高中文科數(shù)學直線和圓方程復習

1、第六講、直線和圓的方程四、 平面解析幾何初步   （一）直線與方程    1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。    2.理解直線的傾斜角和斜率的概念及相互間的關(guān)系，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。    3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。    4.掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。    5.會求兩直線的交點坐標。  

2、  6.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。  （二）圓與方程    1.掌握圓的標準方程與一般方程。    2.能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。    3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。    4.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題。  （三）空間直角坐標系    1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置。    2.了解空間

3、兩點間的距離公式。直線方程1數(shù)軸上兩點間距離公式：2直角坐標平面內(nèi)的兩點間距離公式：3直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角當直線和x軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°可見，直線傾斜角的取值范圍是0°180°4直線的斜率：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tan（90°）傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是（，+）5直線的方向

4、向量：設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率特別地，垂直于軸的直線的一個方向向量為(0,1)6求直線斜率的方法定義法：已知直線的傾斜角為，且90°，則斜率k=tan公式法：已知直線過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，則斜率k=方向向量法：若=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=平面直角坐標系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率對于直線上任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），當x1=x2時，直線斜率k不

5、存在，傾斜角=90°；當x1x2時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且k0時，=arctank；k0時，=+arctank7直線方程的五種形式點斜式：， 斜截式：，兩點式：，截距式：，一般式：兩直線的位置關(guān)系1特殊情況下的兩直線平行與垂直當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直2斜率存在時兩直線的平行與垂直：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平

6、行，即=且已知直線、的方程為：，：的充要條件是兩條直線垂直的情形：如果兩條直線的斜率分別是和，則這兩條直線垂直的充要條件是已知直線和的一般式方程為：，：，則3直線到的角的定義及公式：直線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)的角,叫做到的角到的角：0°180°，如果如果，4直線與的夾角定義及公式:到的角是,到的角是-,當與相交但不垂直時,和-僅有一個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角當直線時,直線與的夾角是夾角：0°90°如果如果，5兩條直線是否相交的判斷兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：是否有惟一解6點到直線距離公式：點到直線的距

7、離為：7兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為8 直線系方程:若兩條直線：，：有交點，則過與交點的直線系方程為或+ (為常數(shù))簡單的線性規(guī)劃及實際應用1二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點P（x0，y0）B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)當B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示

8、直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域2線性規(guī)劃:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y； （2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標函數(shù)z=f（x，y）； （4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可

9、行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案曲線和方程1平面解析幾何研究的主要問題：根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)2“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線3求簡單的曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P的點M的集合；（3）用坐標表示條件P（M），列出方程;（4）化

10、方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點4由方程畫曲線(圖形)的步驟：討論曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸和原點)；求截距：討論曲線的范圍；列表、描點、畫線5交點：求兩曲線的交點，就是解這兩條曲線方程組成的方程組6曲線系方程：過兩曲線f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交點的曲線系方程是f1(x，y)f2(x，y)=0(R)求軌跡有直接法、定義法和參數(shù)法，最常使用的就是參數(shù)法圓的方程1圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓2圓的標準方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標準方程為3圓的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+）

11、2+（y+）2=把方程其中，半徑是，圓心坐標是叫做圓的一般方程（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點：x2、y2項系數(shù)相等且不為零 沒有xy項（2）當D2+E24F=0時，方程（*）表示點（，）；當D2+E24F0時，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程4圓的參數(shù)方程圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程是：圓心在點，半徑為的圓的參數(shù)方程是：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把這兩個方程相對于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件若二

12、元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓，則有A=C0，B=0，這僅是二元二次方程表示圓的必要條件，不充分在A=C0，B=0時，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0，僅當D2+E24AF0時表示圓故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：A=C0，B=0，D2+E24AF06 線段AB為直徑的圓的方程： 若，則以線段AB為直徑的圓的方程是7經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程：經(jīng)過，的交點的圓系方程是：在過兩圓公共點的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程 8 經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程：經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程是：9確定圓需三個獨立的條件（1）標

13、準方程： ， （2）一般方程：，（對稱問題1點關(guān)于點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標公式的應用問題設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對稱點為P（2ax0，2by0）2點關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對頂點的坐標一般情形如下：設(shè)點P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P（x，y），則有，可求出x、y特殊地，點P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點為P（2ax0，y0）；點P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對稱點為P（x0，2b

14、y0）3曲線關(guān)于點、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題：一般是轉(zhuǎn)化為點的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉(zhuǎn)化）一般結(jié)論如下：（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點為P（x0，y0），P點關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P（y，x），則由（2）知，P與P的坐標滿足從中解出x0、y0，代入已知曲線f（x，y）=0，應有f（x0，y0）=0利用坐標代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

15、1研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法：判別式法；考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。直線與圓的位置關(guān)系有三種，若，則 ; ; 2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，3直線和圓相切：這類問題主要是求圓的切線方程求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況過圓上一點的切線方程：圓為切點的切線方程是。當點在圓外時，表示切點弦的方程。一般地，曲線為切點的切線方程是：。當點在圓外時，表示切點弦的方程。這個結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規(guī)過程去做。過圓外一點的切

16、線方程：4直線和圓相交：這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題5經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程：經(jīng)過，的交點的圓系方程是：。在過兩圓公共點的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程6 經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程：經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程是：7幾何法: 比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小8代數(shù)法: 討論圓的方程與直線方程的實數(shù)解的組數(shù)直線與圓練習題 一、選擇題：1. 已知過、兩點的直線與直線平行，則的值為（ ）A. -10 B. 2 C.5 D.172. 設(shè)直線的傾角為，則它關(guān)于軸對稱的直線的傾角是（ ）.B. C.D.3. 已知過兩點的直線與直線垂直，則的值（ ）A.4 B.-8 C.2

17、D.-1 4. 若點到點及的距離之和最小，則的值為（ ）A. B. 1 C. 2 D. 5. 不論為何值，直線恒過的一個定點是（ ）A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圓上與直線的距離等于的點共有（ ）A1個 B2個 C3 個 D4個7. 在RtABC中, A90°, B60°, AB=1, 若圓O的圓心在直角邊AC上, 且與AB和BC所在的直線都相切, 則圓O的半徑是（ ）A. B. C. D.8. 圓上的點到直線的距離的最大值是（ ）A. B. C D. 9. 過圓上一點的圓的切線方程為（ ）A. B. C. D. 10. 已知點是圓

18、：內(nèi)一點，直線是以為中點的弦所在的直線，若直線的方程為，則（ ）A且與圓相離 B且與圓相交C與重合且與圓相離 D且與圓相離二、填空題：11. 若直線沿x軸正方向平移2個單位，再沿y軸負方向平移1個單位，又回到原來的位置，則直線的斜率=_ 12. 斜率為1的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為13. 已知直線過點P(5,10),且原點到它的距離為5,則直線的方程為.14. 過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程是 15. 已知圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為三、解答題：16. 求經(jīng)過直線l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0的交點M,且滿足下列條件的直線方程：()經(jīng)過原點; ()與直線2x+y+5=0平行; ()與直線2x+y+5=0垂直.17. 已知ABC的兩個頂點A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求頂點C的坐標18. 已知圓C：內(nèi)有一點P（2，2），過點P作直線交圓C于A、B