)答案C解析f(x)在R上單調(diào)增，2<a3，故選C.5

3、(文)(2010·山東濟寧)若函數(shù)f(x)x22xalnx在(0,1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa0 Ba0Ca4 Da4答案D解析函數(shù)f(x)x22xalnx在(0,1)上單調(diào)遞減，當x(0,1)時，f (x)2x20，g(x)2x22xa0在x(0,1)時恒成立，g(0)0，g(1)0，即a4.(理)已知函數(shù)ytanx在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是()A0<1 B1<0C1 D1答案B解析tanx在上是減函數(shù)，<0.當<x<時，有<x<，1<0.6(2010·天津文)設alog54，b(log53)2，clog4

4、5，則()Aacb BbcaCabc Dbac答案D解析1>log54>log53>0，log53>(log53)2>0，而log45>1，c>a>b.7若f(x)x36ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2)，則a的取值范圍是()A(，0 B2,2C2 D2，)答案C解析f (x)3x26a，若a0，則f (x)0，f(x)單調(diào)增，排除A；若a>0，則由f (x)0得x±，當x<和x>時，f (x)>0，f(x)單調(diào)增，當<x<時，f(x)單調(diào)減，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)，從而2，a2.點評f(x)的單調(diào)

5、遞減區(qū)間是(2,2)和f(x)在(2，2)上單調(diào)遞減是不同的，應加以區(qū)分8(文)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)，若f()0，則適合不等式f(logx)>0的x的取值范圍是()A(3，) B(0，)C(0，) D(0，)(3，)答案D解析定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)，且f()0，則由f(logx)>0，得|logx|>，即logx>或logx<.選D.(理)(2010·南充市)已知函數(shù)f(x)圖象的兩條對稱軸x0和x1，且在x1,0上f(x)單調(diào)遞增，設af(3)，bf()，cf(2)，則a、b、c的大小關系是()Aa>

6、b>c Ba>c>bCb>c>a Dc>b>a答案D解析f(x)在1,0上單調(diào)增，f(x)的圖象關于直線x0對稱，f(x)在0,1上單調(diào)減；又f(x)的圖象關于直線x1對稱，f(x)在1,2上單調(diào)增，在2,3上單調(diào)減由對稱性f(3)f(1)f(1)<f()<f(2)，即a<b<c.9(2009·天津高考)已知函數(shù)f(x)若f(2a2)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案C解析x0時，f(x)x24x(x2)24單調(diào)遞增，且f(x)0；當x<0時，f(x

7、)4xx2(x2)24單調(diào)遞增，且f(x)<0，f(x)在R上單調(diào)遞增，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，2<a<1.10(2010·泉州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，當x<0時，f(x)>0，則函數(shù)f(x)在a，b上有()A最小值f(a)B最大值f(b)C最小值f(b)D最大值f答案C解析令xy0得，f(0)0，令yx得，f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)對任意x1，x2R且x1<x2，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)在

8、R上是減函數(shù)，f(x)在a，b上最小值為f(b)二、填空題11(2010·重慶中學)已知函數(shù)f(x)ax4(a，b為常數(shù))，f(lg2)0，則f(lg)_.答案8解析令(x)ax，則(x)為奇函數(shù)，f(x)(x)4，f(lg2)(lg2)40，(lg2)4，f(lg)f(lg2)(lg2)4(lg2)48.12偶函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞減，且f(x)在2，k上的最大值點與最小值點橫坐標之差為3，則k_.答案3解析偶函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞減，f(x)在0，)上單調(diào)遞增因此，若k0，則k(2)k2<3，若k>0，f(x)在2,0上單調(diào)減在0，k上單調(diào)增，最小值為f(

9、0)，又在2，k上最大值點與最小值點橫坐標之差為3，k03，即k3.13函數(shù)f(x)在(，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案解析f(x)a在(，3)上是減函數(shù)，3a1<0，a<.14(2010·江蘇無錫市調(diào)研)設a(0<a<1)是給定的常數(shù)，f(x)是R上的奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，若f0，f(logat)>0，則t的取值范圍是_答案(1，)(0，)解析f(logat)>0，即f(logat)>f，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，logat>，0<a<1，0<t<.又f(x)為奇函數(shù)，ff0，f(loga

10、t)>0又可化為f(logat)>f，奇函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)在(，0)上為增函數(shù)，0>logat>，0<a<1，1<t<，綜上知，0<t<或1<t<.三、解答題15(2010·北京市東城區(qū))已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的取值集合解析(1)要使f(x)loga(x1)loga(1x)有意義，則，解得1<x<1.故所求定義域為x|

11、1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值集合是x|0<x<116(2010·北京東城區(qū))已知函數(shù)f(x)loga是奇函數(shù)(a>0，a1)(1)求m的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若當x(1，a2)時，f(x)的值域為(1，)，求實數(shù)a的

12、值解析(1)依題意，f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，即logaloga0，·1，(1m2)x20恒成立，1m20，m1或m1(不合題意，舍去)當m1時，由>0得，x(，1)(1，)，此即函數(shù)f(x)的定義域，又有f(x)f(x)，m1是符合題意的解(2)f(x)loga，f (x)logae·logae若a>1，則logae>0當x(1，)時，1x2<0，f (x)<0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，即(1，)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；由奇函數(shù)的性質知，(，1)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間若0<a<1，則logae<0當x

13、(1，)時，1x2<0，f (x)>0，(1，)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；由奇函數(shù)的性質知，(，1)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(3)令t1，則t為x的減函數(shù)x(1，a2)，t且a>3，要使f(x)的值域為(1，)，需loga1，解得a2.17(2010·山東文)已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR)(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當a時，討論f(x)的單調(diào)性解析(1)a1時，f(x)lnxx1，x(0，)f (x)，x(0，)，因此f (2)1，即曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為1.又f(2)ln22，所以yf(x)在

14、(2，f(2)處的切線方程為y(ln22)x2，即xyln20.(2)因為f(x)lnxax1，所以f (x)ax(0，)令g(x)ax2x1a，當a0時，g(x)1x，x(0，)，當x(0,1)時，g(x)>0，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)<0，此時f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當a0時，f (x)a(x1)x(1)，()當a時，g(x)0恒成立，f (x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；()當0<a<時，1>1>0，x(0,1)時，g(x)>0，此時f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x(1，1)時，g(x)<0，此時f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x(1，)時，g(x)>0，此時f (x)<0，f(x