等價無窮小的性質(zhì)探討及應用

1、第八屆大學生科技活動周理科論文大賽論文題 目：等價無窮小性質(zhì)的探討及應用二級學院：物電學院專 業(yè)：電子信息工程班 級：08.2姓 名：徐彭飛學 號：20080342007二一年四月二十五等價無窮小性質(zhì)的探討及應用摘要：在高等數(shù)學中，等價無窮小在求極限運算和判斷級數(shù)斂散性中起著非常重要的作用，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，對解決并簡化極限和級數(shù)的一些問題具有很大幫助，并能使一些復雜的問題簡單化，可起到事半功倍的效果。本文通過例題，對比了不同情況下等價無窮小的應用以及在應用過程中應注意的一些性質(zhì)條件，并對其性質(zhì)進行延拓。關(guān)鍵詞：等價無窮小極限級數(shù) 羅比塔法則引言等價無窮小是高等數(shù)學中基本知識點之一，盡

2、管在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性，特別是在求極限的運算過程中，無窮小具有很好的性質(zhì)，但是在高等數(shù)學中僅僅在“無窮小的比較”提到等價無窮小的概念，其眾多靈活的性質(zhì)及應用并未涉及到。因此，好多同學并沒有掌握和運用等價無窮小的性質(zhì)來解決極限和級數(shù)的相關(guān)問題，即使有時用也是錯誤百出，有時還很難判斷錯在什么地方。因此，有必要對等價無窮小的性質(zhì)進行深刻地認識和理解，以便恰當運用，達到簡化運算的目的。一： 等價無窮小的概念及其重要性質(zhì)無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當x0時(或x)時，limf(x)=0，則稱函數(shù)f(x)當x0時(或x)時為無窮小。當，就說與是等價無窮小，記作。 常見性質(zhì)有： 設(shè),，,均為

3、同一自變量變化過程中的無窮小， 若,， 且存在，則= 若，則 性質(zhì)表明等價無窮小量的商的極限求法。性質(zhì)表明等價無窮小的傳遞性若能運用極限的運算法則，可繼續(xù)拓展出下列結(jié)論： 若,， 且lim=c(c-1)，則+ 若,， 且lim（AB）（CD）存在，則當（AB）（CD）0且 lim（AB）（CD）存在，有l(wèi)im（AB）（CD）=lim(AB)lim(CD)二： 等價無窮小的應用在求極限中經(jīng)常用到的等價無窮小有 xsinx,xarcsinx,xtanx,xarctanx,xln(1+x), ,例1解：原式=( sinxx,)此題巧妙的運用等價無窮小很容易的求出該極限，當然也可用羅比塔法則做，不過求

4、導時有點復雜，由此也顯示等價無窮小的優(yōu)越性。例2求解：當時，所以此題就充分利用等價無窮小進行等價變換，變復雜為簡單，輕而易舉就求出了極限，但是用常規(guī)方法或羅比塔法則就相當?shù)穆闊?。?解法1：原式=( sinxx)=1解法2：原式( tanxx) 兩種解法的結(jié)果不同，哪一種正確呢？可以發(fā)現(xiàn)解法1錯了，根源在于錯用（sinx-xcosx）（x-xcosx） (注意), 由性質(zhì) sinx-xcosx并不等價于x-xcosx 。 從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個有力工具，但往往需要幾種方法結(jié)合起來運用，特別是恰當適時地運用等價無窮小的代換，能使運算簡便，很快得出結(jié)果。2.2在正項級數(shù)的審

5、斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個應用。 比較審斂法的極限形式：設(shè) 和 都是正項級數(shù)， 如果(0l0 或=+，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。當l=1時，就是等價無窮小。由比較審斂法的極限形式知，與同斂散性，只要已知，中某一個的斂散性,就可以找到另一個的斂散性。 例4 判定 的斂散性解： 又 收斂 收斂 例5 研究的斂散性解： 而 發(fā)散 發(fā)散三：等價無窮小無可比擬的作用以例3看，若直接用羅比塔法則會發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)以下結(jié)果：原式 =式子越變越復雜，難于求出最后的結(jié)果。而解法2適時運用性質(zhì)，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進行等價替換，從而很快地求出正確結(jié)果。再看一例： 例63 解：原式= （用羅比塔法則） = （分離非零極限乘積因子） = （算出非零極限） =（用羅比塔法則） = =計算中出現(xiàn)循環(huán)，此時用羅比塔法則求不出結(jié)果。用等價無窮小代換。 xsinxtanx(x0) 原式=1而得解。由此可看到羅比塔法則并不是萬能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性3。只要充分地掌握好等價無窮小的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論?？偨Y(jié)通過熟練掌握好等價無窮小的性質(zhì)極其用法在以