第3章321 線性規(guī)劃問題的圖解法

1、 實施圖解法，以求出實施圖解法，以求出生產(chǎn)計生產(chǎn)計劃劃（）, 給出給出12max23Zxx12121228416412, 0 xxxxx x 例例3-1建立平面直角坐標系建立平面直角坐標系 標出坐標原點標出坐標原點, 坐標軸的指向和單位坐標軸的指向和單位長度。用長度。用x1軸表示產(chǎn)品軸表示產(chǎn)品A的產(chǎn)量，用的產(chǎn)量，用x2軸表示產(chǎn)品軸表示產(chǎn)品B的產(chǎn)量。的產(chǎn)量。對約束條件加以圖解。對約束條件加以圖解。 畫出目標函數(shù)等值線，結(jié)合目標函數(shù)畫出目標函數(shù)等值線，結(jié)合目標函數(shù)的要求求出最優(yōu)解：最優(yōu)生產(chǎn)方案。的要求求出最優(yōu)解：最優(yōu)生產(chǎn)方案。最優(yōu)解帶入目標函數(shù)，得出最優(yōu)值。最優(yōu)解帶入目標函數(shù)，得出最優(yōu)值。 約束條

2、件的圖解約束條件的圖解: 每一個約束不等式在平面直角坐標系中每一個約束不等式在平面直角坐標系中都代表一個半平面，只要都代表一個半平面，只要，然后，然后。 ? 以第一個約束條件以第一個約束條件: 為例為例, 說明圖解過程。說明圖解過程。1228xx代表一個半平面代表一個半平面其邊界其邊界: x1+2 x2 =8x1+2 x2 =8及及x1，x2 0 AOB1228xx1203x24123x185678221 xxQ4設備全部占用所生產(chǎn)設備全部占用所生產(chǎn)、數(shù)量對應的點數(shù)量對應的點的集合。的集合。 全部的設備都用來生產(chǎn)全部的設備都用來生產(chǎn)產(chǎn)品而不生產(chǎn)產(chǎn)品而不生產(chǎn)產(chǎn)品產(chǎn)品,那么那么產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量為

3、產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量為8臺臺,計計算過程為：算過程為： x1+20 8 x1 8設備沒有全部占用所設備沒有全部占用所生產(chǎn)生產(chǎn)、數(shù)量對應數(shù)量對應的點的集合的點的集合。1203x2412 3x185 6 78221 xxQ4 1242x1641x85678221 xxx13x24123102 令令 Z=2x1+3x2=c, 其中其中，在圖，在圖 中畫出直線中畫出直線 2x1+3x2=c, 即對應著即對應著一個可行的生產(chǎn)結(jié)果，即使兩種產(chǎn)品的總利潤一個可行的生產(chǎn)結(jié)果，即使兩種產(chǎn)品的總利潤達到達到c。 這樣的直線有無數(shù)條，且相互平行，稱這樣的直線有無數(shù)條，且相互平行，稱這樣的直線為這樣的直線為。畫兩條畫兩

4、條目標函數(shù)目標函數(shù)，如令，如令 c0和和c=6，可看出，可看出, 即虛線即虛線 l1和和l2,箭頭為產(chǎn)箭頭為產(chǎn) 品的總利潤遞增的方向。品的總利潤遞增的方向。1242x1641x85678221 xxx13x24123102對應坐標對應坐標x1=4, x2=2 是最佳的產(chǎn)品組合是最佳的產(chǎn)品組合, 4,2T就是線性規(guī)劃模型的就是線性規(guī)劃模型的使產(chǎn)品的總利潤達到最大值使產(chǎn)品的總利潤達到最大值maxZ=2 4+3 2=14就是目標函數(shù)就是目標函數(shù)方向方向目標函數(shù)等值線，達到目標函數(shù)等值線，達到, E點就是點就是1242x1641x85678221 xxx13x24123102 盡管最優(yōu)點的對應坐標可以

5、直接從圖中盡管最優(yōu)點的對應坐標可以直接從圖中給出，但是在大多數(shù)情況下，對實際問題精給出，但是在大多數(shù)情況下，對實際問題精確地看出一個解答是比較困難的。所以，通確地看出一個解答是比較困難的。所以，通?？偸浅？偸?比如比如C點對應的坐標值我們可以通過求點對應的坐標值我們可以通過求解下面的聯(lián)立方程，即求直線解下面的聯(lián)立方程，即求直線AB和和CD的交的交點來求得。點來求得。 直線直線AB: x1+2x2=8 直線直線CD: 4x1=1612121228416412, 0 xxxxx x12max23Zxx1242x1641x85678221 xxx13x24123102結(jié)果 用圖解法求解線性規(guī)劃的各種

6、可能的結(jié)果用圖解法求解線性規(guī)劃的各種可能的結(jié)果討論討論 12max23Zxx12121228416412, 0 xxxxx x212maxxxZ85678221xxx13x24123102 沿著箭頭的方向平移目標函數(shù)等值線，沿著箭頭的方向平移目標函數(shù)等值線，發(fā)現(xiàn)平移的最終結(jié)果是目標函數(shù)等值線將發(fā)現(xiàn)平移的最終結(jié)果是目標函數(shù)等值線將與可行域的一條邊界線段與可行域的一條邊界線段AB重合。重合。 結(jié)果表明，該線性規(guī)劃有結(jié)果表明，該線性規(guī)劃有線段線段AB上的所有點都是最優(yōu)上的所有點都是最優(yōu)點，它們都使目標函數(shù)取得相同的最大值點，它們都使目標函數(shù)取得相同的最大值Zmax=14。 121212242,0 xxxxx x12maxZxx2406x212543x1 如圖中可行域是一個無界區(qū)域，如陰影區(qū)所示。如圖中可行域是一個無界區(qū)域，如陰影區(qū)所示。虛線為目表函數(shù)等值線，沿著箭頭指的方向平移可虛線為目表函數(shù)等值線，沿著箭頭指的方向平移可以使目標函數(shù)值無限制地增大，但是找不到最優(yōu)解。以使目標函數(shù)值無限制地增大，但是找不到最優(yōu)解。這種情況通常稱為這種情況通常稱為”。 如果一個實際問題抽象成像例如果一個實際問題抽象成像例1-4這樣的線性規(guī)這樣的線性規(guī)劃模型，比如是一個生產(chǎn)計劃問題，其經(jīng)濟含義就是劃模型，比如是一個