西安交大復變函數課件5-1孤立奇點

1、第一節(jié)第一節(jié) 孤立奇點孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數的零點與極點的關系三、函數在無窮遠點的性態(tài)四、小結與思考2一、孤立奇點的概念一、孤立奇點的概念定義定義 如果如果函數函數0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內處處解析內處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點.例例10 z是函數是函數zzezsin,1的孤立奇點的孤立奇點.1 z是函數是函數11 z的孤立奇點的孤立奇點.注意注意: : 孤立奇點一定是奇點孤立奇點一定是奇點, 但奇點不一定是孤但奇點不一定是孤立奇點立奇點.3例例2 2 指出函數指出函數0 z在點在點zz

2、zf1sin)(2 的奇點特性的奇點特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因為因為01lim kk即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內的不論怎樣小的去心鄰域內, 的奇點存在的奇點存在, 函數的奇點為函數的奇點為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點不是孤立奇點.所以所以4孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據依據)(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內的洛朗級數的情況分為三類內的洛朗級數的情況分為三類:1可去奇點可去奇點1可去奇點可去奇點; 2極點極點; 3本性奇點本性奇點.如果洛朗級數中不含如果洛朗級數中不含 的負冪項的負冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那

3、末孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點.1) 定義定義5其和函數其和函數)(zF為在為在0z解析的函數解析的函數. 000, )()(zzczzzFzf說明說明: (1),)(0的的孤孤立立奇奇點點若若是是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z補充定義補充定義則函數則函數在在0z解析解析.)(zf6 2) 可去奇點的判定可去奇點的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數無負的洛朗級數無負0z)(zf在在如果如果冪項則冪項則0z為為)(zf的可去奇點的可去

4、奇點.(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,則則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.7如果補充定義如果補充定義:0 z時時, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含負冪項中不含負冪項,0 z是是zzsin的可去奇點的可去奇點 . 8例例4 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點的可去奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點的可去奇點.zez1 無負冪項無負冪項另解另解 zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可

5、去奇點.為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 92. 極點極點 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關于其中關于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數稱為函數的的或寫成或寫成1) 定義定義 0zz 如果洛朗級數中只有有限多個如果洛朗級數中只有有限多個的的負冪項負冪項, 001( )( ), ( )()0()mf zg zg zg zzz0在z 處解析,且10說明說明: 20201)()()(zzc

6、zzcczgmmm1.內內是是解解析析函函數數在在 0zz2.0)(0 zg特點特點:(1)(2)的極點的極點 , 則則0z)(zf為函數為函數如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函數有理分式函數,)2(23)(2 zzzzf是二級極點是二級極點, 0 z2 z是一級極點是一級極點.112)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.在點在點 的某去心鄰域內的某去心鄰域內0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內解析的鄰域內解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定義判別由定義判別(

7、2) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .12課堂練習課堂練習求求1123 zzz的奇點的奇點, 如果是極點如果是極點, 指出它的指出它的級數級數.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函數數的的一一級級極極點點所所以以 z.1是是函函數數的的二二級級極極點點 z,)1)(1(12 zz13本性奇點本性奇點3.如果洛朗級數中如果洛朗級數中含有無窮多個含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個含有

8、無窮多個z的負冪項的負冪項 特點特點: 在本性奇點的鄰域內在本性奇點的鄰域內)(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. 為為本本性性奇奇點點，所所以以0 z同時同時zze10lim不存在不存在.14綜上所述綜上所述:孤立奇點孤立奇點可去奇點可去奇點m級極點級極點本性奇點本性奇點洛朗級數特點洛朗級數特點)(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值有限值不存在不存在且不為且不為 無負冪項無負冪項含無窮多個負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項含有限個負冪項10)( zzmzz )(0關于關于的最高冪的最高冪為為15二、函數的零點與極點的關系二、函數的零點與極點的關系1.零點的定義零點的定義不恒等

9、于零的解析函數不恒等于零的解析函數)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m為某一正整數為某一正整數, 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點.例例6的一級零點，的一級零點，是函數是函數3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函數的零點是孤立的不恒等于零的解析函數的零點是孤立的.)1()(13的三級零點的三級零點是函數是函數 zzzfz162.零點的判定零點的判定零點的充要條件是零點的充要條件是證證 (必要性必要性)由定義由定義:)()()(0zzzzfm 設設0)(zz 在在 的泰勒展開

10、式為的泰勒展開式為:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末為為的的級級)(zf)(zfm0z如果如果為為的的級零點級零點)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm17的的泰泰勒勒展展開開式式為為在在從從而而0)(zzf10100)()()( mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展開式的前展開式的前m項系數都為零項系數都為零 ,由泰勒級數的系數由泰勒級數的系數公式知公式知:);1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( c

11、mzfm充分性證明略充分性證明略 .18(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是是)(zf的一級零點的一級零點 .課堂練習課堂練習0 z是五級零點是五級零點,iz 是二級零點是二級零點.知知是是)(zf的一級零點的一級零點.0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函數的零點及級數求以下函數的零點及級數:, 1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零點及級數的零點及級數 .求求193.零點與極點的關系零點與極點的關系證證000定 理 ： 如 z 是 f(x)的 m級 零 點 ， 是 g(x)的 n級 零

12、點 ，f(x）則 當 mn時 ， z 是的 可 去 極 點 ,當 mn時 ， zg(x)f(x）是的 (n-m)級 極 點g(x)0( )()( ),mf zzzz00( )()0zzz在 處解析且00( )()0zzz在 處解析且0( )()( ),ng zzzz2000( )(),( )( ),1( )( ),()( )m nn mxzzmnzf xxg zmnzzz故定理成立。21說明說明 此定理為判斷函數的極點提供了一個較為此定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡便的方法簡便的方法. .例例8 函數函數zsin1有些什么奇點有些什么奇點, 如果是極點如果是極點, 指出指出它的級它的級.解

13、解 函數的奇點是使函數的奇點是使0sin z的點的點,這些奇點是這些奇點是. )2,1,0( kkz是孤立奇點是孤立奇點. kzkzzzcos)(sin因因為為的一級零點，的一級零點，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級極點的一級極點.即即22),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二級極點不是二級極點, 而是一級極點而是一級極點.0 z是是3sinhzz的幾級極點的幾級極點?思考思考例例9 問問0 z是是21zez 的二級極點嗎的二級極點嗎?注意注意: 不能以函數的表面形式作出結論不能以函數的表面形式

14、作出結論 .23三、函數在無窮遠點的性態(tài)三、函數在無窮遠點的性態(tài)1. 定義定義 如果函數如果函數)(zf在無窮遠點在無窮遠點 z的去心的去心鄰域鄰域 zR內解析內解析, 則稱點則稱點 為為)(zf的孤的孤立奇點立奇點.Rxyo24令變換令變換:1zt 規(guī)定此變換將規(guī)定此變換將: tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴充擴充 z 平面平面擴充擴充 t 平面平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 25結論結論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內對函數內對函數)(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內對函數內對函數)(t 的

15、研究的研究Rt10 因為因為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內是解析的內是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點的孤立奇點.規(guī)定規(guī)定: m級奇點或本性奇點級奇點或本性奇點 .)(t 的可去奇點、的可去奇點、m級奇點或級奇點或本性奇點本性奇點,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇點、的可去奇點、 那末就稱點那末就稱點261)不含正冪項不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且含有有限多的正冪項且mz為最高正冪為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項;那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇點可去奇點 ;2) m 級極點級極點;3)本性奇點本性奇點 .判別法判別法1 (利用洛朗

16、級數的特點利用洛朗級數的特點)2.判別方法判別方法:)(zf zR在在內的洛朗級數中內的洛朗級數中:如果如果27例例10 (1)函數函數1)( zzzf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z1內的洛朗展開式為內的洛朗展開式為: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項不含正冪項所以所以 z是是)(zf的可去奇點的可去奇點 .(2)函數函數zzzf1)( 含有正冪項且含有正冪項且 z 為最高正為最高正冪項冪項,所以所以 z是是)(zf的的 m級極點級極點.28(3)函數函數zsin的展開式的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項所以所以 z是是

17、)(zf的本性奇點的本性奇點.課堂練習課堂練習.0,是本性奇點是本性奇點是一級極點是一級極點 zzzezzf1)( 的奇點及其的奇點及其類型類型.說出函數說出函數答案答案29判別法判別法2 : (利用極限特點利用極限特點)如果極限如果極限)(limzfn 1)存在且為有限值存在且為有限值 ; 2)無窮大無窮大; 3)不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇點可去奇點 ;2)m級極點級極點 ;3)本性奇點本性奇點 .30例例11 函數函數332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴充復平面內在擴充復平面內有些什么類型的奇點有些什么類型的奇點? 如果是極點

18、如果是極點, 指出它的級指出它的級.解解 函數函數)(zf除點除點2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin處均不為零處均不為零在在因因 zzz所以這些點都是所以這些點都是z sin的一級零點的一級零點,故這些點中除故這些點中除1, -1, 2外外, 都是都是)(zf的三級極點的三級極點. z內解析內解析 .在在31),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11級極點級極點的的是是與與zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇點的可去奇點.為為一一級級零零點點，與與以以11 因為因為3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 232(1)(2)zzz當是的三級極點，32時時，當當 z使分母為零，使分母為零，nn1, 0 z不是不是)(zf的孤立奇點的孤立奇點.所以所以,sin)21)(1(