數(shù)值分析總復(fù)習(xí)

1、總總 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)一、緒論一、緒論 1.掌握絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差限及有效數(shù)字的概念。掌握誤差限和有效數(shù)字之間的關(guān)系。會(huì)計(jì)算誤差限和有效數(shù)字。 2.了解數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的一些問(wèn)題. 一般地,凡是由精確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值,其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。 定義定義1 1 設(shè)數(shù)x是數(shù)x*的近似值，如果x的絕對(duì)誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該數(shù)位共有n位，則稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字有效數(shù)字，也 稱用x近似x*時(shí)具有具有n n位有效數(shù)字位有效數(shù)字。二、解線性方程組的直接法二、解線性方程組的直接法 1.了解Gauss消元法的基本思想,知道適

2、用范圍 2.掌握矩陣的直接三角分解法。 順序Gauss消元法:矩陣A A的各階順序主子式都不為零. 主元Gauss消元法:矩陣A A的行列式不為零. 定理定理 設(shè)n階方陣A的各階順序主子式不為零,則存在唯一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A=LU . 會(huì)對(duì)矩陣進(jìn)行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。 了解它們之間的關(guān)系。熟練掌握用三角分解法求方程組的解。 了解平方根法和追趕法的思想。 3.了解向量和矩陣的范數(shù)的定義,會(huì)判定范數(shù)(三要素非負(fù)性、齊次性、三角不等式);會(huì)計(jì)算幾個(gè)常用的向量和矩陣的范數(shù)； 了解范數(shù)的等價(jià)性和向量矩陣極限的

3、概念。 4.了解方程組的性態(tài)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單矩陣的譜半徑和條件數(shù)。三、解線性方程組的迭代法三、解線性方程組的迭代法 1.會(huì)建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；會(huì)判定迭代方法的收斂性。 （1）迭代法收斂迭代矩陣譜半徑小于1. （2）迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的范數(shù)小于1. （3）A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),則J法,GS法,SOR法(01)收斂. （4）A對(duì)稱正定,則GS法,SOR法(02)收斂.J_法收斂的充分必要條件是2D-A也正定. 2.掌握并會(huì)應(yīng)用迭代法的誤差估計(jì)式。)0()1(*)(1xxMMxxkk,ln()/lnk(1)(0)(1M )xxM四、解非線性方程的迭代法四、解非線性方程的迭代法

4、 1.了解二分法的思想,誤差估計(jì)式|xk-|2-(k+1)(b-a). 2.會(huì)建立簡(jiǎn)單迭代法迭代格式；會(huì)判定迭代方法的收斂性。整體收斂整體收斂 若1.a(x)b; 2.|(x)| L1, xa,b.則xk+1=(xk),x0a,b都收斂于方程的唯一根.局部收斂局部收斂 若|()|1, 則對(duì)充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收斂. 3. 了解迭代法收斂階的概念,會(huì)求迭代法收斂的階. (1) xkp階收斂于是指: (2) 若()0,則迭代法線性收斂.Cxxpkkk1lim 4.會(huì)建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的優(yōu)缺點(diǎn).了解Newton迭代法的變形.)()(1kkkkxf

5、xfxx局部平方收斂. (3) 若()=()=(m-1)()=0, 但(m)()0, 則迭代法是m階收斂的.五、矩陣特征值問(wèn)題五、矩陣特征值問(wèn)題 1. 了解Gerschgorin圓盤定理, 會(huì)估計(jì)特征值. 2. 了解乘冪法、反冪法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋轉(zhuǎn)矩陣的構(gòu)造.六、插值與逼近六、插值與逼近 1.了解差商的概念和性質(zhì). Lagrange、Newton、Hermite插值多項(xiàng)式；基函數(shù)法及待定系數(shù)法。 2.會(huì)建立插值多項(xiàng)式并導(dǎo)出插值余項(xiàng). 3.了解分段插值及三次樣條插值的概念及構(gòu)造思想。 會(huì)構(gòu)造簡(jiǎn)單的三次樣條插值函數(shù). 4. 了解正交多項(xiàng)式的概念，會(huì)求簡(jiǎn)

6、單的正交多項(xiàng)式。 5. 掌握最小二乘法的思想，會(huì)求擬合曲線及最佳均方誤差. 2.掌握求積公式的代數(shù)精度的概念，會(huì)用待定系數(shù)法確定求積公式。七、數(shù)值積分七、數(shù)值積分 5.了解微分公式建立形式，會(huì)求簡(jiǎn)單的微分公式。 4. 了解Gauss公式的概念，會(huì)建立簡(jiǎn)單的Gauss公式。 3. 會(huì)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分并會(huì)用誤差估計(jì)式.)(12)()()(2)(2)(2311fnabbfxfafhdxxfnkkba )(2880)()()(2)(4)(6)()4(4511121fnabbfxfxfafhdxxfnknkkkba 1.了解構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想及概念。第八章第八章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 2.掌握差分公式局部截?cái)嗾`差和階的概念，會(huì)求差分公式的局部截?cái)嗾`差。 3.會(huì)判斷單步方法的收斂性和穩(wěn)定性，求穩(wěn)定區(qū)間。 如差分公式的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1),則稱p p階方法階方法.