數(shù)學(xué)建模-醉酒駕駛問題

1、南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實(shí) 驗(yàn) 報 告課程名稱： 數(shù)學(xué)模型 實(shí)驗(yàn)名稱： 醉酒駕駛的數(shù)學(xué)模型 實(shí)驗(yàn)類型： 驗(yàn)證性 綜合性 設(shè)計性實(shí)驗(yàn)室名稱： 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室D208 班級學(xué)號： 11071120 學(xué)生姓名： 張萬晴 任課教師： 張鄰 成 績： 實(shí)驗(yàn)日期： 2013-11-13至2013-11-20 目錄一、 問題的重述3二、 問題的假設(shè)4三、 符號說明5四、 模型的建立5五、 問題分析與模型建立7六、 結(jié)果分析與檢驗(yàn)17七、 模型的評價與改進(jìn)18一、 問題重述v據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤?。v針對這種嚴(yán)重的道路交通情況，國家質(zhì)

2、量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)國家標(biāo)準(zhǔn)。v駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車v血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車v大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)v在吃晚飯時他又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？v問題1 對大李碰到的情況做出解釋 v問題2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在下列情況下回答該問題： 1.酒是在很短時間內(nèi)喝的；2.酒

3、是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。參考數(shù)據(jù)1. 人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2. 體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如下：時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、 問題假設(shè)1. 不考慮酒精進(jìn)入體內(nèi)隨呼吸或汗液排出的量，及腸道細(xì)菌產(chǎn)生的酒精，只考慮飲

4、入的酒全進(jìn)入腸胃，再由肝臟等分解的過程。2. 假設(shè)體液中的酒精消耗(向外排出、分解或吸收)的速度，與體液中的酒精濃度(或含景)成正比。3. 不考慮酒精進(jìn)入體內(nèi)隨呼吸或汗液排出的量，及腸道細(xì)菌產(chǎn)生的酒精，只考慮飲入的酒全進(jìn)入腸胃，再由肝臟等分解的過程4. 設(shè)人體血液和體液中酒精濃度相等,酒精進(jìn)入血液后瞬間混合均勻。5. 假設(shè)整體過程中人沒有攝入任何影響代謝的藥類物質(zhì)和做劇烈三、 符號說明t時刻腸胃中的酒精含量：p(t):t時刻血液中的酒精濃度；X(t):t時刻血液中的酒精含量；r1(t)：飲入酒精的速率；r2(t):腸胃內(nèi)酒精進(jìn)入血液的速率；r3(t):腸胃內(nèi)酒精進(jìn)入（除體液外）其它地方的速率；

5、r4(t)：血液中酒精被分解的速率。：所飲酒中含的酒精量；V：體液的體積；X(t)：四、 模型的建立一、符號說明及模型假設(shè)1.符號說明-酒精在人體中的消除速率常數(shù)1-t時刻血液中的酒精濃度F-酒精在人體中的吸收度V-人體的血液體積V酒-喝酒的體積t-飲用酒的時間-t時刻血液中的酒精量-t時刻人體吸收的酒精量M-人的體重-人的體液占人的體重的百分含量-酒中的酒精含量-飲酒持續(xù)時間-人體飲入酒精總量-人的血液占人體重的百分含量-酒精在人體中的吸收速率常數(shù)12.基本假設(shè)1.酒精按一級吸收過程進(jìn)入體內(nèi)；2.正常情況下，酒精在各人體中的吸收和消除速率基本相同3.酒精進(jìn)入人體后，不考慮其他因素對酒精的分解

6、作用；4.每瓶啤酒的酒精含量、體積基本相同；5.如果在很短時間內(nèi)飲酒，認(rèn)為是一次性飲入，中間的時間差不計；6.酒精在血液中的含量與在體液中的含量大至相同；假設(shè)模型 一個人的血液中酒精含量取決于他的飲酒量、體內(nèi)原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知識知道，酒精是經(jīng)胃腸(主要是肝臟)的吸收與分解進(jìn)入體液的。根據(jù)假設(shè)可建立以下基本模型：從生物學(xué)可知，酒類進(jìn)入人體后，胃及血液中酒精隨注入酒精速率、濃度、時間等不同產(chǎn)生不同的代謝速率。下面根據(jù)飲酒速率及方式的不同建立三種實(shí)用模型。短時間內(nèi)快速飲酒模型在基本模型的基礎(chǔ)上，由短時間快速飲酒的特點(diǎn)可得出初始值：，,，將其代入基本模型可得模型 五、問題分析與模型

7、建立1.快速飲酒模型同藥物一樣，酒精進(jìn)入機(jī)體后，作用于機(jī)體而影響某些器官組織的功能；另一方面酒精在機(jī)體的影響下，可以發(fā)生一系列的運(yùn)動和體內(nèi)過程：自用藥部位被吸收進(jìn)入血液循環(huán)；然后分布于各器官組織、組織間隙或細(xì)胞內(nèi)；有部分酒精則在血漿、組織中與蛋白質(zhì)結(jié)合；或在各組織（主要是肝臟）發(fā)生化學(xué)反應(yīng)而被代謝；最后，酒精可通過各種途徑離開機(jī)體（排泄）；即吸收、分布、代謝和排泄過程。它們可歸納為兩大方面：一是酒精在體內(nèi)位置的變化，即酒精的轉(zhuǎn)運(yùn)，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化學(xué)結(jié)構(gòu)的改變，即酒精的轉(zhuǎn)化亦即狹義的代謝。由于轉(zhuǎn)運(yùn)和轉(zhuǎn)化以致形成酒精在體內(nèi)的量或濃度（血漿內(nèi)、組織內(nèi)）的變化，而且這一變化可隨時間推移

8、而發(fā)生動態(tài)變化。又因?yàn)榫凭写龠M(jìn)血液循環(huán)的作用2。而藥物動力學(xué)模型中的一室模型3是指給藥后，藥物一經(jīng)進(jìn)入血液循環(huán)，即均勻分布至全身,故快速飲酒情況可通過建立一室模型求解。雖然酒精在體內(nèi)的分布狀況復(fù)雜，但酒精的吸收、分解等則都在系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行，酒精進(jìn)入人體后，經(jīng)一段時間進(jìn)入血液，進(jìn)入血液后，當(dāng)在血液中達(dá)最高濃度時，隨后開始消除3，把酒精在體內(nèi)的代謝過程看為進(jìn)與出的過程，這樣便會使問題得到簡化。用和分別表示酒精輸入速率和輸出速率。由于單位時間內(nèi)血液中酒精的改變即變化率就等于輸入與輸出速率之差，所以其動力學(xué)模型為：=- （1）又因?yàn)榫凭谘褐械南俾逝c當(dāng)時血液內(nèi)的藥量成正比，所以=kt，代入（1）

9、式得： =-kt （2）則由（2）式可知X(t)的變化規(guī)律由飲酒速率而定。而酒精在人體內(nèi)的代謝可簡單的由圖一表示：吸收室X1(t)kFX0X(t)V (圖一)則t時刻吸收室的藥量為X1(t)，又藥物是按一級吸收過程進(jìn)入體內(nèi)的，對于吸收室有： =-k1X1 (3)對于房室，=，于是（2）式變?yōu)椋?（4）（3）、（4）兩式構(gòu)成一階線性方程組，當(dāng)t=0時，X(0)=0,解（2）式得：，將其代入（4）式得一階線性非齊次方程：解之得：從而，人體內(nèi)酒精含量為：在這種情況下，酒精含量最大值出現(xiàn)的時間：使時t的值。一般情況下，又因?yàn)榫凭谘褐械暮颗c在體液中的含量大至相同。則有： (F為常數(shù)且0<F&

10、lt;1)X0=V酒則人體內(nèi)酒精含量與時間函數(shù)關(guān)系為: （一般情況）1.1.模型的求解根據(jù)圖一中酒精含量實(shí)測數(shù)據(jù)擬合,顯然它無法化為線性最小二乘,我們直接作非線性最小二乘擬合4。用MATLAB優(yōu)化工具箱的Leastsq5計算,擬合參數(shù)程序見:JM2004C1.m。擬合得：=2.0079mg·ml-1·h-1,k=0.1855mg·ml-1·h-1,=11.2423（毫克/毫升），又由，得到問題中隱含的一瓶啤酒的酒精量約為：27543.635毫克。1.2問題一的解答雖然大李喝等量的酒，并且相隔的時間也相同的情況下,兩次檢查的結(jié)果不一樣是因?yàn)榈谝淮魏认氯サ木?/p>

11、，在6小時內(nèi)并沒有完全分解，還殘留有相當(dāng)一部分在血液中，并且這一部分在較長時間內(nèi)不能完全分解。由圖（二）喝一瓶啤酒的酒精含量隨時間變化的函數(shù)圖像可知，6小時后，第一次喝的酒的酒精含量約19.5毫克/百毫升。也就是說此時血液中已有一定的酒精量，這樣雖然第二次喝的是同樣多的酒，由于第一次殘留部分的存在，相當(dāng)于涉入的酒精量已增大了，使其同樣再過6小時，酒精含將會大于20毫克/百毫升。這樣大李碰到的情況也就很自然的解釋了（圖二）現(xiàn)通過實(shí)際計算證明：設(shè)A為第一次喝酒在六個小時后，殘留在血液中的酒精量。則第二次喝酒時，酒精含量C（t）與時間t的函數(shù)關(guān)系為： 代值用MATLAB計算（程序見JM2004C5.

12、LOG），此時再過6小時酒精含量為：27.4毫克/百毫升。這就大于了第一次的值。1.3問題二第一問的求解當(dāng)一個人在很短時間內(nèi)喝3瓶啤酒時，相當(dāng)于在瞬間使其吸收室的酒精濃度達(dá)最大值，運(yùn)用模型并用計算機(jī)擬合得其函數(shù)圖象如(圖三)（程序見JM20004C2.LOG）， (圖三)由圖可得： t:0.0650.24小時內(nèi)飲酒駕車；t:0.344.5小時內(nèi)醉酒駕車；t:4.512小時內(nèi)飲酒駕車。2.勻速飲酒二室模型）2.1模型的建立及求解由于在兩小時內(nèi)慢速喝酒有多種方式，為了便于計算我們考慮為勻速飲入等量酒精，即在時間內(nèi)勻速吸收酒精。若體內(nèi)酒精含量不超過一級消除動力學(xué)范圍，假設(shè)人的酒精含量未達(dá)到平衡狀態(tài)，

13、隨著人體吸收次數(shù)增多，血液中酒精濃度逐漸升高，當(dāng)在時間內(nèi)飲完后，由于時刻前一小段時間內(nèi)飲入的酒精在短時刻內(nèi)沒有被吸收，故在時刻后一段時間內(nèi)，酒精濃度將繼續(xù)升高，某一時刻將達(dá)到最大值。這一時刻后，酒精含量就會逐漸減小?？紤]到一室模型在求慢速喝酒情況下的局限性，我們采用建立二室模型6。對二室模型我們將建立兩個關(guān)于酒精濃度的動力系統(tǒng)模型來描述其動態(tài)特性。2.2假設(shè)：1、 機(jī)體分為中心室和周邊室，兩個室的容積在過程中保持不變。2、 藥物從一室向另一室的轉(zhuǎn)移速率，及向體外的排除速率，與該室的酒精濃度成正比。3、 只在中心室一體外有酒精交換，即酒精從體外進(jìn)入中心室，最后又從中心室排出體外，與轉(zhuǎn)移和排除的數(shù)

14、量相比，酒精的吸收可以忽略。2.3模型建立K12二室模型的示意圖如(圖四)所示：吸收室X1(t)kFX0X(t)V (圖一)兩個房室中酒精量滿足的微分方程。的變化率由一室向二室的轉(zhuǎn)移，一室向體外排除，二室向一室的轉(zhuǎn)移及酒精組成；的變化率由一室向二室的轉(zhuǎn)移及二室向一室的轉(zhuǎn)移組成，于是有： （1）與血液中酒精含量、房室容積顯然有關(guān)系式（2）將（2）式代入（1）式可得： （3）喝酒相當(dāng)于在酒精進(jìn)入中心室之前先有一個將酒精吸收入血液的過程，可以簡化為有一個吸收室，如下圖，為吸收室的酒精，酒精由吸收室進(jìn)入中心室的轉(zhuǎn)移速率系數(shù)為，于是滿足： （4） 當(dāng)時，（3）可以化為： （5）中心室吸收室 （圖四） 酒

15、精經(jīng)吸收室進(jìn)入中心室是飲入的酒精量，而酒精進(jìn)入中心室的速率為： （6）將方程（5）式代入（6）式得： （7）在這種情況下方程（3）的解的一般形式為： （8）此時，這種情況下，酒精含量最大值出現(xiàn)的時間為：使時的時間。其中 （9） 3.2.1.3參數(shù)估計 不妨設(shè)，于是當(dāng)t充分大時可近似為： 對于適當(dāng)大的和相應(yīng)的，用最小二乘法估計出的值。然后計算（10）再利用（5）式得：對于較小的和（10）式算出的，仍用最小二乘法可得到。由上可得參數(shù)值：24模型的求解將題中所給參考數(shù)據(jù)代入，運(yùn)用MATLAB工具，對前參數(shù)估計進(jìn)行代值計算得:程序見JM2004C6-C8A=69.4908;a=0.3234;B=-48

16、.0251;b= 2.77;將所求得的參數(shù)代入（8）當(dāng)中可得，并用MATABT畫出勻速喝三瓶啤酒的酒精含量-時間曲線圖如圖（五）程序見JM2004C9.M （圖五）由上函數(shù)圖象可知：當(dāng)t為24.5小時內(nèi)為醉酒駕車；當(dāng)t為4.5-12小時為飲酒駕車。六、結(jié)果分析與檢驗(yàn)由于酒精不同于一般的藥物，人飲用之后，酒精能迅速的進(jìn)入人體，所以在快速飲酒情況下用一室模型來研究酒精的作用過程及代謝過程，與幾室模型來研究酒精的作用過程及代謝過程并無太大的區(qū)別，（圖七）酒精含量C（t）的擬合曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)的比較,可以看出,我們的結(jié)果是較為準(zhǔn)確的，并且擬合的曲線是一條較為理想的曲線。（圖七）對于勻速飲酒情況，由于勻速飲酒要考慮飲酒過程中的代謝情況，與快速飲酒有一定差異，所以采用二室模型來建立勻速飲酒模型，達(dá)到減小誤差的目的。 七、模型的評價與改進(jìn)1.模型的優(yōu)點(diǎn)1.本模型從三種情況分別建立模型，模型穩(wěn)定性高，適用性強(qiáng)。2.本模型計算步驟清晰，引用了醫(yī)藥動力學(xué)的二室模型進(jìn)行計算，可靠性較高3.綜合運(yùn)用MATLAB和LINGO兩個軟件，準(zhǔn)確求解，在運(yùn)用MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合時，得到了較理想化的曲線。在表示喝三瓶啤酒的人什么時候是飲酒駕車，什么時候是醉酒駕車時，運(yùn)用MATLAB