第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用作業(yè)習(xí)題

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用作業(yè)習(xí)題1、證明下列的不等式。（1）；（2）。2、設(shè)是任意實(shí)數(shù)，求證在內(nèi)必有零點(diǎn)。3、設(shè)在可導(dǎo)，存在，求證。4、求下列極限。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）。5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)。6、證明當(dāng)時(shí)，有。7、求證當(dāng)時(shí)，有。8、證明方程有且僅有三個(gè)實(shí)根。9、求橢圓的曲率半徑。10、在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓錐體，要使錐體體積最大，問(wèn)其高，底半徑應(yīng)是多少？作業(yè)習(xí)題參考答案：1、 證：（1）取在上對(duì)用拉格朗日中值定理，使得，即 。（2）取在上對(duì)用拉格朗日中值定理，使得故。2、證：設(shè) 則；由羅爾定理， 使即是在上的零點(diǎn)。3、證：對(duì)則在

2、上可導(dǎo)，不妨記。 由拉格朗日中值定理，有。 又，故故。4、解：（1）。（2）。（3）=故=。（4）。（5），故=。（6）=，=故。（7）。（8）=。5、解：。（0，1）1（1，）（，） -0 + 0 -極小值極大值的單調(diào)減少區(qū)間是（0，1）與（，）； 單調(diào)増加區(qū)間是（1，）。的極小值是極大值是。6、證：先對(duì)原不等式變型得當(dāng)時(shí)，所以原式。設(shè)。當(dāng)時(shí)，故所以在嚴(yán)格増加。，即當(dāng)時(shí)，。7、證：設(shè)，則（舍棄-1）。因?yàn)?。所以在上最大值?，最小值為，即亦即。8、證：設(shè)易知，因?yàn)橛蛇B續(xù)函數(shù)介值定理使得即至少有三個(gè)零點(diǎn)。假設(shè)=0有四個(gè)根，記為，由羅爾中值定理，有三個(gè)零點(diǎn)，有二個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)。這顯然不可能。故方程有且僅有三個(gè)實(shí)根。9、解：在橢圓兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得；，曲率半徑。10、解：設(shè)圓錐底半徑為，高為，故圓錐體積是，Rrh-R如圖代入得，(舍去)。故由的符號(hào)易知，此時(shí)