#華理高數(shù)全部復習資料

1、第4章導數(shù)的使用內(nèi)容提要本章以導數(shù)和微分學的一些基本結論為工具，討論了函數(shù)性態(tài)的研究，最值計算，相關變化率，平面曲線曲率，導數(shù)在經(jīng)濟學中的使用等五個問題，其主要內(nèi)容和結論可歸為以下幾個方面。(一)函數(shù)性態(tài)的研究1函數(shù)的單調(diào)性設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間可導，若在注意：保證嚴格單調(diào)增加的條件可以放寬為放寬為，且使的點不形成區(qū)間。2. 函數(shù)的局部極值(1) 極值點的定義：若函數(shù)在點的某鄰域上有(或)，則在上嚴格單調(diào)增加(或嚴格單減)。，且使的點不形成區(qū)間，對嚴格單調(diào)減的情形，條件可極大值(或極小值)，稱為的嚴格極大點(或極小點)替，則稱為非嚴格意義下的極值。(2) 極值點的必要條件：函數(shù)(3) 判

2、別極值得充分條件一階充分條件：設在(i) 若當時，；當(ii) 若當時，；當(iii) 若在的兩旁，有定義，且對一切成立(或)，則稱在取得嚴格。若將“<”(或“>”)用“”(或“”)代的極值點必定是它的駐點或不可微點。處連續(xù)，并且在的某去心鄰域內(nèi)可導，則有以下結論成立：時，則在處取得極大值。時，則在處取得極小值。不變號，則在處不取得極值。，存在，則有以下結論成立：若，則二階充分條件：設在點的某鄰域內(nèi)可導，點。若，貝U是函數(shù)的極小值點。若，則對無明確結論。3. 函數(shù)的凹凸性和拐點(1) 函數(shù)的凹凸性的定義如果在上，曲線始終位于區(qū)間內(nèi)任意一點處切線的上方(或下方)的)。(2)(a)(b

3、)(c)(3)函數(shù)稱為上的凸函數(shù)(或凹函數(shù))。凸函數(shù)的性質若是上的凸函數(shù)，則對任意及有若是上的凸函數(shù)，并且在上可導，則在上單調(diào)不減。若是上的凸函數(shù)，則對任意不相等的及，有。凹凸性判別的充分條件是函數(shù)的極大值，則稱該曲線在上是凸的(或凹設在上二階可導，若在上，若在上，則在上是凹的。(4)拐點拐點的定義：若連續(xù)曲線拐點的必要條件：若點拐點判別的充分條件：設符號發(fā)生改變，則點旦4.函數(shù)作圖的步驟(1) 確定函數(shù)的定義域及某些幾何特性(如奇偶性，周期性等)，求出及。(2) 在函數(shù)的定義域內(nèi)求出方程和的根，以及一階，二階導數(shù)不存在的點，并把這些點作為分界點將定義域劃分成若干個部分區(qū)間。(3) 列表并在每

4、一個部分區(qū)間內(nèi)確定，的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間,局部極值點以及拐點。(4) 確定函數(shù)圖形的漸近線。，則在上是凸的;在點是曲線為曲線的拐點。不存在的點。的近旁發(fā)生凹凸性改變，則稱點的拐點，貝U是使的點或者是使在的某鄰域內(nèi)二階可導(處可以不存在，但在處連續(xù))疋曲線的拐點。，若在的兩旁（5）標出函數(shù)極值點，拐點在圖形上的位置，結合（3）,（4）的結果，光滑的連接這些點作出的圖形。（二）函數(shù)的最值由于開區(qū)間內(nèi)的最值點也為極值點，所以在計算上的最值可按以下步驟進行：（1）求出在內(nèi)的所有駐點和導數(shù)不存在的點，即求出在內(nèi)的所有可能的極值點。（2）計算上述各可能極值點以及區(qū)間端點處的函數(shù)值。比較

5、以上各函數(shù)值的大小，最大者和最小者即為在上的最大值和最小值。在實際問題中，若由問題本身確定函數(shù)的最值存在，而可能的極值點又唯一，此時可確定該可能的極值點即為最值點。（三）相關變化率問題的處理方法根據(jù)具體問題建立變量間的關系式，通過對此關系式求導，求得變量間導數(shù)滿足的關系式，然后根據(jù)此式以及題意從已知變量的變化率推算所求變量的變化率。（四）平面曲線的曲率曲率的定義：1. 弧微分公式：（1）若曲線方程為，則，其中曲線弧的正向為參數(shù)從小到大描繪曲線的方向（否則根式前取負號）。（2）若曲線方程為，則。（3）若曲線方程為，則。2. 曲率計算公式：。3. 曲率半徑的計算公式：。（五）導數(shù)在經(jīng)濟學中的使用基

6、本概念邊際設函數(shù)在點處可導，則稱導數(shù)值為函數(shù)在點的邊際（函數(shù)），稱為函數(shù)在點的邊際（函數(shù)）值。成本函數(shù)表示產(chǎn)品數(shù)量為時所化費的總成本。平均成本函數(shù)邊際成本對于總成本函數(shù)，其中表示產(chǎn)量，則生產(chǎn)第個單位產(chǎn)品時所化的成本稱為邊際成本，邊際成本的記號及計算公式為。邊際收益當銷售價為，銷售量為時，總收益函數(shù)為，則其邊際收益為邊際利潤銷售件產(chǎn)品后總收益和總成本之差為總利潤，記為，其邊際利潤為。1. 彈性分析彈性設函數(shù)在點處可導，函數(shù)的相對改變量（），和自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)在和之間的平均彈性。函數(shù)在點的彈性為。需求價格彈性。若，漲價則引起收入減少；若，漲價則引起收入增加。收益價格彈性。復習指導：第

7、4章導數(shù)的使用學習指導本章的內(nèi)容較多，但主要的習題可分為三類問題：1. 直接求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，凹凸區(qū)間，拐點，曲率等；利用單調(diào)性，最值，凹凸性證明不等式；求相關變化率，最值等的使用題。解以上問題的要點是：1. 正確地計算出各階導數(shù)；對各個基本概念的理解要準確；2. 對增或減，凹和凸，極大和極小的判別法要正確使用；證不等式時，要通過恒等變形選取合適的輔助函數(shù)，通過是否變號來確定是用單調(diào)性還是用最值證不等式，有時可能需要通過的符號來判別的符號。3. 凸函數(shù)的常用不等式為：（a）；（b），其中。第5章積分一、定積分1定積分的定義設函數(shù)在上有定義，在區(qū)間內(nèi)任意插入個分點記，若極限存在（極限

8、值和的分法無關，和的取法無關）,則稱此極限值為在上的定積分，記為，同時稱在上可積.函數(shù)在上可積的必要條件是：在上有界.函數(shù)在上可積的充分條件是：在上連續(xù)或分段連續(xù).2定積分的幾何意義由曲線，直線和軸所界的各個圖形面積的代數(shù)和（如圖），其中軸上方圖形的面積帶“”號，軸下方圖形的面積帶“”號.3定積分的性質以下性質都是針對函數(shù)在所示區(qū)間上可積而言（1）.，其中為常數(shù).，（5）.（定積分運算對被積函數(shù)的保序性）若在上，則特別有.（6）.（定積分的估值定理）若在上，則.（定積分的中值定理）若在上連續(xù)貝U，使.二、不定積分1原函數(shù)和不定積分的定義（1）設是定義在某區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，使在該區(qū)間上成

9、立（或），則稱是在此區(qū)間上的一個原函數(shù)若和是的兩個原函數(shù)，則，其中是某儀個常數(shù).因此，若是的一個原函數(shù)，則原函數(shù)的全體可表達成.（2）（原函數(shù)存在定理）連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)必定存在.（3）若函數(shù)在區(qū)間上存在原函數(shù)，則其任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)（4）稱原函數(shù)的一般表達式為的不定積分，記為.（5）微分運算和積分運算是一對互逆的運算，即有（i），或；（ii），或.2基本積分公式三、微積分基本定理（1）（微積分第一基本定理）若在上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)在上可微，且.由定理可知，若在上連續(xù)貝y是在上的一個原函數(shù)(2)(微積分第二基本定理)若在上連續(xù)，是的任意一個原函數(shù)，則牛頓-萊布尼茲公式復習指導：第5章積分一、關于微積分第一基本定理若在上連續(xù)，可微函數(shù)的值域均含于，則有若題中含變限積分，則一般離不開變上限定積分求導要能熟練利用變上限定積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù)，請看下例例證明：連續(xù)奇函數(shù)的一切原