復(fù)變函數(shù)與積分變換：第九章 拉普拉斯變換

1、2022-3-1719.1 9.2 拉氏變換的性質(zhì)2022-3-1721拉普拉斯變換的定義 01( )0( )0stf ttf t edtsj定義 ：設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，而積分， （為一個(gè)復(fù)參量, ）s在 某一域內(nèi)收斂，0( )( )( )stF sf t edtf t則稱為函數(shù)的拉普拉斯變換式，( ) ( ).F sL f t記為：( )( )F sf t稱為函數(shù)的拉氏變換，( )( )f tF s稱為函數(shù)的拉氏逆變換，1( ) ( ).f tLF s記為：( ) (0)( ) ( )(0)tf ttf t u t e函數(shù)，的拉氏變換就是，的傅氏變換.2022-3-173 例例11,00,0(

2、 )sgn0,| | 01,01,0ttu ttttt求單位階躍函數(shù)，符號(hào)函數(shù)，( )1f t 的拉氏變換.解：解：0(1) ( )stL u tedtRe( )0s 011,stess 1 ( ),Re( )0L u tss即：；00011(2) sgn (sgn ),stststLtt edtedtess Re( )0s 1sgn ,Re( )0Ltss即：；0011(3) 1,ststLedtess Re( )0s 11,Re( )0.Lss即：2022-3-174 例例2( ).ktf tek求指數(shù)函數(shù)的拉氏變換（ 為實(shí)數(shù)）解：()00 ( )ktsts k tL f teedtedt

3、()0R sk()011,s kesksk 1,(Re( ).ktL esksk即：1,(Re( ),ktL esksk 1,(Re( )0).j tL essj由上式可得：2022-3-1751線性性質(zhì) 1122,( )( )( )( )L f tFL f tF 設(shè)為常數(shù)，且有，則有：1212( )( )( )( ),Lf tf tFF11212( )( )( )( ).LFFf tf t 例例1cost求函數(shù)的拉氏變換.解：解：1cos()2j tj ttee由于，1,j tL esj1cos( ),2j tj tLtL eL e22111.2ssjsjs一、線性與相似性質(zhì)一、線性與相似性

4、質(zhì) 2022-3-176 例例2151( ) ( ).(1)(2)sF sLF sss已知，求解：解：5111( )23,(1)(2)12sF sssss1atL esa11111 ( )2312LF sLLss223.ttee2相似性質(zhì) ( )( )0L f tFa設(shè)，則對任一實(shí)數(shù)有：1 () .sL f atFaa2022-3-177二、微分性質(zhì)二、微分性質(zhì) 1導(dǎo)數(shù)的象函數(shù) ( )( )L f tF s設(shè)，則有( )( )(0).L f tsF sf( )12(1)( )( )(0)(0)(0).nnnnnL fts F ssfsff推廣： (1)(0)(0)(0)0nfff特別地，當(dāng)時(shí)，有2( )( )( ), ( )( ), ( )( ).nnL f tsF s L fts F sL fts F s 此性質(zhì)使我們有可能將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程，因此它對分析線性系統(tǒng)有重要的作用 2022-3-178 例例3解：解：2( )( )0(0)0,(0).y ty tyy求解微分方程，對方程兩邊取拉氏變換，并利用線性性質(zhì)及微分性質(zhì)，有 22( )(0)(0)( )0,s Y ss