慣性矩、靜矩-形心坐標公式

1、§ I-1截面的靜矩和形心位置圖1-1如圖I- 1所示平面圖形代 表一任意截面，以下兩積分SzAydAzdAA1-1分別定義為該截面對于z軸和y 軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形 心位置。由靜力學中確定物體重 心的公式可得SyycZczdAAA利用公式I -1，上式可寫成ycZczdAAASzSyA 1-2或SzSyAyeAzc1-3ycZcAA1-4如果一個平面圖形是由假設干個簡單圖形組成的組合圖形，那么由靜矩的定義可知，整個圖形對某一坐標軸的靜矩應該等于各簡單圖形對同一坐標軸的靜矩的代數(shù)和。即:SznAi ycii 1nSyAi zcii 1I-5式中Ai、yci和zci分別表示

2、某一組成局部的面積和其形心坐標，n為簡 單圖形的個數(shù)。將式I- 5代入式1-4，得到組合圖形形心坐標的計算公式 為nA i y ci i 1nAii 1Ai Zcii 1nAii 11-60.6miy0.12mCii0.4mI1yc.CynO1IyInz訂C n0.2m例題1-1圖a所示 為對稱T型截面，求該截 面的形心位置。解：建立直角坐標系 zOy,其中y為截面的對稱 軸。因圖形相對于y軸對 稱，其形心一定在該對稱 軸上，因此Zc = 0,只需計 算yc值。將截面分成I、 n兩個矩形，那么Ai =0.072m2, An=0.08m2yi =0.46m, yn=0.2mycAy。i 1nAi

3、 1A yiAi yiiAAii°.°72 °.46 O.°8 020.323m0.0720.08§ I - 2慣性矩、慣性積和極慣性矩如圖I- 2所示平面圖形代表一任意截面，在圖 形平面內(nèi)建立直角坐標系zOy。現(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積 dA, dA的形心在坐標系zOy中的坐標為y和z,到 坐標原點的距離為p?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積 dA對z軸和y軸的慣性矩，PdA為微面積dA對坐標 原點的極慣性矩，而以下三個積分Iz y2dAzAIy z2d AyA圖1-2I P p2d AA 1-7分別定義為該截面對于z軸和y軸的慣性矩以及對坐標原點的

4、極慣性 矩2 2 2由圖丨-2可見， y z，所以有a pdAA(y2Z2)dA Iz IyI- 8即任意截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的兩任 意正交坐標軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對 y、z軸的慣性積，而積分Iyz AzydAi_9 定義為該截面對于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對于不同坐標軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積那么可能為正，可能為 負，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是 m4或mm4。§1-3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉軸公式圖1-3一、慣性矩、慣性積的平行 移軸

5、公式圖I- 3所示為一任意截面， z、y為通過截面形心的一對正交 軸，乙、yi為與z、y平行的坐標 軸，截面形心C在坐標系ZiO yi 中的坐標為b, a，截面對 z、y軸慣性矩和慣性積為lz、Iy、 lyz，下面求截面對Zi、yi軸慣性矩 和慣性積 Izi、lyi、lyizi。ziIz a2A zI - ioIyiIyb2AI - ii同理可得式i- io、i - ii稱為慣性矩的平行移軸公式F面求截面對yi、zi軸的慣性積gzi。根據(jù)定義AziyidAA(z b)(y a)dAzydA a zdA b ydA ab dAAAAAI yz aSy bSz abAabAI - i2由于z、y軸

6、是截面的形心軸，所以Sz = Sy = 0，即yiziyz式I - i2稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉軸公式圖I - 4所示為一任意截面，z、y為過任一點O的一對正交軸，截面對z、y軸慣性矩Iz、Iy和慣性積Iyz。現(xiàn)將z、y軸繞O點旋轉a角以逆時針方向為正得到另一對正交軸 乙、yi軸，下面求截 面對Zi、yi軸慣性矩和慣性積1可、1 yi、人佰。Izi圖I - 4Iz IyI-IjLcos22Iyzsin 21- 13同理可得IyiIz ly2cos 2I yz sin 21- 14Iz丨y2 sin 22式I - 13、1- 14稱為慣性矩的轉軸公式，式I- 15稱為慣性

7、積的轉軸公式。%ZiI yz cos21-15§ I - 4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式1-15可以發(fā)現(xiàn)，當 a=0o，即兩坐標軸互相重合時,1淚Iyz ；當a= 900時，山引Iyz，因此必定有這樣的一對坐標軸， 使截面對它的慣性積為零。通常把這樣的一對坐標軸稱為截面的主慣 性軸，簡稱主軸，截面對主軸的慣性矩叫做 主慣性矩。假設將z、y軸繞0點旋轉a角得到主軸Zq、yo，由主軸的定義由式I1- 16及三角公式可得Iz IyIy)22Iyzcos2 0sin2 0將此二式代入到式I - yo的主慣性矩Iz Iy2Iz Iy2,(Iz Iy)213、1-144i y

8、z便可得到截面對主軸Zq、IzoIyo1、(lzIy)241；1I )2 4I 2yyz1-17IzIyIyozo2sin2 olyzC0S2 o0從而得2Iyztan 2 aIIzy i-16上式就是確定主軸的公式，式中負號放在分子上，為的是和下面兩式 相符。這樣確定的a角就使得Izo等于Imax。二、形心主軸、形心主慣性矩 通過截面上的任何一點均可找到一對主軸。通過截面形心的主軸 叫做形心主軸，截面對形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I - 5求例I- 1中截面的形心主慣性矩。 解：在例題I- 1中已求出形心位置為zC 0yC 0.323m過形心的主軸zo、yo如下列圖，zo軸到兩個矩形形心的距離分別為aI 0.137maII 0.123m截面對zo軸的慣性矩為兩個矩形對zo軸的慣性矩之和，