第四講導數(shù)及偏導數(shù)計算

1、第四講導數(shù)及偏導數(shù)計算實驗目的進一步理解導數(shù)概念及其幾何意義.學習matlab的求導命令與求導法.實驗內容學習matlab命令.建立符號變量命令sym和syms調用格式:x=sym(x)， 建立符號變量x；syms x y z ， 建立多個符號變量x，y，z；matlab求導命令diff調用格式:diff(函數(shù)) ， 求的一階導數(shù)； diff(函數(shù)， n) ， 求的n階導數(shù)(n是具體整數(shù))； diff(函數(shù)，變量名)，求對的偏導數(shù)；diff(函數(shù)， 變量名，n) ，求對的n階偏導數(shù)；matlab求雅可比矩陣命令jacobian，調用格式:jacobian(函數(shù)；函數(shù)； 函數(shù)， )給出矩陣:導數(shù)

2、概念. 導數(shù)是函數(shù)的變化率，幾何意義是曲線在一點處的切線斜率.（）點導數(shù)是一個極限值.例3.1.設，用定義計算.解:在某一點的導數(shù)定義為極限:我們記，輸入命令:syms h；limit(exp(0+h)-exp(0)/h，h，0)得結果:ans=可知（）導數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率.例3.2.畫出在處()的切線及若干條割線，觀察割線的變化趨勢.解:在曲線上另取一點，則的方程是:.即取，分別作出幾條割線.h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x), r.);hold onfor i=1:5;plot(h(i),exp(h(

3、i),r.)plot(x,a(i)*x+1)endaxis square作出在處的切線plot(x,x+1, r.)從圖上看，隨著與越來越接近，割線越來越接近曲線的割線求一元函數(shù)的導數(shù).（）的一階導數(shù).例3.3.求的導數(shù).解:打開matlab指令窗，輸入指令:syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)得結果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2.matlab的函數(shù)名允許使用字母、空格、下劃線及數(shù)字，不允許使用其他字符，在這里我們用dy_dx表示例3.4.求的導數(shù).解: 輸入命令:dy_dx=diff(log(sin(x)得結果:dy_dx=cos(x)/sin(x).

4、在matlab中，函數(shù)用log(x)表示，而log10(x)表示例3.5.求的導數(shù).解: 輸入命令:dy_dx=diff(x2+2*x)20).得結果:dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2).注意輸入時應為2*x.例3.6.求的導數(shù).解: 輸入命令:dy_dx=diff(xx).得結果:dy_dx =xx*(log(x)+1).利用matlab 命令diff一次可以求出若干個函數(shù)的導數(shù). 例3.7.求下列函數(shù)的導數(shù): 1. 2. 3. 4. 解: 輸入命令:a=diff(sqrt(x2- 2*x+5)，cos(x2)+2*cos(2*x)，4(sin(x)，log(log(x)

5、.得結果: a=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x)， 4sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x).dy1_dx=a(1)dy1_dx=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)dy2_dx=-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)dy3_dx=4sin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)dy4_dx=1/x/log(x). 由本例可以看出，matlab函數(shù)是對矩陣或向量進行操作的，a(i)表示向量a的第i個分量.（）參

6、數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).設參數(shù)方程確定函數(shù)，則的導數(shù) 例3.8.設，求解: 輸入命令:dx_dt=diff(a*(t-sin(t)；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)；dy_dx=dy_dt/dx_dt.得結果: dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分號的作用是不顯示結果. 求多元函數(shù)的偏導數(shù). 例3.9.設 求 u的一階偏導數(shù).解: 輸入命令: diff(x2+y2+z2)(1/2)， x).得結果:ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x.在命令中將末尾的x換成y將給出y的偏導數(shù):ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*y.也可以輸入命令:jacobia

7、n(x2+y2+z2)(1/2)，x y).得結果:ans=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x， 1/(x2+y2+z2)(1/2)*y給出矩陣 例3.10.求下列函數(shù)的偏導數(shù): 1. 2. 解: 輸入命令:diff(atan(y/x).得結果:ans=-y/x2/(1+y2/x2).輸入命令:diff(atan(y/x)， y).得結果: ans=1/x/(1+y2/x2).輸入命令: diff(xy， x).得結果:ans=xy*y/x.輸入命令:diff(xy， y).得結果:ans=xy*log(x). 使用jacobian命令求偏導數(shù)更為方便.輸入命令:jacobian(atan

8、(y/x)，xy，x，y).得結果:ans= -y/x2/(1+y2/x2)，1/x/(1+y2/x2)xy*y/x，xy*log(x).求高階導數(shù)或高階偏導數(shù). 例3.11.設 ，求.解:輸入指令:diff(x2*exp(2*x)，x，20).得結果: ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x)例3.12.設，求,解:輸入命令:diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，2)可得到:ans=30*x4+4*y2.將命令中最后一個x換為y得:ans=-36*y2+4*x2.輸入命令:diff(diff(x6-3

9、*y4+2*x2*y2，x)，y)可得:ans=8*x*y同學們可自己計算比較它們的結果.注意命令:diff(x6-3*y4+2*x2*y2，x，y)，是對y求偏導數(shù)，不是求 求隱函數(shù)所確定函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)例3.13.設，求解:，先求，再求輸入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到:df_dx=1/x+y/x2*exp(-y/x).輸入命令: df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到:df_dy=-1/x*exp(-y/x)輸入命令: dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求結果:dy_dx=-(-1/x

10、-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x).例3.14.設 ，求,解:輸入命令: a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，x，y，z)可得矩陣a= cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x.輸入命令:dz_dx=-a(1)/a(3)得: dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x)輸入命令:dz_dy=-a(2)/a(3)得:dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)2)*x)練習1.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)(