第4章 多元函數(shù)微分學(xué)

1、推廣推廣第四章第四章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: : 善于類比善于類比, , 區(qū)別異同區(qū)別異同一元函數(shù)、極限與連續(xù)一元函數(shù)、極限與連續(xù) 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值 4.1.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 4.1 4.1 多元函數(shù)、極限與連續(xù)多元函數(shù)、極限與連續(xù) 八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0一、一、八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0. 八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z

2、)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn) M0zyx0NM點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離M點(diǎn)到原點(diǎn)的距離點(diǎn)到原點(diǎn)的距離M點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離PQ到到z軸軸:221yxd 到到x軸軸:到到y(tǒng)軸軸:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.0zyx.P2.P1二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)設(shè)P1(x1,y1,z1)和和P2(x2,y2,z2)為空間任意兩點(diǎn)，則其距離為為空間任意兩點(diǎn)，則其距離為 例例1 1 求證：以求證：以P1(- -1,4,8)、P2(- -2,7,3)和和P3(2,3,13)三點(diǎn)為三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

3、所以，此三角形是等腰三角形。所以，此三角形是等腰三角形。1213PPPP21221221221)()()(zzyyxxPP35)83()47() 12(22221PP35)813()43() 12(22231PP則方程則方程(4-2)(4-2)就叫做曲面就叫做曲面S的方程，而曲面的方程，而曲面S就叫做方就叫做方程程(4-2)(4-2)的圖形。的圖形。三、空間曲面與曲線三、空間曲面與曲線若曲面若曲面S與三元方程與三元方程 F(x,y,z)=0 (4-2) (4-2)有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：(1)(1)曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(4-2)(4-2)；(2)(2)不在

4、曲面不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(4-2)(4-2)。1.1.平面方程平面方程一般式方程：一般式方程：點(diǎn)法式方程：點(diǎn)法式方程：其中其中A,B,C是平面法向量是平面法向量Ax+By+Cz+D=0，截距式方程：截距式方程：2220ABC000()()()0A xxB yyC zz1xyzabc2.2.二次曲面方程二次曲面方程把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了解三元方程解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀，通常采用所表示的曲面的形狀，通常采用平行平行截口法截口法。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相

5、截，。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線（即平行截口法）的形狀，然后加以綜合，從考察其交線（即平行截口法）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。而了解曲面的全貌。同學(xué)們可試用平行截口法考察下面的二次曲面。同學(xué)們可試用平行截口法考察下面的二次曲面。xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx22222 xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 1. .zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y =

6、 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222平行截口法平行截口法 （馬鞍面）（馬鞍面）2.2.雙曲拋物面雙曲拋物面 平行截口法平行截口法2. 2. 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222平行截口法平行截口法2.2.雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 222212222 byaxabzxyo3.3.橢圓橢圓zxy = 0y12222 bzaxo4.4.雙曲雙曲

7、pxy22 zxyo5.5.拋物拋物曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸6.6.旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞 z軸軸6.6.旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程曲線曲線 C00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)6.6.旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程x S曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞

8、繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)6.6.旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程y zo Sx zbyax 雙曲線雙曲線0y7.7.繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周7.7.x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線7.7.繞繞 x 軸一周軸一周axyo8.8.上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 8.8.a.xyoz 得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面122222 byazx8.

9、8.上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面x yoz 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面yoz 02 xazy10.10.拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周10.10.yay

10、xz22 .oxz生活中見(jiàn)過(guò)這個(gè)曲面嗎？生活中見(jiàn)過(guò)這個(gè)曲面嗎？.10.10. 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面13. 例例四、空間曲線一般方程四、空間曲線一般方程空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線。空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線。設(shè)設(shè)F(x,y,z)=0和和G(x,y,z)=0是兩個(gè)曲面的方程，它是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為們的交線為C。因?yàn)榍€。因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組這個(gè)方程叫做空間曲線這個(gè)方程叫做空間曲線C的一般方程。的一般方程。0),(0),(zy

11、xGzyxF其交線都是xOy平面上的圓周222Ryx由此可看出表示空間曲線的方程組不是唯一的。例例1 1 考慮方程組考慮方程組與與的交線。02222zRzyx2222222RyxRzyx二、鄰域二、鄰域一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性4.1.2 4.1.2 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 一、多元函數(shù)概念一、多元函數(shù)概念 定義定義1 1 設(shè)有三個(gè)變量設(shè)有三個(gè)變量x,y,z，若變量，若變量x,y在允許的區(qū)域在允許的區(qū)域內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量?jī)?nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按著一定的規(guī)律總有唯按著一定的規(guī)律總有唯一確定的值與之對(duì)

12、應(yīng)，則變量一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則變量z稱為稱為x,y的二元函數(shù)，的二元函數(shù)，記作記作z=f(x,y)其中其中x,y稱為自變量稱為自變量，z稱為因變量。稱為因變量。以一點(diǎn)P0(x0,y0)為圓心，長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域（不包括圓周，記做 ) ,其平面區(qū)域是二、鄰域二、鄰域 ( (圓鄰域圓鄰域) )( (球鄰域球鄰域) )()(| ),(),(20200 yyxxyxPU),(00yxU2020)()(yyxx其中其中P(x,y)是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)。是鄰域內(nèi)的一點(diǎn)。)arcsin()2(22yxz 1)1(221 yxz例例2 2 求下列函數(shù)定義域求下列函數(shù)定義域,| ),( yxyxD解：解：(1)函

13、數(shù)函數(shù)z的定義域是整個(gè)的定義域是整個(gè)xOy平面，是無(wú)界開(kāi)區(qū)平面，是無(wú)界開(kāi)區(qū)域，即域，即10| ),(22 yxyxD(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域是整個(gè)的定義域是整個(gè)xOy平面上，中心在原點(diǎn)，半徑平面上，中心在原點(diǎn)，半徑為為1 1的圓周及其圓內(nèi)部各點(diǎn)的全體，它是有界閉區(qū)域，即的圓周及其圓內(nèi)部各點(diǎn)的全體，它是有界閉區(qū)域，即 xyz1ln1)1( 222242511)2(yxyxz 例例3 3 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域10, 0| ),(xyxyxD且解：解：(1)函數(shù)函數(shù)z的定義域是無(wú)界區(qū)域，即的定義域是無(wú)界區(qū)域，即 0425, 1| ),(2222 yxyxyxD(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域

14、是的定義域是 即橢圓即橢圓x2+4y2=25內(nèi)與圓內(nèi)與圓x2+y2=1外的公共部分，它外的公共部分，它是不包括圓周和橢圓上的點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域。是不包括圓周和橢圓上的點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域。4.1.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 Ayxfyyxx),(lim00Ayxf),(lim020200)()(yyxxPP定義定義2 2 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義有定義( (在在P0處可以無(wú)定義處可以無(wú)定義) )，若，若P(x,y)沿任何路徑無(wú)沿任何路徑無(wú)限趨于定點(diǎn)限趨于定點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x,y)無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨于

15、一個(gè)常數(shù)A，則稱，則稱A是函數(shù)當(dāng)是函數(shù)當(dāng)P(x,y)P0(x0,y0)時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作或或其中其中是指是指P與與P0間的距離。間的距離。對(duì)于該定義，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：對(duì)于該定義，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 1、即使當(dāng)點(diǎn)即使當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿著許多沿著許多特殊的方式特殊的方式趨近于趨近于P0時(shí)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都趨近于同一個(gè)常數(shù)，也不能判定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都趨近于同一個(gè)常數(shù)，也不能判定),(lim0yxf的存在。的存在。2、當(dāng)當(dāng)P沿著兩條不同的曲線趨近于沿著兩條不同的曲線趨近于P0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x,y)趨近趨近于不同的值，可以斷定極限于不同的值，可以斷定極限 不存在。不存在。),(lim0yx

16、f解：解：設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ，則有，則有222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 ! !故故f(x,y)在在(0,0)點(diǎn)極限不存在。點(diǎn)極限不存在。22),(yxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0, 0)的極限。的極限。例例4.4. 討論函數(shù)討論函數(shù)xyxyyx11lim00例例5 5 求求xyxyyx11lim00 xyxyxyyx) 11(11lim00解：解：xyxyxyyx) 11(lim0011lim00 xyyx21例例6 6 求極限求極限yxyyx)sin(lim02解：解：

17、=)sin(lim02yxyyxxyxyxyx)sin(lim02xyxyxyxyx)sin(limlim02022=(2) 存在；存在；),(lim),(),(00yxfyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx(3)(3)則稱函數(shù)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)，否則稱函數(shù)連續(xù)，否則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)處間斷。處間斷。定義定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)滿足條件滿足條件(1)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)及其鄰域內(nèi)有定義；及其鄰域內(nèi)有定義；解解：(1)由前面的由前面的例例5 5討論可知，函數(shù)討論可知，函數(shù)z1當(dāng)當(dāng)

18、P(x,y)沿直線沿直線y=kx趨于點(diǎn)趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)極限不存在，故時(shí)極限不存在，故z1的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是xOy平面平面上的孤立點(diǎn)上的孤立點(diǎn)(0,0)。 (2)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)z2的定義域是的定義域是1+22yx122 yx故函數(shù)故函數(shù)z的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是221yxxyz11222yxz例例7 7 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)(2)(1)4.2 4.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 4.2.1 4.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)當(dāng)y固定在固定在y0而而x在在x

19、0處有增量處有增量x時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量量f(x0+x,y0) - -f(x0,y0)，稱其為函數(shù)在點(diǎn)稱其為函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)處對(duì)x的的偏增量偏增量 。), (), (lim000yfyfx存在，存在，則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在在點(diǎn)點(diǎn)(x0,y0)對(duì)對(duì)x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz;),(00yxxfxx00 x極限極限定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001

20、yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意：注意：0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì)同樣可定義對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù)若函數(shù) z = f (x , y) 在域在域 D 內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) (x , y) 處對(duì)處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù)則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), ,也簡(jiǎn)稱為也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, , 三

21、元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x, y,z) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)處對(duì) x 的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)定義為( (請(qǐng)自己寫出請(qǐng)自己寫出) )例例8 8 求求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1) 處的偏導(dǎo)數(shù)。處的偏導(dǎo)數(shù)。解法解法1:1:xz) 1 , 1 (xz解法解法2:2:) 1, 1(xz) 1, 1(yz,32yx yzyx23 , 51312) 1 , 1 (yz51213132xx1)32(xx51xz231yy 1)2

22、3(yy51yz例例9 9 0002),(2222yxyxyxxyyxf當(dāng)當(dāng)設(shè)解解: :xxxx00)(02lim20 xfxfx) 0 , 0 () 0 ,0 (lim0)0 , 0( xf=0求求)0 , 0(),0 , 0(yxffyyyy0)(002lim20yfyfy) 0 , 0 ()0 , 0 (lim0)0 , 0( yf=0例例1010 求求222zyxr解解: :xr2222zyxx2rx,ryyrrzzr的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: :00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfz00),(dd00yyyxfyy

23、fxxyy是曲線是曲線0),(xxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)M0處的切線處的切線M0Tx對(duì)對(duì) x 軸的斜率。軸的斜率。在點(diǎn)在點(diǎn)M0 處的切線處的切線M0Tx對(duì)對(duì)y軸的斜率。軸的斜率。是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在, ,但在該點(diǎn)不一定連續(xù)但在該點(diǎn)不一定連續(xù). .顯然顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：在上節(jié)已證在上節(jié)已證f (x , y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)并不連續(xù)! !4.2.2 4.2.2 全微分全微分4.2.

24、2.1 4.2.2.1 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，給給x以增量以增量x，同時(shí)給，同時(shí)給y以增量以增量y時(shí)，則時(shí)，則z=f(x+x,y+y)- -f(x,y)，稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處對(duì)處對(duì)x的的全增量。全增量。一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義 若函數(shù)若函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成, )(oyBxAz其中其中A , B 不依賴于不依賴于 x, y , ,僅與僅與 x , y 有關(guān)有關(guān)，稱為函數(shù)稱

25、為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 的的全微分全微分, , 記作記作BdydxAfz+=d=d若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微內(nèi)各點(diǎn)都可微, ,22)()(yx則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量處全增量則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微內(nèi)可微. .yBxA+考慮考慮 ，它對(duì)一切，它對(duì)一切x,y都是都是成立的。顯然對(duì)成立的。顯然對(duì)y=0也成立，于是也成立，于是)(+=oyBxAz)(+=oxAz即即xoAxz)(+=)()(limlim00 xAxoAxzxx其中因此因此Axz 同理同理Byzdyyzdxxzdz 二元函數(shù)的全微分可寫成二

26、元函數(shù)的全微分可寫成推廣三元函數(shù)推廣三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分公式為的全微分公式為dzzudyyudxxudu(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: :(1)函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定義由微分定義 : :得得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微函數(shù)可微 即即例例1 1. . 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)z=x2y+y2的全微分的全微分。22y

27、yxz解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閤z yz,2xyyx22定理定理1 1 ( (充分條件充分條件) )yzxz,若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)dyyxxydxdz)2+(+2=2在點(diǎn)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可微分。所以所以例例2 2. .計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)的全微分的全微分. . zyeyxu2sin解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閡dxd1yyd) cos(221zeyzydzyezyzzyzyxyeuzeyuu=,+2cos21=, 1=二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyz

28、yxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是則稱它們是z = f (x , y) )(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)。按求導(dǎo)順序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：按求導(dǎo)順序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù). .例如，例如，z = f (x , y)關(guān)于關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y)關(guān)于關(guān)于x 的的n1階偏導(dǎo)數(shù)，再關(guān)于階偏導(dǎo)數(shù)，再關(guān)于

29、y 的一階的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)yezxsin解解：xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意：注意：此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立但這一結(jié)論并不總成立. .yexsinyexcosyexsinyexcosyexcosyexsin的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) ,D)()(內(nèi)連續(xù)都在區(qū)域和若x,yfx,yfxyyxxyyxff則則定理定理2(證明略證明略) 例例4 4 證明函數(shù)證明函數(shù)22lnyxz02222yzxz證明：證明：xz22xz滿足方程滿足方程22yxx22222)(2)(yxxxyxyz22yxy22222)

30、(yxxy22yz22222)(2)(yxyyyx22222)(yxyx所以所以02222yzxz例例5.5. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯0222222zuyuxu證明：證明：xu22xu利用對(duì)稱性，有利用對(duì)稱性，有,3152322ryryu222222zuyuxu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義；記號(hào)；幾何意義定義；記號(hào)；幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在此點(diǎn)連

31、續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法逐次求導(dǎo)法( (與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí), , 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序) )一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xuuyxydddddd多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t4.3 4.3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 xvvz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理

32、定理3 3 若函數(shù)若函數(shù)有連續(xù)處在點(diǎn)),(),(, ),(yxyxvyxu),(vufz 處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,),(vu在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，xzyzyuuzyvvzxuuzzvuyxyx),(),(=yxyxfz對(duì)對(duì)x及及y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)存在且有數(shù)存在且有推廣推廣: : 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 . .1)1)中間變量是一元函數(shù)的情形中間變量是一元函數(shù)的情形. .例如例如, ,)(, )(, ),(tvtuvufzdtdzdtduuzdtvdvzzvutt2)2)中間變量多于兩個(gè)的情形中間變量多于兩個(gè)的情形. . 例如例如, , ),(

33、wvufz tzddzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu又如又如, ,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí)當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), , 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: : 這里這里xzxfxz表示固定表示固定y對(duì)對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo), ,xf表示固定表示固定v對(duì)對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo)口訣口訣: : 分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同不同, ,v例例1 1 設(shè)設(shè),ln22xyvyxuvezu.,yzxz求解解: :xzxv 2ln xyxxyx22)ln(2yzx

34、uuzxvvzyvuyuuzyvvzzvuyxyxyv 2ln yyxxyy22)ln(2xvu例例2 2 設(shè)設(shè) .ddtzztvutttzdd)1(4)23(sec222txyxt txxzddtyyzddtz求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),1),23tan(2txyxtz, ty 解解: :注意：注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到, ,下列兩個(gè)例題有助于掌握下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào)這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào). .)21()23(sec22tyxt )23(sec322yxt

35、)23(sec)2143(223yxttt例例3 3 設(shè)設(shè),)1 (yxyzyzxz,求解解: :xz 12)1 (yxyyxuuz,1xyuyv vuz xvvz)1ln(1)1 (xyxyxyxyyyuuzyvvzyz zvuyyx二、隱含數(shù)的微分法二、隱含數(shù)的微分法1 1、一個(gè)方程的情形、一個(gè)方程的情形1)1)設(shè)方程設(shè)方程 0),(yxF確定函數(shù)確定函數(shù))(xyy, ,求求dxdyxF 0 定理定理4.54.5yxFFdxdy 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得dxdyFy ),(yxFu xy例例1.1.設(shè)設(shè)122 yx求求dxdy及及22dxyd解解：法：法1 1122 yx

36、)y,x(FdxdyyxFF yx22 22dxyd dxdydxd2yyxy 31y yxdxd2yyxxy 322yxy 法法2 2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo)022 yyxyxy yx 2 2）設(shè)方程設(shè)方程0 )z , y,x(F確定二元隱函數(shù)確定二元隱函數(shù))y,x( zz 求求yzxz , )z ,y,x(Fu xF zxFFxz yzFz zyFFyz xyz方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xzFz 0方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得yF 0定理定理4.64.6例例2.2.設(shè)設(shè)04222 zzyx求求22xz,yz,xz 解：解：法法1 1zzyx)z ,y,x(

37、F4222 xFx2 ,yF,y 2 42 zFzxz zxFF zx 2.zy 222xz xzx2)2()()2(zxzxz32222)z(x)z( yz, zyFF zxx 23224)z(y 法法2 2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo)0422 xxzz zx兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求導(dǎo)求導(dǎo)0422 yyzz zy例例3.3.設(shè)設(shè)0 xyzez, ,求求yxz2解解),(zyxFxyzezxz zxFF xyeyzz xyeyzzyxz 2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz3222)()(xyeyxxyzeezzzzyz zyFF xyexzz 設(shè)設(shè)

38、 00)v ,u, y,x(G)v ,u, y,x(F求求yv,xv,yu,xu 確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù): :)y,x(uu )y,x(vv, 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), ,得得即即 xvuxvuGxvGxuGFxvFxuFxF xuFu xvFv 0 xG xuGu xvGv 0 二二. .方程組的情形方程組的情形解方程組即得解方程組即得例例4.4. 設(shè)設(shè) 10 xvyuyvxu求求yv,xv,yu,xu 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xuxu 即即 vxvxxuyuxvyxux xu,yxyvxu22 xv22yxxvyu 解解 xvy 0 xuy xvxv 0

39、，方程兩邊對(duì)，方程兩邊對(duì)y 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 10 xvyuyvxu 00yvxyuyuyvyvyux即即 uyvxyuyvyvyyux yu,yxyuxv22 yv22yxyvxu 例例5.5.10222zyxzyx, ,求求.,dzdydzdx設(shè)設(shè)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)z 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得解解01dzdydzdx0222zdzdyydzdxx 1dzdydzdxzdzdyydzdxx即即dzdydzdx;xyyz.xyzx一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)一元函數(shù) 二元函數(shù)二元函數(shù) 定義域定義域 數(shù)軸上的區(qū)間數(shù)軸上的區(qū)間 平面中的區(qū)域平面中的區(qū)域 圖像圖像 平面中的曲

40、線平面中的曲線 空間中的曲面空間中的曲面 極限極限 單極限單極限 二重極限二重極限 微分學(xué)微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 積分學(xué)積分學(xué) 定積分定積分 二重積分二重積分 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題二、最值應(yīng)用問(wèn)題三、條件極值三、條件極值4.4 4.4 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值xyz一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 定義定義 若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值( (極小值極小值) )。例如例如 : :在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0)有極小值；有極小值；在點(diǎn)在點(diǎn)

41、(0,0)有極大值有極大值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值無(wú)極值. .極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). .),(),(00yxfyxf或2232yxz22+=yxzyxz xyzxyz說(shuō)明：說(shuō)明：使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。 例如例如定理定理5 5( (必要條件必要條件) )證明證明: :據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立. .0),(,0),(0000yxfyxfyx 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn). .有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)(0, 0)，但

42、在該點(diǎn)不取極值但在該點(diǎn)不取極值. . 且在該點(diǎn)取得極值，則有且在該點(diǎn)取得極值，則有yxz 若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)，存在偏導(dǎo)數(shù)，因函數(shù)因函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，故取得極值，故函數(shù)函數(shù)z=f(x,y0)在在x=x0取得極值取得極值函數(shù)函數(shù)z=f(x0,y)在在y=y0取得極值取得極值時(shí)時(shí), , 具有極值具有極值定理定理6 (充分條件充分條件)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且令令則：則：1)當(dāng)當(dāng)A0 時(shí)取時(shí)取極小值極小值. .2)當(dāng)當(dāng)3)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 沒(méi)有極值沒(méi)有極值. .時(shí)時(shí), , 不能確定不能確定 , ,

43、 需另行討論需另行討論. .0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)利用定理利用定理1 1、2 2，把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法敘述如下：的極值的求法敘述如下：第一步：解方程組第一步：解方程組 0),(, 0),( yxfyxfyx求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出

44、二階偏導(dǎo)數(shù)的值，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和和C。第三步：定出第三步：定出AC- -B2的符號(hào)，按定理的符號(hào)，按定理2 2的結(jié)論判定的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。是否是極值、是極大值還是極小值。例例1.1. 求函數(shù)求函數(shù)解解: :第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別. .在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,

45、12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,0)處處不是極值不是極值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,2)處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0, 3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC0例例2 2. .討論函數(shù)討論函數(shù)及及是否取得極值是否取得極值. .解：解：顯然顯然 (0,0) 都是它們的

46、駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) , ,在在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此因此 z(0,0) 不是極值不是極值. .因此因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值為極小值. .正正負(fù)負(fù)33yxz222)(yxz在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 BAC33yxz可能為可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz駐點(diǎn)駐點(diǎn)二、最值應(yīng)用問(wèn)題二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, , 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)

47、部最值存在, , 且且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)極值點(diǎn)P時(shí)時(shí), , )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù)假設(shè)側(cè)面積與底面積的單位造價(jià)為假設(shè)側(cè)面積與底面積的單位造價(jià)為3k和和4k，則水箱的造價(jià)為，則水箱的造價(jià)為例例3 3 要建造一容積為要建造一容積為1818立方米的長(zhǎng)方形水箱，已知側(cè)面積立方米的長(zhǎng)方形水箱，已知側(cè)面積與底面積的單位造價(jià)之比為與底面積的單位造價(jià)之比為3:43:4，問(wèn)水箱的尺寸如何才能使，問(wèn)水箱的尺寸如何才能使費(fèi)用最省。費(fèi)用最省。解解: : 設(shè)水箱長(zhǎng)設(shè)水箱長(zhǎng), ,寬分別為寬分別為x , ym , ,則高為則高為,m18xy令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)kZ3)yxkxy4kxyyxk4)11(18604)(18621kyzxx)3,3(yx1804)(18621kxzyy根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)