第二講 二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

1、第二講 二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用1(2011·遼寧)已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，即方程ex2xa0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)2xex，ya有交點(diǎn)，而g(x)2ex，易知函數(shù)g(x)2xex在(，ln 2)上遞增,在(ln 2，)上遞減，因而g(x)2xex的值域?yàn)?,2ln 22，所以要使函數(shù)g(x)2xex，ya有交點(diǎn)，只需a2ln 22即可變式：已知函數(shù)f(x)mx2ln x2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析f(x)mx20對一切x>0恒成立，m()2，令g(x)()2，則當(dāng)1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值1，

2、故m1.2函數(shù)f(x)x22axa在區(qū)間(，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1，)上是_函數(shù)(填“增”或“減”)解析由函數(shù)f(x)x22axa在區(qū)間(，1)上有最小值，可得a的取值范圍為a<1，g(x)x2a，則g(x)1.易知在x(1，)上g(x)>0，所以g(x)為增函數(shù)3若曲線f(x)ax3ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)3ax2(x>0)，若函數(shù)存在垂直于y軸的切線，即3ax20有解，a，x>0，<0，a<0.4函數(shù)f(x)2mcos21的導(dǎo)函數(shù)的最大值等于1，則實(shí)數(shù)m的值為_解析顯然m0，所以f(x)2mcos

3、21m(2cos21)m1mcos xm1，因此f(x)msin x，其最大值為1，故有m±1.一、求參數(shù)范圍例1設(shè)函數(shù)f(x)ln xpx1.(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)p>0時(shí)，若對任意的x>0，恒有f(x)0，求p的取值范圍解(1)f(x)ln xpx1，f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)p，當(dāng)p0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上無極值點(diǎn)；當(dāng)p>0時(shí)，令f(x)0，x(0，)，f(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減從上表可以看出，當(dāng)p>0時(shí)，f(x)有唯一的極大值點(diǎn)x.(2

4、)當(dāng)p>0時(shí)，f(x)在x處取得極大值f()ln，此極大值也是最大值要使f(x)0恒成立，只需f()ln0，p1，p的取值范圍是1，)變式訓(xùn)練1(2010·全國)設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解(1)a時(shí)，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(，1)，(0，)上單調(diào)遞增，在(1,0)上單調(diào)遞減二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例2(2010·安徽)設(shè)

5、a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時(shí)，ex>x22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)xa(2ln

6、 x)，a>0，討論f(x)的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域是(0，)，導(dǎo)函數(shù)f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)<0即0<a<2時(shí)，對一切x>0都有f(x)>0.此時(shí)f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時(shí)，僅對x時(shí)，有f(x)0，對其余的x>0都有f(x)>0.此時(shí)f(x)也是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)>0即a>2時(shí)，方程g(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，0<x1<x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值此時(shí)f(x)在，上單調(diào)遞增，

7、在上單調(diào)遞減歸納拓展討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3，求a，b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍解(1)由函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，得b0，又f(x)3x22

8、(1a)xa(a2)，f(x)在原點(diǎn)處的切線斜率是3，則a(a2)3，所以a3，或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不單調(diào)，即或解得或所以a的取值范圍是.四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值例3已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(diǎn)(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱(1)求m、n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值解(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象

9、關(guān)于y軸對稱，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)>0得x>2或x<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和(2，)；由f(x)<0，得0<x<2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極大值f(0)2，無極小值；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，

10、f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極小值f(2)6，無極大值；當(dāng)a3時(shí)，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值綜上得，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值2，無極小值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值6，無極大值；當(dāng)a1或a3時(shí)，f(x)無極值例4(2011·北京)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值解(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10

11、，即k1時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0<k1<1，即1<k<2時(shí)，由(1)知f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當(dāng)k1時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為k，當(dāng)1<k<2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為ek1，當(dāng)k2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為(1k)e.例5已知函數(shù)f(x)ln x.(1)當(dāng)a>0時(shí)，判斷f(

12、x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)<x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍解(1)由題知f(x)定義域?yàn)?0，)，且f(x).a>0，f(x)>0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)知：f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)1a(舍去)若e<a<1，令f(x)0，得xa，當(dāng)1<x<a時(shí)，f(x)&

13、lt;0，f(x)在(1，a)上為減函數(shù)；當(dāng)a<x<e時(shí)，f(x)>0，f(x)在(a，e)上為增函數(shù)，f(x)minf(a)ln(a)1a.綜上可知，a.(3)f(x)<x2，ln x<x2.又x>0，a>xln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，h(x)在1，)上是減函數(shù)，h(x)h(1)2，即g(x)<0，g(x)在1，)上也是減函數(shù)，g(x)g(1)1.令a1得a>g(x)，當(dāng)f(x)<x2在(1，)恒成立時(shí)，a1.例6.某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)

14、,陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設(shè)施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)，交曲線于點(diǎn)，設(shè)（1）將（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積表示成的函數(shù)；（2）若在處，取得最小值，求此時(shí)的值及的最小值.（1），切線的斜率為，切線的方程為令得,令,得的面積(2),由,得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),已知在處,故有故當(dāng)時(shí),變式訓(xùn)練(2011·山東)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.解(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0<r2.所以建造費(fèi)用y2rl×34r2c2r×(r)×34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3),0