23一元二次方程

1、一元二次方程一元二次方程中考透析中考透析 一元二次方程在中考中都有獨(dú)立的考題，形一元二次方程在中考中都有獨(dú)立的考題，形式多樣，選擇題、填空題、解答題都有，屬于式多樣，選擇題、填空題、解答題都有，屬于重要內(nèi)容，重要內(nèi)容，2013年各地的中考考查了一元二次年各地的中考考查了一元二次方程的解法，根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，方程的解法，根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，均以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，同時(shí)也考查均以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，同時(shí)也考查了一元二次方程的應(yīng)用。預(yù)計(jì)了一元二次方程的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2014年的中考將年的中考將仍然以一元二次方程的解法及根的判別式為重仍然以一元二次方程的解法及根的判別式為

2、重要考點(diǎn)，將加強(qiáng)對(duì)其應(yīng)用的考查，特別是經(jīng)濟(jì)要考點(diǎn)，將加強(qiáng)對(duì)其應(yīng)用的考查，特別是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率問(wèn)題和商品銷售問(wèn)題等社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題。增長(zhǎng)率問(wèn)題和商品銷售問(wèn)題等社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題。本節(jié)在中考中的分值是本節(jié)在中考中的分值是3-12分。分。第一關(guān)第一關(guān)知識(shí)要點(diǎn)說(shuō)一說(shuō)一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是的最高次數(shù)是2次的整式方程是次的整式方程是一元二次方程。一元二次方程。練習(xí)：練習(xí)：判斷下列方程是不是一元二次方程，若不是判斷下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，請(qǐng)說(shuō)明理由？一元二次方程，請(qǐng)說(shuō)明理由？1、(x1) 、x22x=8、xy+5、xx

3、6、ax2 + bx + c3、x2+ x1一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式0 0c cb bx xa ax x2 2（a0a0） 一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系一次項(xiàng)系數(shù)數(shù)常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng) 3x3x=1=1 2y(y-3)= -43x-1=03x-1=03 32 2-6-6-1-14 40 02y2y2 2-6y+4=0-6y+4=0一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0( )的根的判別式的根的判別式_一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 _一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 _一元二次方程

4、沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 _ 解一元二次方程的基本思想是解一元二次方程的基本思想是_;解多元方程的解多元方程的基本思想是基本思想是_；解高次方程的基本思想是；解高次方程的基本思想是_在解一元二次方程時(shí)，如果能將方程變形為在解一元二次方程時(shí)，如果能將方程變形為x2=a（a0)或（或（x+a）2=b （b0）的形式，則可用）的形式，則可用_求求得方程的根為得方程的根為_(kāi).ao=b2-4ac=b2-4ac0=b2-4ac0=b=b2 2-4ac=0-4ac=0降次降次消元消元降次降次直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法baxax或因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：因式分解法解一元二次方程的一般步驟是

5、：1.將方程化將方程化為為_(kāi)(即等號(hào)的右邊為即等號(hào)的右邊為_(kāi)）2.將方程的左邊進(jìn)行將方程的左邊進(jìn)行_,3.分別得到兩個(gè)分別得到兩個(gè)_,即若即若ax2+bx+c=(ex+f)(mx+n)=0,則有則有_或或_，則，則它的解為它的解為x1=_,x2=_。配方法解配方法解ax2+bx+c=0（a0,b2-4ac0),1.將二次項(xiàng)系數(shù)將二次項(xiàng)系數(shù)化為化為_(kāi)，即兩邊同時(shí)，即兩邊同時(shí)_，得到，得到_，2.將常數(shù)項(xiàng)移到方程的將常數(shù)項(xiàng)移到方程的_;即得到即得到_,3.在方程兩邊同時(shí)加上在方程兩邊同時(shí)加上_,即得到即得到_;4配成完全平方式，即配成完全平方式，即_，5.再用再用_求方程的解，配方法適用于解二次求

6、方程的解，配方法適用于解二次項(xiàng)系數(shù)為項(xiàng)系數(shù)為_(kāi),且一次項(xiàng)系數(shù)為且一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)一元二次方程一元二次方程.一般形式一般形式0因式分解因式分解一元一次方程一元一次方程ex+f=0mx+n=0efmnacxabx21除以除以a右邊右邊02acxabx一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法偶數(shù)偶數(shù)222)2()2(abacabxabx22244)2(aacbabx1 求根公式又稱求根公式又稱_公式，它適用于解公式，它適用于解_,求根公式為求根公式為_(kāi)（注意注意:必須先用判別式判斷方程根的情況必須先用判別式判斷方程根的情況）aacbbx242任何一個(gè)一元二次方程任何一個(gè)一元二次

7、方程萬(wàn)能萬(wàn)能 公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的，因此在解方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的，因此在解方程時(shí)我們首先考慮能否應(yīng)用程時(shí)我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法”、“因式分解法因式分解法”等簡(jiǎn)單方法，若不行，再考慮等簡(jiǎn)單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋河眠m當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）（）（x+5）2-9=0 （2）2x2-5x+1=0（3）x2+2x-2=0 (4)x2-4x-9996=0方程方程x2+px+q=0,當(dāng)當(dāng)_時(shí)，方程有兩個(gè)根時(shí)，方程有兩個(gè)根x1

8、、x2，且滿足，且滿足x1+x2=_,x1.x2=_ 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0中根與系數(shù)的關(guān)系存在的前中根與系數(shù)的關(guān)系存在的前提是提是_,在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)常見(jiàn)的幾種變形：在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)常見(jiàn)的幾種變形：構(gòu)成以構(gòu)成以a,b為根的一元二次方程為根的一元二次方程_要證明一個(gè)代數(shù)式恒大于零，通常用要證明一個(gè)代數(shù)式恒大于零，通常用_,將其配成將其配成_再加上一個(gè)再加上一個(gè)_,此時(shí)可判斷代數(shù)式的最此時(shí)可判斷代數(shù)式的最_值；若要證明一個(gè)代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)時(shí)，也是用值；若要證明一個(gè)代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)時(shí)，也是用_,將其將其配成一個(gè)配成一個(gè)_,在加上一個(gè)在加上一個(gè)_,此時(shí)可以判斷此代此時(shí)可以判斷此代數(shù)

9、式的最數(shù)式的最_值；要求一個(gè)代數(shù)式的最值也常用值；要求一個(gè)代數(shù)式的最值也常用_. _)4_()(3(_)2_(11) 1 (2112221222121xxxxxxxxxxx2-(a+b)x+ab=0配方法配方法完全平方式完全平方式正數(shù)正數(shù)小小配方法配方法完全平方式完全平方式負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)大大配方法配方法=b2-4ac0=b2-4ac0練習(xí)練習(xí)1.已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0的的x1、x2且滿足且滿足 x1x2-3x1-3x2-2=0,求求 的值的值aaa2).441 (2第二關(guān)第二關(guān)基礎(chǔ)題目輪一輪2 22 2、若方程、若方程是關(guān)于是關(guān)于x x的一元二次方程，

10、則的一元二次方程，則m m的值為的值為 。02) 1()2(22xmxmm3.3.若若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8=0+ax-8=0的解，則的解，則a=a= ; ;2 21 1、若、若 是關(guān)于是關(guān)于x x的一元二次的一元二次方程則方程則m m 。02222xmxm 24.已知方程已知方程x2+kx = - 3 的一個(gè)根是的一個(gè)根是-1，則，則k= 另一根為另一根為_(kāi)2、已知一元二次方程、已知一元二次方程x2=2x 的解是（的解是（ ）（A）0 （B）2 （C）0或或-2 （D）0或或2 D 1、已知一元二次方程、已知一元二次方程(x+1)(2x1)=0的解是（的解是（ ）（A

11、）-1 （B）1/2 （C）-1或或-2 （D）-1或或1/2 D 第三關(guān)第三關(guān)典型例題顯一顯考點(diǎn)例解：考查一元二次方程的解法考點(diǎn)例解：考查一元二次方程的解法例例1 方程（方程（x+1）(x-2)=x+1的解是的解是 ( )A.2 B.3 C-1,2 D -1,3解析解析 ： 觀察方程的形式觀察方程的形式,發(fā)現(xiàn)可以先移項(xiàng)再用因式發(fā)現(xiàn)可以先移項(xiàng)再用因式分解法來(lái)解方程分解法來(lái)解方程,方程變形為方程變形為(x+1)(x-2)-(x+1)=0,即即(x+1)(x-3)=0 解得解得x1=-1 ,x2=3考查一元二次方程根的情況及根與系數(shù)的關(guān)系例例2 若關(guān)于若關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x

12、+a=0有實(shí)數(shù)根，有實(shí)數(shù)根，則則a的取值范圍是的取值范圍是_解析：關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+a=0有實(shí)數(shù)根，有實(shí)數(shù)根， =4-4a0，解得，解得a1, a的取值范圍是的取值范圍是a1例例3 關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)解是是x1和和x2.(1)求求k的取值范圍（的取值范圍（2）如果）如果x1+x2-x1x2-1且且k為整數(shù)，求為整數(shù)，求k的值。的值。解析解析 ：（：（1）方程有實(shí)數(shù)解，方程有實(shí)數(shù)解，=4-4(k-1）0，解得，解得k0 , k的取值范圍是的取值范圍是k0.（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得）根據(jù)一元二次

13、方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=-2，x1.x2=k+1x1+x2-x1x2=-2-k-1由已知，得由已知，得-3-k-1,解得看解得看k-2,又由（又由（1），得），得k0，-2k0，又，又k為整數(shù)，為整數(shù)，k的值為的值為-1或或01.關(guān)于關(guān)于x的方程的方程3x2-(m-1)x+m=0的兩根的兩根的平方和為的平方和為7/3,求求m的值的值變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 例例4.某電冰箱廠每個(gè)月的產(chǎn)量都比上個(gè)月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)某電冰箱廠每個(gè)月的產(chǎn)量都比上個(gè)月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同。已知該相同。已知該 廠今年廠今年4月份的電冰箱產(chǎn)量為月份的電冰箱產(chǎn)量為5萬(wàn)臺(tái)，萬(wàn)臺(tái)，6月月份比份比5月份多生產(chǎn)了月份多生產(chǎn)了12000

14、臺(tái)，求該廠今年產(chǎn)量的月平均臺(tái)，求該廠今年產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為多少增長(zhǎng)率為多少?得根據(jù)題意均增長(zhǎng)率為設(shè)該廠今年產(chǎn)量的月平解,:x. 2 . 115)1 ( 52xx:整理得).,(02 . 11075%;202 . 0107521舍去不合題意xx. 0625252xx:解得%.20:增長(zhǎng)率為該廠今年產(chǎn)量的月平均答考查一元二次方程的應(yīng)用考查一元二次方程的應(yīng)用一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定義一元二次方程的定義一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用方程兩邊都是整式方程兩邊都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一個(gè)未知數(shù)只含有一個(gè)

15、未知數(shù)求知數(shù)的最高次數(shù)是求知數(shù)的最高次數(shù)是2 2配方法配方法求求 根根 公式法公式法直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法因因 式式 分解法分解法224204bbacbxcaa當(dāng)時(shí),0 00A BAB 化成或20 xm mxm 化成二次項(xiàng)系數(shù)為二次項(xiàng)系數(shù)為1，而一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，而一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)20 0axbx ca 化成一般形式審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答 某個(gè)公司投資新建了一商場(chǎng)，共有商鋪某個(gè)公司投資新建了一商場(chǎng)，共有商鋪30間，據(jù)預(yù)測(cè)，當(dāng)每間的年租金為間，據(jù)預(yù)測(cè)，當(dāng)每間的年租金為10萬(wàn)元，可以全萬(wàn)元，可以全部租出。每間的年租金每增加部租出。每間的年租金每增加5000元，少租元，少租1間，間，該公司要為租出的商鋪每