一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量 三、兩個常用的分布三、兩個常用的分布 四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立3.3 多維隨機(jī)變量及其分布五、小結(jié)五、小結(jié)n 維隨機(jī)變量的概維隨機(jī)變量的概念念1212 , ,(),(),(),(),(),().nnEnnn 設(shè)是一個隨機(jī)試驗(yàn)它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量 由它們構(gòu)成的一個維向量叫做維隨機(jī)向量或維隨機(jī)變量定義定義3.3 元元函函數(shù)數(shù)個個實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對對于于任任意意nxxxnn,2112(,).n稱 為 隨 機(jī) 變 量的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)121122( ,

2、),nnnF x xxPxxx1122() ()()nnPxxx圖示圖示 （ ）( ) , ,( )( ),( , ),.E 設(shè) 是一個隨機(jī)試驗(yàn) 它的樣本空間是設(shè)和是定義在上的隨機(jī)變量由它們構(gòu)成的一個向量叫作二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義定義2.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) (1)分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義 ( , ), ,: ( , )()(),( , ),.x yF x yPxyPxy 設(shè)是二維隨機(jī)變量 對于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 或稱為隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合分布函數(shù)xoy),(yx , xy. ),(域域內(nèi)內(nèi)的的概概率率在

3、在如如圖圖所所示示區(qū)區(qū)的的函函數(shù)數(shù)值值就就是是隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)落落yxF(2) 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 時時當(dāng)當(dāng)意意固固定定的的即即對對于于任任的的不不減減函函數(shù)數(shù)和和是是變變量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 時時當(dāng)當(dāng)對對于于任任意意固固定定的的, 1),(02o yxF, y對對于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx且有且有,x對對于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFyx. 1),(lim),( yxFFyxo3( , )(0, ),

4、( , )( ,0),( , ),.F x yF xyF x yF x yF x yxy即關(guān)于左連續(xù) 關(guān)于也左連續(xù)xoyyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 對對于于任任意意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有證明證明1212,P xxyy , 0 212,PxyYy22,Pxy. 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故112,Px yy 21,Pxy12,Pxy11,Pxy05 邊際分布函數(shù)( , )F x y 若二維隨機(jī)變量（ ， ）的聯(lián)合分布函數(shù)已知，則其兩個分量 與可由F(x,y)求得：(x)

5、(,)( ,)FPxF x ( ),( )( ,)FxFyF x y 我們稱是聯(lián)合分布的邊際分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。(y)(,)( , )FPyFy ( , )( , ),( , ),( , )( , ) d d( , ),( , )( , ),.yxF x yp x yx yF x yp u vu vp x y 對于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)如果存在非負(fù)的函數(shù)使對于任意有則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量 函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的概率密度 或稱為隨機(jī)變量 和的聯(lián)合概率密度1.定義定義3.4二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量.),(dd),()(12 Fyxyxp( , )( , ) d d .GPGp x yxy .

6、),()(01 yxp2.性質(zhì)性質(zhì)(3),( , )G xOyG 設(shè) 是平面上的一個區(qū)域點(diǎn)落在 內(nèi)的概率為2( , )(4)( , ) ( , ),( , ).F x yp x yx yp x yx y 若在連續(xù)則有p( , )x y 若二維連續(xù)隨機(jī)變量（ ， ）的聯(lián)合密度函數(shù)已知.xx( x )(=(,)(,) =(,)(,)FPxPxFxpddpdd 則）(x)(x)( , )FFP xd 可知是一個連續(xù)型分布函數(shù)，其密度函數(shù) P （x)()Fy- 同 理也 是 連 續(xù) 型 分 布 函 數(shù) ，其 密 度 函 數(shù) ： p ( y ) =p (, y ) d( ),(y)pxp 我們稱為二維隨

7、機(jī)變量的邊際分布密度函數(shù)。表示介于表示介于 p(x, y)和和 xOy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1.( ,)( ,) ddGPGp x yxy ,dd),(1 yxyxp 3.說明說明( , ) ,( , ).PGGzp x y 的值等于以 為底 以曲面為頂面的柱體體積.),(,表表示示空空間間的的一一個個曲曲面面幾幾何何上上yxpz 例例 1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為（ ， ）2(),0,0( , )0,x yCexyp x y 其它求求(1) 常數(shù)常數(shù)C; (2) 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x,y); 解解 (1)

8、因?yàn)橐驗(yàn)?1),(dxdyyxf所以所以2()0022001C1 12 2C=4x yxyedxdyCedxedyC 則) y3.邊際分布函數(shù)F(x),F （ 及相應(yīng)的邊際密度；4求（ ， ）落在圖中區(qū)域G內(nèi)的概率2()22004(1)(1),0,00 xyx yxyedxdyeexy 其它（3）2 ()00()(,)4,00,0 xxFxpddeddxx 21,00 ,0 xexx( ,)xyfx y dxdy (2) F(x, y) =yy1-e,02e,0y)=,Py)=0,00,0yyyy-2-2同理可得F （(x)=F（2e,0P=0,0 xx-2x密度： (x)=F (x）( ,

9、)4.P( , )( ,)x yGGp x y dxdy 112()00122(1)20(4)2(1)1 3yx yyyedx dyeedye 1.均勻分布均勻分布定義定義 設(shè)設(shè) G 是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,其面積為其面積為 A,若二若二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 具有概率密度具有概率密度則稱則稱 在在 G上服從上服從均勻分布均勻分布.1,( ,),( ,)A0,.x yGp x y其它三、兩個常用的分布 （ ， ）（ ， ）2.二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量 具有概率密度具有概率密度 22222121212122121221121yyxxeyxp)()()()(

10、),(121212, ,0,0, 11. 其中為常數(shù)),( yx1212( ,),. 則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布 記為221212( ,) (,)N ( , ) 二維正態(tài)分布的圖形二維正態(tài)分布的圖形解解 令令則有,2211yvxu22221( )( , )11exp(2)2(1)21Xfxf x y dyuuvdv dvuveu)1 (2)(exp12121222212可見可見 例例2 設(shè)設(shè) 服從服從N(1,12,2,22,)，求邊緣密度。求邊緣密度。( , ) 1122 N (, ) , N (, ).2222()221()2yfye 類 似似 地地 有有222121221()2111()

11、2212utxfxeed te 2,1vutp令 定義定義3.5 四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性( ,),F ( ),( ),FF ( )( )F x yxFyx yx yxFy 設(shè)二維隨機(jī)變量（ ，）的聯(lián)合分布函數(shù)為又與的分布函數(shù)為若任意的（ , )有 ( , )=則稱隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的。 定理定理1 若若 的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度 處處連續(xù)，處處連續(xù)， 相互獨(dú)立的充分必要條件是相互獨(dú)立的充分必要條件是 ( , )( )( )( )( )xyF x ypu dupv dvFxFy 與( , ) p(x,y)( ,)( ).()p x ypxpy( ,)( ).(

12、 )x ypxpy解;充分性 已知p( ,)( ).()p x ypxpy故()( )( )( )xyxyppv dudvpu dupv dv p (,)xyu v dudv ( , )( ).( )F x yF x F y 設(shè) 與 相互獨(dú)立，則 必要性：必要性：221212( ,) (,0)N 若二維隨機(jī)變量，問 與是否獨(dú)立？22122212()()1212,)1(,)2xypxye 解：(有密度函數(shù)221111() /23.8( )2xpxe由例得 例3()(),px py顯然 p(x,y)= 則與相互獨(dú)立。=0同 樣 有 ： 若與相 互 獨(dú) 立 ， 則 必 有。222221() /2(

13、)2xpxe同理 222121結(jié)論：對二維正態(tài)分布N(, ),來說 =0是隨機(jī)變量 與相互獨(dú)立的充要條件。五、小結(jié)1. 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合二維隨機(jī)變量的聯(lián)合 分布函數(shù)分布函數(shù)(,),.Fx yPxyo21211(,)(,),xxF xyF xy當(dāng)時,1),(02o yxF.1),(lim),( yxFFyxo3( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xyF x yF x yF x yxy即關(guān)于左連續(xù) 關(guān)于也左連續(xù)2. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù).d),(),(vuvupyxFyxd .),()(01 yxp.),(dd),()(12 Fyxyxp2(,)( 4 )(,) .Fxypxyxy性質(zhì)：(3) ( , )( ,) ddGPGp x yxy 3.二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立1.FF ( )( )xFy與相互獨(dú)立(x,y)=2.( , )( ).( )p x yp x p y 若（ ， )是連續(xù)型，則 與 相互獨(dú)立2223.121=0是 N(,)的 變 量與相 互 獨(dú) 立 的 充 要 條 件 。解解,dd),()(11 yxyxp