第四章第一節(jié)

1、第四章 線性方程組一,本章內(nèi)容本章利用向量、矩陣為工具，系統(tǒng)地研究：1 齊次線性方程組有非零解的充要條件、解的性質(zhì)及基礎(chǔ)解系的求法；2 非齊次線性方程有解的充要條件、解的結(jié)構(gòu)及方程組的解法。學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)二,學(xué)習(xí)要求理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念；掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的求法；理解非齊次線性方程有解的充要條件；理解非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)及通解的概念；掌握非齊次線性方程有解和無(wú)解的判別方法；掌握用初等行變換求線性方程組的通解的方法。三,重點(diǎn)難點(diǎn)齊次線性方程組有非零解的充要條件，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的概念和求法；非齊次線

2、性方程有解的充要條件，非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)及通解的求法。四,教案第一節(jié) 齊次線性方程組一、齊次線性方程組的三種表示形式設(shè)有齊次線性方程組（4.1）記 , , .方程組(4.1)的矩陣形式為 （4.2）記, 方程組(4.1)的向量形式為 （4.3） 若 是（4.1）的解, 則稱(chēng)為（4.1）的解向量,（4.2）的解.二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及解的結(jié)構(gòu)由第二章定理4知, n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是,那么如何求非零解?為了研究這個(gè)問(wèn)題,我們先討論它的解的性質(zhì).性質(zhì)1 齊次線性方程組的解的和仍然是解,數(shù)與解的數(shù)量乘積仍然是解.證明 設(shè)與是齊次線性方程組 （4.2）的任意兩個(gè)解,是任意

3、常數(shù),則有,故,所以與都是（4.2）的解.推論 齊次線性方程組（4.2）的解的任意線性組合也是（4.2）的解.由此可知，齊次線性方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱(chēng)此向量空間為齊次線性方程組的解空間,記作S.定義1 齊次線性方程組的解空間S的基稱(chēng)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 即為齊次線性方程組（4.2）的基礎(chǔ)解系, 如果滿足(1) 是（4.2）的一組線性無(wú)關(guān)的解;(2) （4.2）的任一解都可由線性表示.若是齊次線性方程組（4.2）的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 則（4.2）的任意解都是基礎(chǔ)解系的一個(gè)線性組合, 而基礎(chǔ)解系的任意線性組合都是（4.2）的解, 所

4、以（4.2）的解空間為稱(chēng)為（4.2）的通解.定理1 設(shè)A是矩陣, , 則齊次線性方程組存在基礎(chǔ)解系, 且基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量.證明 不妨設(shè)A的前r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān), 則A經(jīng)一系列初等行變換化為行階梯形矩陣B,將線性方程組移項(xiàng)后得到線性方程組 (4.4)現(xiàn)將未知量(稱(chēng)為自由未知量)的一組值1,0,0代入(4.4),因?yàn)槠湎禂?shù)行列式,由克拉默法則,(4.4)有唯一解,從而得（4.2）的一個(gè)解.同理,分別將()的值(0,1,0),(0,0,1)代入(4.4),求出（4.2）的相應(yīng)的解;.以下去證兩點(diǎn):(1)是的線性無(wú)關(guān)的解;考慮,即,有,故線性無(wú)關(guān).(2) 方程組(4.2)的任意解都可由線性表示.設(shè)

5、是(4.2)的任意解,再作的線性組合, 則是(4.2)的解. 另一方面,而(4.2)與(4.6)是同解方程組, 故都是(4.6)的解, 則有,所以, 即. 由(1),(2)知, 是(4.2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 含個(gè)解向量.我們得到以下結(jié)論:設(shè)A是矩陣, , 齊次線性方程組,(1) 當(dāng)時(shí), 方程組只有零解, 無(wú)基礎(chǔ)解系;(2) 當(dāng)時(shí), 方程組有非零解, 基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量,解空間S的維數(shù)是, 通解為,其中為任意常數(shù).例1 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解.解 寫(xiě)出系數(shù)矩陣A, 并作初等行變換,得知, 基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量.分別將的3組值(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)代入方程組

6、,得基礎(chǔ)解系,原方程組的通解為, 其中為任意常數(shù).例2 設(shè)齊次線性方程組,求的值,使方程組有非零解,并求通解.解 計(jì)算系數(shù)行列式,當(dāng), 即時(shí),方程組有非零解.當(dāng)時(shí),方程組變成,其系數(shù)矩陣,得同解方程組,通解為, 為任意常數(shù).當(dāng)時(shí),方程組變成,其系數(shù)矩陣,得同解方程組,通解為, 為任意常數(shù).例3設(shè)B是一個(gè)3階非零矩陣,它的每一列都是齊次線性方程組的解,求的值和.解 由于B是一個(gè)3階非零矩陣,所以B中至少有一列向量是非零向量,又由于B的每一列都是上面齊次線性方程組的解,故該方程組有非零解,其系數(shù)行列式,得. 當(dāng)時(shí),方程組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解,因而B(niǎo)的3個(gè)列向量必線性相關(guān),得=0.定理1揭示了矩陣A的秩與的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)的關(guān)系,它不僅對(duì)求解方程組有重要意義,而且可以用來(lái)解決矩陣的秩的一些問(wèn)題.例4設(shè)A是矩陣, B是矩陣, AB=0. 求證: (或).分析 是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù), 可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的解的問(wèn)題.證明 設(shè)矩陣B與AB=0右端的零矩陣的列分塊矩陣分別為