高中數(shù)學常見難題

1、1、 已知正三棱錐SABC的高SO為3，底面邊長為6，過A向它所對側面SBC作垂線，垂足為O，在AO上取一點P，使APPO=8，求經過P點且平行底面的截面的面積分析：本題的關鍵在于求出過P平行于底的截面到頂點的距離與底面到頂點的距離之比解答：如圖1013，因SABC是正三棱錐，所以O是正三角形ABC的中心連結AO延工交BC于D，則D是BC的中點，故BCAD，BCSD，因而BC平面SAD，從而平面ASD平面SBC又AO平面SBC，故SO在平面SAD內，因而O在SD上，于是由設過P作平行于底的平面與SD的交點為O1，則于是故所求截面面積2、 設正三棱錐PABC的高為PO，M為PO的中點，過AM作與

2、棱BC平行的平面，將正三棱錐截成上、下兩部分，試求兩部分體積之比分析：設過AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（EPB，F(xiàn)PC），要求兩部分體積之比，只要求VPABC=SPEFSPBC解答：如圖1014，過設AM且平行BC的平面與棱PB、PC分別交于E、F則EF/BC連結AO并延長交BC于D，則D為BC的中點，連結PD交EF于G，則因A到平面PEF的距離即為A到平面ABC的距離，所以在PAD中，過O作PD的平行線，交AG于N因為M為PO的中點，故|ON|=|PG|，故，因而，故所求上下兩部分體積之比為3、四面體ABCD被平面所截，對棱AB，CD都與平行且與等距，設截得截面四邊形的面積為S，對

3、棱AB與CD的距離為h，求這個四面體ABCD的體積分析：利用“等底、等高的兩個四面體的體積相等”將四面體添加幾個等體積的四面體，構成一個平行六面體來計算解答：過四面體ABCD的各棱分別作與其對棱平行的平面，六個平面相交得一平行六面體AC1BD1A1CB1D（如圖1015）此時VABCD等于平行六面體的體積V減去四個彼此等積的三棱錐的體積，這四個三棱錐分別是AA1CD，BB1DC，CC1AB，DD1AB因為這四個三棱錐的底面積為平行六面體底面積的，其高與平行六面體的高相等，故每一個三棱錐的體積等于于是由于AB，CD與截面等距，如圖1015可知K，L，M，N分別是AA1，CC1，BB1，DD1的中

4、點，易知，而h就是平面AC1BD1與平面A1CB1D的距離，所以說明：利用“等積”進行割補，是解決多面體體積問題的一個有效方法例1、已知x、yR，求證：證明：這三者可視為如圖中AB、BC、CD三條線段的長度顯然|AB|BC|CD|AD|=所以評述：二次根式內是一個二次式，常構造圖形，利用余弦定理證明同法可證：例3、函數(shù)f (x)在0，1上有定義，f (0)= f (1) 如果對于任意不同的x1，x20，1，都有|f (x1)f (x2)|<|x1x2|求證：對于任意明：不妨設0x1x21（1）若，則命題成立（2）若，根據條件f (0)= f (1)得|f (x2)f(x1)|=|f (1)f (x2)f (x1)f (0)| f (1)f (x2)| f (x1)f (0)|<1x2x10=1(x2x1)<命題同樣得證綜上命題成立 例5、已知n2，證明：證明：（1）顯然是n的增函數(shù)（2）思路分析：易猜出時，A、B、C中任兩者不等時，證明：我們先假定C是常量，于是AB=C也是常量顯然，當A=B時，上式達到最大值因此，只要A、B、C中任意兩個不等，表達式sinAsinBsinC就沒有達到最大值因而，當時，sinAsinBsinC取到最大值，不等式得