#等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和求和

1、歷年高考真題考點歸納2011年第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和一、選擇題1. （天津理4）已知'為等差數(shù)列，其公差為-2，且是93與39的等比中項，Sn為a*的前n項和，nN*，則So的值為A.-110B.-90C.90D.110【答案】D（四川理8）數(shù)列"時的首項為3:'bj為等差數(shù)列且bn二an1-an（nN*）.若則d=-2,0=12貝ya8A.0B.3C.8D.11【答案】B【解析】由已知知bn=2n一8,弘4-an=2n-8,由疊加法（a2-印）（a3a2）11（aa7）=-6-4止一20246=0=a8=印=32. （全國大綱理4）設(shè)Sn為等

2、差數(shù)列玄匚的前n項和，若內(nèi)二1，公差d=2,SkS=24,則k二A.8B.7C.6D.5【答案】D（江西理5）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：SnSm=Snm，且印=1.那么引0=A.1B.9C.10D.55【答案】A二、填空題3. （湖南理12）設(shè)Sn是等差數(shù)列an（LN），的前n項和，且a1“月4=7,則S9=.【答案】25（重慶理11）在等差數(shù)列an中，a3*a7=37，則a2+a4*a6*a8=【答案】747.（北京理11）在等比數(shù)列an中，a1=2,a4=-4,則公比q=;aia2an2nA_!【答案】2&(廣東理11)等差數(shù)列&(廣東理11)等差數(shù)列an前9項的和等

3、于前4項的和.若a1=1,aka0，則k=【答案】109.(江蘇13)設(shè)仁a1'a2-a7，其中a1，a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是【答案】三、解答題10.(江蘇20)設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項a1，前n項和為Sn，已知對任意整數(shù)rM當(dāng)整數(shù)n，k時,Sn'kSz=2(SnSk)都成立(1)設(shè)M二1，a2二2,求a5的值;(2)設(shè)M二3,4,求數(shù)列a.的通項公式本小題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,究及邏輯推理的能力，滿分16分?？疾榭忌治鎏浇?(1)由題設(shè)知，當(dāng)n-2時,

4、Sn1-Sn*2©S),即(Sn1-Sn)-(Sn-Sn4)=2S從而an1-an=2a1=2,又a?二2,故當(dāng)n2時,an=a22(n-2)=2n2.所以a5的值為8o(2)由題設(shè)知當(dāng)k匸M-3,4,且n>k時,S用*Sn_k=2Sn+2Sk且Sn1k'Sn1=2&1'2Sk兩式相減得an1kan1_2an1,即an1_an1-k_an1an1-k所以當(dāng)“占8時,a6,an-3,an,anH3,a6成等差數(shù)列且an-6,an-2,an七，an%也成等差數(shù)從而當(dāng)n8時2anan七+an3an6*an_6(*)且an6-an6二a.2，a.?所以當(dāng)n一8時

5、,2a.二a.2-an,即an2an-a'an2于是當(dāng)n亠9時,an_3,anJ,an1,an3成等差數(shù)列從而an3anJ3=an.1'anJ,故由(*)式知2an=an1anJ,即an1_an=an一anj.當(dāng)n9時，設(shè)d=an-務(wù)十當(dāng)2蘭m蘭8時，m+6A8，從而由(*)式知2aml6=am+amH2故2am7=am1am13.從而2(amam廂)=amH1一am*(am卑3一am卑2)于是am1一am=2d-d=d.因此，an1一二d對任意n_2都成立，又由Snk'Sn-2Sk=2Sk(k3,4)可知(Snk-Sn)-(Sn-Sn±H2Sk,故9d=2S

6、s且16d心4解得a4=d,從而a22=3d,a顯22因此，數(shù)列an為等差數(shù)列，由a"知d=2.所以數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.11.(北京理20)若數(shù)列An=a1,a2,，an(n占2)滿足an+-a1=1(k=1,2,n-1，數(shù)列An為E數(shù)列，記S(An)=a1a2.an.(I)寫出一個滿足a1二as=0，且S(As)0的E數(shù)列An；(H)若a1=12,n=2000,證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011;(川)對任意給定的整數(shù)n(n>2),是否存在首項為0的E數(shù)列An，使得SA=0?如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列An;如果不存在，說明理由。解：(

7、I)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5)(H)必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以aak=1(k=1,2,，1999).所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+(20001)x1=2011.充分性，由于a2000a1000<1,a2000a1000wia2a1<1所以a2000a<19999,即a2000<a1+1999.又因為a仁12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故an十一an=>0(k=2，1999)，即An是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。

8、(出)令Ckak1_ak-10(k-1,2/,n-1),則Ca=1-因為=a1c1'3=a1'C)c2an=a1C1C'Cn1,所以S(An)二na(n-1)c(n-2)c(n-3)qc.(1-c1)(n-1)(1-6)(n-2)(1-Cn).2因為Ck=-1,所以1-Ck為偶數(shù)(k=1,n-1).所以*1一C1)(n-1)+(1C2)(n2)*(16)為偶數(shù)，S(An)=0,必須使叫3所以要使2為偶數(shù)，即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(mN*).當(dāng)n=4m1(mN*)時，E數(shù)列An的項滿足a4k1二a42二0,玄4心二-1,(k=1,2，,m)時，有a

9、1=0,S(An)=0;a4k-1(k=1,2,m),a4k1=0時，有a1=0,S(An)=0;當(dāng)n=4m+1(meN*)時，E數(shù)列An的項滿足，玄彳心二玄彳心=0,a4k<=-E數(shù)列An,當(dāng)n=4m2或n=4m3EN)時,n(mJ)不能被4整除，此時不存在使得a1二0,S(An)二0.12.（廣東理20）設(shè)b>0,數(shù)列©'滿足a仁b，annbanjanj2n-2(n一2)(1)求數(shù)列E的通項公式;(2)證明：對于一切正整數(shù)anbn1解:nbanJ(1)由an2n-2b%An=,A令anbnd2門川bn當(dāng)b-2時,nnb-2bn(b-2)b=2時、An當(dāng)nbn(

10、b-2)an二bn-2n,b=22、b=2（2）當(dāng)b=2時，（欲證annnnb(b-2).bjon-°n“,只需證nL乞(1b-222nn1)b'2nn(2n1bn1)bn1n4nn4、b)(b2bIII2)=2n1bnJ-2n2bn-J|22n-b2n2b2n-2nbn1=2應(yīng)£步算川b)bbb222.2nbn(22|l(2)=2n2nbn=n2ndbn,anannbn(b-2)bn121.nnb-2時bn卑當(dāng)b=2時4亠盯1.bn1綜上所述an_2n11.13.(湖北理19)已知數(shù)列的前n項和為Sn，且滿足：78(0),anJ=rSn(nn*,rR，r=-1)(

11、I)求數(shù)列心心的通項公式;(n)若存在kN*,使得St,9,Sk2成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的mn*,且m一2,am-1，am，am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。(滿分13分)解:(I)由已知an1二rSn，可得anrSn1，兩式相減可得an2an1-r(Sn1Sn)_ran1,即an2(r1)an1,又比二二ra,所以r=o時，數(shù)列an為：a,0,，0,；當(dāng)r工0,r式T時，由已知aM0,所以務(wù)=0(nN),=r1(nN)于是由an2-(r1)an1,可得an1,a2，a3l(，anJ"成

12、等比數(shù)列，n-2二當(dāng)n蘭2時an=r(r+1)a.ann-1,綜上，數(shù)列an的通項公式為T(r1a，門_2(II)對于任意的m.N，且m_2,ami,am,am.2成等差數(shù)列，證明如下:a,n=1,當(dāng)r=0時，由(I)知，0,n一2-對于任意的mN，且m-2,am1,am,am.2成等差數(shù)列,當(dāng)r=0，r=-1時，Sk2=S<'ak1ak2,Skiak1.若存在kN*，使得Ski,Si,Sk2成等差數(shù)列，貝ySk1.5k2=2Sk2Sk'2ak1'ak22Sk,即ak2-_2ak1,由（I）知,%月31（,amH的公比r1»2，于是對于任意的mN且mA2

13、,am*=2am,從而am七=4am.綜上，對于任意的m.N，且m_2,am1,am,am2成等差數(shù)列。14.(遼寧理17)已知等差數(shù)列an滿足a2=0,a6+a8=-10(I)求數(shù)列an的通項公式；(II)求數(shù)列l(wèi)2“的前n項和.解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知條件可得2a112_10a1=，解得d八1.故數(shù)列an的通項公式為冇=2-n真的前n項和為Sn(II)設(shè)數(shù)列2，即1+分川+強故2，Sn3132=r2所以,nJ時,Sn=1-(12L.山21IH4丄2*1丿an_anjan2心一歹12-n、2“-2*丿2-n2n所以'吵.令的前n項和Sn綜上，數(shù)列2n2*-J.12分

14、15.(全國大綱理20)15.(全國大綱理20)1設(shè)數(shù)列3n；'滿足31=0且1_3n113n=1.(I)求的通項公式;bn(n)設(shè)解：3n1,記2bk，證明：Sn<1.-nk1(I)由題設(shè)(I)由題設(shè)J1-an11_anI即13n是公差為1的等差數(shù)列。又1-31an所以十丄n(II)由(I)得.n1-n.n1、n11、n.n1,8分n八(k412分nSn=7bkk416.(山東理20)等比數(shù)列中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I)求數(shù)列的通項公

15、式;(n)若數(shù)列©滿足：0=a.(-Jina.，求數(shù)列g(shù)的前門項和Sn.解：(I)當(dāng)a1=3時，不合題意；當(dāng)a1=2時，當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3刊8時，符合題意;當(dāng)a1=10時，不合題意。因此a12,a6,a18,所以公式q=3,n二故an=23.(II)因為bn二an(-1)1nan=23心(-1)n(23n4)-23n，(T)nln2(n-1)1n3=23n，(-1)n(ln2-In3)(-1)nnln3,所以S2n=2(13川32n)一11一1川(1)2n(ln2In3)一12一5山(1)nnln3,所以nSn21_nIn3n為偶數(shù)時，1-32=3nnin3-1;2當(dāng)n為奇數(shù)時,

16、當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn1-3(In2In3)(-2-n)ln3n_i=3nIn3-In2-1.2綜上所述，3n-In3-1,n為偶數(shù)SnI213n-In3-In2-1,n為奇數(shù)I2仃（上海理22）已知數(shù)列an和bn的通項公式分別為an=3n+6,bn=2n+7（n迂N*）,將集合x|x=an，nNUx|x=0,N中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列G,C2,C3,|l（,Cn,|（1）求G，6,524；（2）求證：在數(shù)列Cn中.但不在數(shù)列bn中的項恰為a2,印"，a2n"；（3）求數(shù)列Cn的通項公式。解：q=9,6=11,C3=12,C4=13；任意nN*，設(shè)a2nj=3（2n-

17、1）6=6nb2k7，則k=3n-2，即a2n4-b3n-2假設(shè)a2n=6n6二bk=2k7U假設(shè)a2n=6n6二bk=2k7U（矛盾），a2nTbn在數(shù)列Cn中但不在數(shù)列bn中的項恰為a2,a4,m,a2n"。b3k_2=2(3k-2)7=6k3=a2k4dk:二6k5a?k二6k6dk二6k76k36k5：6k66k7當(dāng)k=1時依次有bl=3=山2=q,a2=033=c4'6k+3(n=4k3)6k+5(n=4k2)6k6(n-4k-1)6k7(n=4k)18.(天津理20)已知數(shù)列3n與bn滿足:3+(1)nbnan'an1'bnlan2-0,bn2a&

18、lt;i=2,a2=4(I)求氏，34,35的值;(n)設(shè)01二a2nPn"N，證明：©J是等比數(shù)列;(III)設(shè)Sk“2''a2k，k，N，證明:(III)設(shè)Sk“2''a2k，k，N，證明:、§-(nN*)k呂ak6本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法滿分14分.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法滿分14分.(I)解：由bn二3(-1)n2可得1, n為奇數(shù)2,

19、 n為偶數(shù)又bnanan1bn1an_0,當(dāng)n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;當(dāng)n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4二-5;當(dāng)n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a4=4.(Il)證明：對任意nNa2n4a2n'2a?n1=0,2a2na2n1a2n2=0,又bnanan1bn1an_0,當(dāng)n=1時,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;當(dāng)n=2時,2a2+a3+a4=0,可得a4二-5;當(dāng)n=3時,a3+a4+2a5=0,可得a4=4.(Il)證明：對任意nNa2n4a2n'2a?n1=0,2a2na2n1

20、a2n2=0,一，得a2n=a2n3.將代入，可得a2n卑*a2n能=(a2n*a2n)即cn1-5(nN)又&=aia3=-1,故cn=0,Cn-1因此Cn1,所以5是等比數(shù)列.(III)證明：由(II)可得a2k1'氣1十°,于是，對任意keN*且k32，有ai_-1,-(a3a5)=a5a7=一1(-1,(a2kJ3a2k)=一1k將以上各式相加，得a1(一1)a2k廠-你-1),即a2ki=(-1)k1(k1)，k-1此式當(dāng)k=1時也成立.由式得a2k珂一1)(k3).從而S2k-(a2a4)(a6a8)|1('(a4kJ2a4k)二-k,S2ki=S

21、2k-a4=k3.所以，對任意nN,n_2，4nn、-(S4m-3.S4m-2n.S4m_S4m)k繪akm生a4m-3a4m-2a4m4a4mJ,2m22m-12m3.2m、2m2m22m12m3)n=m.(2m(2rn1)(2m2)；2m2)亠-23m2m(2m1)(2n2)(2n3)1<31<31_3m謬(2m-1)(2m1)(2n2)(2n-3)11111一5)(5萬)川(冇一訂)(2n2)(2n3)1+2n1(2n2)(2n3)對于n=1,不等式顯然成立.Vi(沁邑aa2a2n1a2n所以，對任意nN，=(SLS2).(S3.S4a2ai(34)(S2nJ-魚a3a4a2

22、na2n11121nW-4P）（-承：2*/）川（1苜-冇）二n-(丄)-(241242；7)774匕)5_(丄)=4121n一319.（浙江理19)已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a1為a（aR）,設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，且a1去，為成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式及S1(2)厲亠丄+1+.+1記SlS2SnBn丄丄丄aa?魚2丄a2n，當(dāng)n-2時，試比較A與Bn的大小.本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論思想。滿分14分。（丄）2亠丄（I）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由比印去得(a1d)ag3d)anfZ1)因為d=0，所以d=a所以12/11、()(II)解：因為2a3=S3=a3S2解得nann1，所以SnSn宀)n二因為a2n1=2a，所以B