高三數學二輪復習專題輔導數學方法之特殊解法

1、【專題五】數學方法之特殊解法【考情分析】近年高考題盡量減少繁煩的運算，著力考查學生的邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、簡捷的運算方法和推理技巧，突出了對學生數學素質的考查。試題運算量不大，以認識型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解,也可用“特殊”方法求解。其中，配方法、待定系數法、換元法、參數法是幾種常用的數學解題方法。這些方法是數學思想的具體體現，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內涵，而且具有可操作性，有實施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果?？v觀近幾年高考命題的趨勢，在題目上還是很注意特殊解法應用，應為他起到避繁就簡、避免分類討論、避免轉化等作用。預測2

2、013年的高考命題趨勢為：（1）部分涉及函數性質、三角函數變形及求值、方程不等式的參數最值、解析幾何求值等知識點的題目會用到這幾種特殊解法；（2）這些解題方法都對應更一般的解法，它們的規(guī)律不太容易把握，但它們在實際的考試中會節(jié)省大量的時間，為后面的題目奠定基礎；【知識歸納】1換元法解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分

3、散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4+22斗，先變形為設2=t(t0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系

4、進行換元。如求函數y=VX+,1G的值域時，易發(fā)現x60,1,設*=5訪,延0,-,問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x+y=r(r0)時，則可作三角代換x=rcos&y=rsin?；癁槿菃栴}。均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設*干+八ygt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t0和氏0,-o2 .待定系數法要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未

5、知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a);或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法

6、，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。3 .參數法參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量(參數)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中

7、運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。4 .配方(湊)法(1)配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用裂項”與添項“、配”與湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為湊配法最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解等問題。(2)配湊法：從整體考察，通過恰

8、當的配湊，使問題明了化、簡單化從而達到比較容易解決問題的方法。常見的配湊方法有：裂項法，錯位相減法，常量代換法等。【考點例析】1 .配方(湊)法典例解析例1. (1) (2012高考重慶)設tan , tan的值為()(A) -3(B) -1(C)【答案】A；【解析】因為tan ,tan 是方程x2是方程x2 3x 2 0的兩個根，則tan( )1(D) 33x 2 0的兩個根，所以 tan tan 3,tan tan2,所以tan(tantan1 tan tan(2)已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為(A)23(B) 14(C)5(D)6分析：

9、設長方體三條棱長分別為x、V、z,則依條件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24。而欲求的對角線長為wx2y2z2,因此需將對稱式x2y2z2寫成基本對稱式x+y+z 及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，222z (x y z) 2(xy yz xz)=611=25。京一yz25,應選 Co點評：本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發(fā)現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。2例2.(1)設Fi和F2為雙曲線y21的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿

10、足4/FiPF2=90,則AF1PF2的面積是()5(A)1(B)(C)2(D).51.分析：欲求SPF低一|PF1|PF2I(1),而由已知能得到什么呢？122由/F1PF2=90。，得|PR|2|PF2|220(2),又根據雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯系呢？我們發(fā)現將(3)式完全平方，即可找到三個式子之間的關系.即222_|PF1|PF2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16,1 221故|PF1|PF2|-(|PF1|PF2|16)-422 21.Spf1f2|PF1|PF2|1，選(A)。22點評：配方法實

11、現了平方和”與和的平方”的相互轉化。(2)設方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若(衛(wèi))2+(9)2W7成立，求實數k的取值qp范圍。解析：方程x2 + kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q = -k, pq = 2,44/22.222222_2,p、2,q、2pq(pq)2Pq(pq)2pq2pq(一)+(-)=-=qp(pq)(pq)(pq)(k24)28W%解得k0即k2b0)的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為ab2”10.不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.(I)求橢圓C的方程;(n)求abp的面積取最大時直線i的方程.【命題立

12、意】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力?！敬鸢浮?I)由題：e-1；a2左焦點(-c,Q)到點P(2,1)的距離為:dWc)212汨.(2)由(1)(2)可解得：a24,22b3,c1.，所求橢圓C的方程為:22xy+1.43(n)易得直線op的方程:1、八y=2x,設A(xa,yA),B(xbyB)R(xq,yo).其中yo=xq.A,B在橢圓上,2Xa42Xb2+也32+近3設直線AB的方程為kABVaVbXaXb3XaXb4VaVb2xq甌m(mwQ),22x+y13x223mx m 3代入橢圓：4y16x的準線交于 A,B兩點

13、,3y=-x2顯然(3m)2 4 3(m23)3(12412 v m v $12 且 m w Q.由上又有： xa xb = mVam23yB= |AB|= .1 kAB | XaXb|=1kAB，f(XA點P(2, 1)到直線l的距離表示為：d| 3 1 m m2J1kABv-1kAB或 m=Q(舍去)時，(S ABP)max =SABP=-2d|AB|=2|m+2l,4當|m+2|=4,即m=331此時直線l的方程y=-3x122X軸上，C與拋物線例4.(2Q12高考新課標)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在AB43；則C的實軸長為()(A),2(B)2,2(C)(D)【答案】C;【解析】設

14、等軸雙曲線方程為x2y2m(m0),拋物線的準線為x4,由|AB|4J3,則1yAi2J3,把坐標(4,2J3)代入雙曲線方程得mx2y216124,22所以雙曲線方程為x2y24,即上L1,所以a24,a2,所以實軸長2a4,44選C.3.換元法典例解析例5.(1)(2012年高考重慶)設函數f(x)x24x3,g(x)3x2,集合MxR|f(g(x)0,NxR|g(x)2,則MN為()A.(1,)B.(0,1)C.(-1,1)D.(,1)【答案】:D;【解析】由f(g(x)0得g2(x)4g(x)30則g(x)1或g(x)3即3x21或3x23所以x1或xlog35;由g(x)2得3x22

15、即3x4所以xlog34故MlN(,1)【考點定位】本題考查了利用整體代換，直接代入法求解函數的解析式以及指數不等式的解法.本題以函數為載體，考查復合函數，關鍵是函數解析式的確定.(2)設a0,求f(x)=2a(sinx+cosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。解析：設sinx+8sx=t,貝UtC-V2,22,由(sinx+cosx)=1+2sinxcosx得：sinx-cosx=,2-f(x)=g(t)=-2(t-2a)+1(a0),t-V2,41,t=-J2時，取最小值：-2a2J2a-2，2當2a22,時，t=V2,取最大值：2a+2J2a;21當02a*12時，t=2a,取取

16、大值：一2.f(x)的最小值為一2a 2，212(02a22a T)272a -(a -)22點評：此題屬于局部換元法，設sin x+cosx=t 后，抓住sin x+ cosx 與 sin x - cosx 的內在聯系，將三角函數的值域問題轉化為二次函數在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數的范圍(te-J2,J2)與sinx+cosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與8sx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函

17、數為f(sinxcosx,sinxcsox),經常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區(qū)間上的二次函數或一次函數的研究。2x2例6.點P(x,y)在橢圓一y1上移動時，求函數u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。42解析：點P(x,y)在橢圓上y21上移動,42cossin于是ux22xy4y2x2y_ /2= 4cos24sin cos 4 sin2 cos 2 sin2令 cossin sincos于是 u=2(t2 t 1)=2(cossin)cossin1t,；2sin(),|t|2。42(t2)27,(|t|W2)22當t=V2,即sin(一)1時，u有最大值。4。=a兀(kCZ)

18、時，Umax62 1 - 2(a + b + c),即 a+b+c-。兩種解法都要求代數變形3的技巧性強，多次練習，可以提高我們的代數變形能力。【方法技巧】1.配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式 靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a + b= (a+ b) 2ab= (a b) + 2ab；(a +b) = a+2ab+b,將這個公式a + ab + b= (a + b) ab = (a b)+ 3ab = (a+ )+(3萬b)；a + b+ c+ ab + bc+ ca= 2 (a+ b)+ (b + c) + (c+ a)a + b+ c= (a+ b + c) 2(ab

19、+ bc+ca) = (a+ b c) 2(ab bc ca)= 結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：x13(x)= + m,2A. 5 , 22f(x)的反函數f 1(x)= nx-5,那么m、5B. - - 2 * *C. 5 , 22n的值依次為D. - , -221+sin2g1+2sincosk(sin片cos;x+2-=(x+)2=(x)+2;等等。xxx2.如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：(1)利用對應系數相等列方程；(2)由恒等的概念用數值代入法列方程；(3)利用定義本身的屬性列方程；(4)利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，

20、我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程?！緦ｎ}訓練】1 .y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是。2 .設f(x+1)=log(4x)(a1),則f(x)的值域是。3 .已知數列a中，a=1,ania=ania，則數列通項a=。4 .設實數x、y滿足x+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是。1 3x5 .方程二=3的解是。13x6.不等式log(2-1)log(2x10三棱錐的三個側面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3,則其體積為 。11 設函數 f(x)對任意的 x、yCR,都有 f(x+y) = f(x)+f(y),且當 x0 時,f(x)0,則 f(x)的R上是 函數。(填增”或減”)-2)1,則2x、3y、5z從小到大排列是。8若k0的解集是(一)，則a+b的值是23A.10B.-10C.14D.1415(1x)(1+x)10的展開式中，x的系數是A.-297B.-252C.297D.20716函數y=abcos3x (b所以kl或