高中數(shù)學(xué)過圓錐曲線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)切線的一個性質(zhì)論文

1、 過圓錐曲線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)切線的一個性質(zhì) 經(jīng)過圓的直徑兩端點(diǎn)的切線是平行直線，這是一個眾所周知的結(jié)論，那么經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線是否也有很優(yōu)美的結(jié)論呢？本人經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線確實(shí)有很好的性質(zhì)，下面就對標(biāo)準(zhǔn)位置的圓錐曲線過焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)切線性質(zhì)作一研究。 我們先來研究拋物線的性質(zhì)性質(zhì)一：過拋物線焦點(diǎn)的弦AB兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡是相應(yīng)的準(zhǔn)線,且是定值證明：設(shè)拋物線的方程為（），過焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為，設(shè)，則過兩點(diǎn)的切線的方程分別為ABPFNCD由得.M因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以，即.當(dāng)然證明，也可以用拋物線的光學(xué)性質(zhì)來證顯得更為簡潔.過作軸，過作X軸 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知：

2、即 即利用平幾知識及拋物線定義容易得到.（證明略）拋物線有上述性質(zhì)，那么橢圓、雙曲線是否也有類似的性質(zhì)呢？經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)確實(shí)存在類似的性質(zhì)性質(zhì)二：過橢圓焦點(diǎn)的弦（不與長軸重合）兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線，且的取值范圍為(為橢圓的離心率) 性質(zhì)三：若過雙曲線焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),過兩點(diǎn)的雙曲線的切線的交點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線（除去該準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)）,且當(dāng)在同一支上時的取值范圍為；當(dāng)在兩支上時的范圍是.(為雙曲線的離心率) 先證明性質(zhì)二： 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)弦（不與長軸重合）兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過兩點(diǎn)的切線的方程分別為：由得 （*）由，三點(diǎn)共線 所以 代入（*）得，即點(diǎn)

3、的軌跡是焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線下面證明的取值范圍為：不失一般性設(shè)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方,即則即為的角.，的角的正切值為 =設(shè)所在直線為代入橢圓方程即得 化簡整理得 ， 又因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)故 的取值范圍是即下面證明性質(zhì)三： 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，過兩點(diǎn)的切線分別為，其方程分別為：APBF由得（*）由，三點(diǎn)共線 ， 所以 代入（*）得（）即點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線（除去準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)）下面證明的取值范圍：(1)當(dāng)在同一支上時，不失一般性設(shè)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，即,則即為到的角.如圖所示，到的角的正切值為 = 設(shè)所在直線為, 因?yàn)樵谕恢?所以 ，將代入雙曲線方程化簡整理得， 又， 因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)， 故 的取值范圍是即(2)當(dāng)不在在同一支上時，不失一般性設(shè)點(diǎn)在右支、點(diǎn)在左支，根據(jù)對稱性先考慮的情況，則即為到的角，如圖所示：，到的角的正切值為APBF =. 設(shè)所在直線為, 因?yàn)樵趦芍锨?，所? 將代入雙曲線方程化簡整理得,. 又.,. 因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)， 故 的取值范圍是根據(jù)對稱性知當(dāng)時上述結(jié)論也成立所以當(dāng)在兩支上時 的取值范