復(fù)變函數(shù)與積分變換：2-2 函數(shù)解析的充要條件

1、第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 一、主要定理二、典型例題三、小結(jié)與思考2一、主要定理一、主要定理定理一定理一. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 點(diǎn)滿足柯西黎曼方程點(diǎn)滿足柯西黎曼方程并且在該并且在該可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)與與件是件是可導(dǎo)的充要條可導(dǎo)的充要條內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)在在則則內(nèi)內(nèi)定義在區(qū)域定義在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)柯西介紹柯西介紹黎曼介紹黎曼介紹3 : ),(),()( ,處的導(dǎo)數(shù)公式處的導(dǎo)數(shù)公式點(diǎn)點(diǎn)在在可得函數(shù)可得函數(shù)根據(jù)定理一根據(jù)定理一yixzyxivyxuzf .1)(yvyuixvixuzf 內(nèi)解析的充

2、要條件內(nèi)解析的充要條件函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且滿足柯西黎曼方并且滿足柯西黎曼方內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與內(nèi)解析的充要條件是內(nèi)解析的充要條件是域域在其定義在其定義函數(shù)函數(shù)定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 4解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法: :. )( , )( )1(內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的在在解析函數(shù)的定義斷定解析函數(shù)的定義斷定則可根據(jù)則可根據(jù)內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域數(shù)數(shù)導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函如果能用求導(dǎo)公式與求如果能用求導(dǎo)公式與求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(內(nèi)

3、解析內(nèi)解析在在的充要條件可以斷定的充要條件可以斷定那么根據(jù)解析函數(shù)那么根據(jù)解析函數(shù)方程方程并滿足并滿足可微可微因而因而、連續(xù)、連續(xù)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在內(nèi)內(nèi)在在中中如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù)DzfyxvuDvuivuzf 5二、典型例題二、典型例題例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析在何處解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程, . ,處處不解析處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)故

4、故zw 6)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)均連續(xù) . ,)(處處解析處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)7)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時(shí)時(shí)僅當(dāng)僅當(dāng) yx ,0 )Re(處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) z

5、zzw .在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析8例例2. )( , )( 內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域在在則則內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零在在區(qū)區(qū)域域如如果果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf9三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論函數(shù)函數(shù)解析的充要條件解析的充要條件:黎曼方程黎曼方程并且滿足柯西并且滿足柯西內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能靈活應(yīng)用柯西掌握并能靈活應(yīng)用柯西黎曼方程黎曼方程.10思考題思考題? ),(),()( 解析時(shí)應(yīng)注意什么解析時(shí)應(yīng)注意什么用柯西黎曼條件判斷用柯西黎曼條件判斷yxivyxuzf 11; , :R-Cxvyuyvxu 條件條件其次再看是否滿足其次再看是否滿足 ; ),( ),( 內(nèi)是