章末綜合測評2　圓錐曲線與方程

1、章末綜合測評(二)圓錐曲線與方程(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在題中橫線上)1雙曲線1的兩條漸近線的方程為_【解析】由雙曲線方程可知a4，b3，所以兩條漸近線方程為y±x.【答案】y±x2若雙曲線x21的離心率為，則實數(shù)m_. 【導學號：95902166】【解析】a21，b2m，c21m，e，求得m2.【答案】23若方程1表示橢圓，則k的取值范圍為_【解析】由題意可知解得3k5且k4.【答案】(3,4)(4,5)4以y3為準線的拋物線的標準方程為_【解析】設(shè)拋物線的標準方程為x22py(p0)，則3，p6，則拋

2、物線方程為x212y.【答案】x212y5拋物線y22px(p0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p_. 【導學號：95902167】【解析】依題意，點Q為坐標原點，所以1，即p2.【答案】26橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若PF14，則PF2_，F(xiàn)1PF2的大小為_【解析】由橢圓的定義知PF1PF22a2×36，因為PF14，所以PF22.在PF1F2中，cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120°.【答案】2120°7已知A(0，1)、B(0,1)兩點，ABC的周長為6，則ABC的頂點C的軌跡方程是_【解析】2cAB2，c1，CACB6242a，頂點C

3、的軌跡是以A、B為焦點的橢圓(A、B、C不共線)因此，頂點C的軌跡方程1(y±2)【答案】1(y±2)8已知雙曲線1(a0，b0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_【解析】由雙曲線的漸近線bxay0與圓(x2)2y23相切得，由c2，解得a1，b.【答案】x219在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y28x的焦點恰好是雙曲線1的右焦點，則雙曲線的離心率為_. 【導學號：95902168】【解析】拋物線y28x的焦點為(2,0)，則雙曲線1的右焦點為(2,0)，即有c2，則a1，故雙曲線的離心率為e2.【答案】210已知拋物

4、線C：x2y，過點A(0，1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是_【解析】顯然t0，直線AB的方程為yx1，代入拋物線方程得2tx24xt0.由題意168t2<0，解得t<或t>.【答案】(，)(，)11若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為_【解析】橢圓的左焦點F為(1,0)，設(shè)P(x，y)，·(x，y)·(x1，y)x(x1)y2x2x3(x2)222x2，當x2時，·有最大值6.【答案】612一動圓與兩圓：x2y21和x2y26x50都外切，則動圓圓心的軌跡為_

5、. 【導學號：95902169】【解析】x2y21是以原點為圓心，半徑為1的圓，x2y26x50化為標準方程為(x3)2y24，是圓心為A(3,0)，半徑為2的圓設(shè)所求動圓圓心為P，動圓半徑為r，如圖，則PAPO1AO3，符合雙曲線的定義，結(jié)合圖形可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支【答案】雙曲線的一支13.如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是 _. 【導學號：95902170】圖1【解析】將y代入橢圓的標準方程，得1，所以x±a，故B，C.又因為F(c,0)，所以，.因

6、為BFC90°，所以·0，所以0，即c2a2b20，將b2a2c2代入并化簡，得a2c2，所以e2，所以e(負值舍去)【答案】14已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若FA2FB，則k_. 【解析】過A、B作拋物線準線l的垂線，垂足分別為A1、B1， 由拋物線定義可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B為AC的中點從而yA2yB，聯(lián)立方程組消去x得y2y160，消去yB得k.【答案】二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)已知拋物線C1的

7、頂點在坐標原點，它的焦點為雙曲線C2：1(a>0，b>0)的一個焦點F，若拋物線C1與雙曲線C2的一個交點是M.(1)求拋物線C1的方程及其焦點F的坐標；(2)求雙曲線C2的方程及離心率e. 【導學號：95902171】【解】設(shè)拋物線C1的方程為y22px(p0)，因為圖象過點M，則有2p×，所以p2，則拋物線C1的方程為y24x，焦點F的坐標為(1,0)(2)由雙曲線C2過點M以及焦點為(1,0)和(1,0)，由雙曲線的定義可知2a，所以a，b2 ，所以雙曲線C2的方程為9x2y21，離心率e3.16(本小題滿分14分)橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為2.一雙曲

8、線和該橢圓有公共焦點，且雙曲線的半實軸長比橢圓的半長軸長小4，雙曲線離心率與橢圓離心率之比為73，求橢圓和雙曲線的方程【解】焦點在x軸上，橢圓為1(a>b>0)，且c.設(shè)雙曲線為 1(m>0，n>0)，ma4.因為，所以，解得a7，m3.因為橢圓和雙曲線的焦半距為，所以b236，n24.所以橢圓方程為1，雙曲線方程為1.焦點在y軸上，橢圓方程為1，雙曲線方程為1.17(本小題滿分14分)如圖2所示，已知斜率為1的直線l過橢圓y21的右焦點F，交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長. 【導學號：95902172】圖2 【解】設(shè)A、B兩點的坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y

9、2)，由橢圓方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直線l的方程為yx.將其代入x24y24，化簡整理，得5x28x80.所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2| ·×.18(本小題滿分16分)如圖3，已知橢圓1(ab0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.圖3 (1)求橢圓和雙曲線的標準方程；(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1k21.【解】 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c，

10、由題意知，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故橢圓的標準方程為1.由題意設(shè)等軸雙曲線的標準方程為1(m0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m2，因此雙曲線的標準方程為1.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)，則k1，k2.因為點P在雙曲線x2y24上，所以xy4.因此k1k2·1，即k1k21.19(本小題滿分16分)設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線x3上，且·1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【導學號：95902173】【解】(1)設(shè)P

11、(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在橢圓C上，所以1.因此點P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.20(本小題滿分16分)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B.已知ABF1F2.(1)求橢圓的離心率(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切于點M，MF22.求橢圓的方程【解】(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標為(c,0)，由ABF1F2，可得a2b23c2，又b2a2c2，則.所以橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故橢圓方程為1.設(shè)P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有